专题13 几何与函数综合训练-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（北师大版）

专题13 几何与函数综合训练 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题的个数是（    ） （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （）三角形的内角和等于 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：（）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，符合题意； （）三角形的内角和等于，为假命题，应为，原命题是假命题，不合题意； （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角，该命题是真命题，符合题意； （）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题，符合题意； （）两条边相等及其夹角相等的两个三角形一定全等，原命题是假命题，不合题意； ∴真命题有个，故选：． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D．点和在一次函数的图象上，若，则 【答案】C 【详解】解：、∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不合题意； 、把代入得，，∴， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，该选项错误，不合题意； 、将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为，该选项正确，符合题意； 、∵，∴随的增大而减小， 若，则，该选项错误，不合题意；故选：． 3．（24-25九年级上·山西·阶段练习）在一片广袤的森林里，有一只机灵的猴子渴望爬到一棵大树的顶端．为了实现这个目标，它得借助一根连接地面和大树顶端的藤蔓．已知大树顶端距离地面的高度为米，猴子站立的位置距离大树底端的水平距离为米，则这根藤蔓的长至少是（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：由题意可得：藤蔓的长至少是米，故选A． 4．（2024·浙江杭州·二模）为抬高水平放置的长方体木箱的一侧（其中），在下方垫入扇形木块，其中木块的横截面是圆心角为的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置，，则此时木箱点距离地面高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作， ，， 设，则， 在中，，即， 在中，有，即， 解得：（负值舍去），，木箱点距离地面高度为，故选：D． 5．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，． ，，． 在中，．故选∶C． 6．（2023·广东珠海·一模）若一次函数的图象过点，则 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函的图象过点，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 7．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形两直角边长分别为6和8，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：直角三角形的斜边长为：， 由图可知：故答案为： 8．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 【答案】55 【详解】解：建立如图的数据，由题意得，，，，，， ∴，故答案为：55． 9．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，根据图象，得出以下结论：①“基础电价”是元/度；②当时，y与x的函数表达式为；③若明明家五月份缴纳电费132元，则明明家这个月用电量为200度．以上结论正确的是 ．（写序号即可） 【答案】①② 【详解】解：当时，设直线的解析式为，把点代入， ∴，解得，，∴直线的解析式为， ∴“基础电价”是元/度，故①正确； 当时，设直线的解析式为，把点代入， ∴，解得，，∴直线的解析式为， ∴当时，y与x的函数表达式为，故②正确； ∵第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费，明明家五月份缴纳电费元大于元， ∴设明明家这个月用电量为度，∴这个月的费用为：，解得，， ∴明明家这个月用电量为260度，故③错误；综上所述，正确的有①②，故答案为：①② ． 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形纸片中，，，如图所示折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，此时的长为 【答案】/ 【详解】解：由折叠的性质可得，， 由长方形的性质可得，，， 在中，由勾股定理得， ，设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得，即的长为，故答案为：． 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”，例如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（规定）．当为“灵动三角形”时，则的度数为 ． 【答案】或或 【详解】解：，，，， ∵，∴．∵，∴． 当时，，，，， 当时，， 当时， ，综上所述，的度数为或或，故答案为：或或． 12．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．    (1)求边的长；(2)求这块空地的面积． 【答案】(1)；(2)这块空地的面积为． 【详解】（1）解：∵，∴． 在中，∵，，∴， ∵E是的中点，∴． （2）解：连接，如图，    ∵，E是的中点，∴． ∵，，∴，∴，∴是直角三角形． ∵，∴，由（1）可知，， ∴，∴这块空地得面积为：． 答：这块空地的面积为． 13．（23-24八年级上·四川成都·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 1.8 0.90 超17吨但不超过30吨的部分 2.8 0.90 超过30吨的部分 6.0 0.90 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 设每户家庭月用水量为x度时，应交水费y元． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)如果小明家12月份上交水费156.1元，则小明家这个月用水多少吨？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)小明家这个月用水39吨 【详解】（1）解：当时， 当时，； （2）解：根据题意知，30吨的水费为：元 ∵，∴小明家12月份用水超过了30吨，即， 由题知，即，解得，∴小明家这个月用水39吨． 14．（2024八年级上·浙江·专题练习）阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 【答案】(1)，见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图2所示，猜想：． 证明：由材料中的结论得， ∵分别平分和，∴． ∵，∴，∴，∴． ∵，∴； （2）证明：如图3，过点作，∵，∴， 由结论可得，∴． ∵平分，∴．∵，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴． 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有公共点，则k的值不可能是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为，∵当正比例函数经过点A时，， 当经过点C时，，∴直线与正方形有公共点，k的取值范围是， 观察四个选项，k的值不可能是，故选：A． 2．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，，、、分别平分、、．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】①∵平分，∴， ∵，且∴，∴，故①正确； ②由①可知，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，故②正确； ③由①可知，∴，∵平分，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∴，故③正确； ④∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，即．故④错误． ⑤∵平分，∴， ∵，， ，∵，．故⑤正确． 综上所述：错误的有1个，故选：A． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作，    ∵，∴，∴，， 又∵，∴，即．故选：C． 4．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：在中，，， 分别平分，， ， ∴，故结论①正确； ，又∵，， ，， 在和中，，∴，故结论②正确； ，， 在和中，，，， ， ∴，故结论③正确； 又∵，∴， 即，故结论④正确，∴正确的个数是4个．故选：D． 5．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段OA上一点．过点作轴的垂线，直线l与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时， ． 【答案】/ 【详解】解：∵一次函数的图象与与抽交于点，∴当时，，∴， ∵在正比例函数的图象上，设， ∵点与点关于轴对称，∴，∴，解得：， ∴，∴，故答案为：. 6．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，直线，直线，在上有一动点M，在上有一动点N，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点K，过作轴于点G，过作轴于点H，连接，过作，垂足为N，交直线于M，过作轴交直线于点P，∵是第一象限的平分线，点与点关于直线对称， ∴，是垂直平分线，∴， ∴，∴的最小值即为的长， ∵是垂直平分线，∴，， ∴，即， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 对于直线，令，则，∴，∴， 设，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴的最小值为，∴的最小值为，故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期中）直线经过的顶点，．E，F分别是直线上两点，且． 【数学思考】若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若，，求证：；（2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】如图3，若直线经过的外部，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，则与的面积之和为_____． 【答案】数学思考：（1）见解析；（2）当时，①中的结论仍然成立，见解析；问题拓展：4 【详解】数学思考：（1）证明：，， ，， ，，，， ，，，； （2）解：当时，①中的结论仍然成立，理由如下： 当时，则，， ，，，， ，，，； 问题拓展：解：，， ，，，， ，的面积是12，． 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，，， 平分，平分，，， ，， ； （2）解：如图，设与交于点， 、分别是、的平分线，，， ， ，； （3）解：平分，平分，，， ， 平分，平分，∴由（2）可知：， ，，，． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）数轴上原点右侧依次有、两点，现有甲、乙两只机械昆虫分别从原点出发前往、两点，乙先出发1秒钟，然后甲再出发，甲到达点后原路原速返回原点，甲回到原点的同时乙到达点．甲、乙两个机械昆虫到原点的距离与甲出发所用的时间的关系如图所示，结合图象信息解答下列问题：(1)乙是速度是______，乙从原点到点需要______s．(2)求出甲从点处原路返回原点的过程中和的函数关系式．(3)直接写出甲、乙两只机械昆虫相距时的值． 【答案】(1)4，9(2)(3)或3或4.2或4.6 【详解】（1）解：，， 则乙的速度是，乙从原点到点需要； （2）解：根据题意：甲从点处原路返回原点的过程中的函数图象过点， 设和的函数关系式为，则，解得：， 和的函数关系式为：； （3）解：由（1）知乙的速度为，由（2）知甲整个过程所用时间为，路程为， 则甲的速度为：， 情况一：甲到达点前，乙在甲的前面，则，解得：； 情况二：甲到达点前，乙在甲的后面，则，解得：； 情况三：甲到达点后，乙和甲相遇前，则，解得：； 情况四：甲到达点后，乙和甲相遇后，则，解得：； 综上，甲、乙两只机械昆虫相距时的值为：或3或4.2或4.6． 10．（24-25八年级上·四川·期中）在探究一次函数k、b对函数图象和性质的影响时，北师大教材87页探究了“直线与的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线变为吗？一般地，直线与又有怎样的关系呢？”根据以上探究结论，解答下列问题： 若直线交坐标轴于A，B两点，将直线向右平移m个单位得到直线． (1)若时，求：①直线l1的表达式；②移动后的直线上到两坐标轴距离相等的点的坐标； (2)若直线与x轴的交点为P，满足，求m的值． 【答案】(1)①；②或(2)5 【详解】（1）解：①对于，当，则， ∴直线经过，∴右平移3个单位得到， ∴直线由直线向右平移3个单位后经过， ∴设直线解析式为，则，∴，∴； ②设点的坐标为，∵点到坐标轴距离相等，∴，解得或， ∴或，∴坐标为或； （2）解：对于，当，则， ∴直线经过，∴右平移m个单位得到， ∴直线由直线向右平移3个单位后经过， ∴设直线解析式为，则，∴，∴； 令，则，∴，∴， 对于，当，则，解得，∴， ∵，∴，解得 11．（23-24八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】（1）如图①，在中，，，，则是 三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”） 【问题探究】（2）如图②，，点C为射线上一点，且，点D为射线上的动点，当为等腰三角形时，求的长；（结果保留根号） 【问题解决】（3）如图③，为某植物园的一片绿化区域，且米，米，米，已知在的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿修一条小路，并在上找一点E，在中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域为等腰三角形时，的长．（结果保留根号）    【答案】（1）直角；（2）当△OCD为等腰三角形时，OD=或；（3）或或 【详解】解：（1）在中，，，， ∵，∴，∴是直角三角形，故答案为：直角； （2）分两种情况：①如图，过C作交于D，      ∵，∴，∴，∴， ②如图，过C作交于D， ∵，∴，∴，∴， ∴，解得，综上所述，当△OCD为等腰三角形时，或； （3）∵米，米，米，∴，， ∴，∴是直角三角形，， 又∵，∴，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，∴， ①当时，则，∴为等腰直角三角形，      ∵，∴，解得：，∴， ②当时，则，∴为等腰直角三角形， ∵，∴，∴， ③当时，  ， 综上所述，△ADE为等腰三角形时，或或． 12．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）阅读理解：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解： 几何意义：如图，建立中而直角火标系，点是x轴上一点，则（可以看成点P与点的距离，可以苔成点P与点的距离，所求代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点A关于x轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，．所以由勾股定理得．即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题，(1)代数式的值可以有成平面直角坐标系中点与点，点的距离之和，求点的坐标，(2)求代数式的最小值． 【答案】(1)点的坐标为：；(2)代数式的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点或的距离之和，∴点的坐标为：． （2）解：∵， ∴的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和， 如图所示，设点关于轴的对称点为，则， ∴的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线距离最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵点，，∴，，， ∴，∴的最小值为． 1．（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿着的路径运动（点与点不重合）．设点的运动路程为，则下列图象中表示的面积关于的函数关系的是（   ）    A． B．  C．D．   【答案】C 【详解】解：①当点在上运动时，的高不变，底为，所以的面积不变，为定值2； ②当点在上运动时，的高逐渐减小，底为，所以的面积逐渐减小（但不等于0）； ③因为，所以，所以点的运动路程最大路程为4，但不包含4； 综上所述，的面积关于的函数关系为分段函数：①当时，；②当时，逐渐减小．故选C． 2．（23-24八年级下·绵阳市·期中）如图，在四边形中，，点M 是上一点，且满足，，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D．6 【答案】C 【详解】解：过点M作交于点N， ∵，∴，∴，， ∴，∴ 故选：C 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵中，的角平分线相交于点P， ∴，，， ∴，∴，故①正确； ∴，∵，∴，∴， ∴，又，，∴， ∴，，，∵， ∴，∴，即，又， ∴，∴，∴，故②正确； ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，， ∴ ，故④错误； 若平分，则， ∵，∴，∴， ∴，这显然不一定成立，故③错误；综上，正确的结论有2个，故选：B． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，动点P在x轴上，动点Q在线段上，满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是 ． 【答案】或或 【详解】解：对于，当时，；当时，即，解得，， ∴∴由勾股定理得，， 当时，如图，则，又 ∵∴，∴，∴ ∵∴∴点的坐标为； 当时，此时点Q与点A重合，,∴点的坐标为； 当时，则 ∵∴，根据三角形外角性质得：，∴此种情况不存在； 当时，则，即，设此时， ∵在中，由勾股定理得：，∴，解得， ∴点P的坐标为．综上，点P的坐标为或或，故答案为：或或． 5．（2024八年级上·四川成都·专题练习）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，如图所示：    直线与轴的夹角为，点的坐标为，，， 直线经过坐标原点，且与轴的夹角为，， ，，，， 直线，，，， 在中，，，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：的面积，， 在中，，，由勾股定理得：， ，点的坐标为， 直线，直线，，，， ，由勾股定理得：， 直线，在中，，则， ，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：的面积，， 在中，，，由勾股定理得：， ，点的坐标为， 同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为， 当时，，，点的坐标为， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 【答案】操作一∶；操作二：的长为． 【详解】操作一：在中，，，， ，由翻折可得，，，， 设，则，，在中，， 由勾股定理得：，解得： ，∴； 操作二：在长方形中，，， 根据折叠的性质得，，在中，， 根据勾股定理可得，，， 设，则，在中，，，解得，的长为． 7．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 【答案】(1)，(2)，过程见解析 【详解】（1）解：由题意得，， ，， 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：，符合题意； 到矩形的最小距离为： ，，不符合题意； 到矩形的最小距离为：， 符合题意， 故 是矩形的“关联点”，故答案为，； （2）根据题意可得，正方形上任意两点之间的最大距离为 ， 根据题意画出临界点如图所示： 当直线经过点时，为最大值， 当直线经过时，为最小值，， 当直线经过点时， ，解得， 当直线经过时， ， 解得 ， 所以取值范围为：． 8．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）【基础巩固】如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值．    【答案】（1） （2）仍成立；理由见解析  （3）128 【详解】（1）∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，． ∵，∴，∴， ∴，即；故答案为：； （2）当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立． ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，． ∵，∴，∴， ∴，即； （3）在中，，∴ 过点A作，交于点F， ∴∴∵在中，∴∴ 又∵，∴，∴ ∴在中， ∴∴ ∴∴ 9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题解决：如图①，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为______，点的坐标为_______．（2）求（1）中点的坐标．（3）类比探究：如图②，平面直角坐标系中，线段在轴上，点坐标为，点与关于轴对称，点是线段上的一个动点，点坐标为，以点为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，； （2）过点C作 ，交x轴于点D，在等腰直角中，，， ，，，， ，，，； （3）过点C作 ，交x轴于点H， 在等腰直角中，，，，， ，，， 设，则，当点A在线段上时，如上图，， ， ，最小值为8，即最小值为；当点A在线段上时，如下图，， ,故此时长必大于当点A在线段上时长，舍去； 综上所述，最小值为； 10．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，且，直线经过点，与直线交于点D． (1)求直线的解析式；(2)如图2，连接、，求的面积；(3)如图2，当点D在直线上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是或或或 【详解】（1）解：，当时，，∴，∵，∴，∴， 把代入：中得：，，∴直线的解析式为：； （2）解：设交x轴于点H，设直线的解析式为， ， 将，代入得：，解得：， ∴直线的表达式为：，即点，则， 则的面积； （3）解：存在，分四种情况： ①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作轴于M，过C作轴于N， ∵是以为底边的等腰直角三角形，∴，，∴， ∴，∴，∴，， 设，则，∴， 即，，∴； ②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作轴于M，过C作轴于N， 同理得：，∴，， 设，则，∴， 即，，∴； ③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作轴于M，过C作轴于N， 同理得：，∴，，设，则， ∴，即，，∴； ④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作轴于M，过C作轴于N， 同理得：，∴， 设，则，∴， 即，，∴； 综上，存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形， 点Q的坐标是或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 几何与函数综合训练 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，真命题的个数是（    ） （）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（）三角形的内角和等于 （）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角；（）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D．点和在一次函数的图象上，若，则 3．（24-25九年级上·山西·阶段练习）在一片广袤的森林里，有一只机灵的猴子渴望爬到一棵大树的顶端．为了实现这个目标，它得借助一根连接地面和大树顶端的藤蔓．已知大树顶端距离地面的高度为米，猴子站立的位置距离大树底端的水平距离为米，则这根藤蔓的长至少是（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2024·浙江杭州·二模）为抬高水平放置的长方体木箱的一侧（其中），在下方垫入扇形木块，其中木块的横截面是圆心角为的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置，，则此时木箱点距离地面高度为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（2023·广东珠海·一模）若一次函数的图象过点，则 ． 7．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形两直角边长分别为6和8，则 ． 8．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 9．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设每个家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，根据图象，得出以下结论：①“基础电价”是元/度；②当时，y与x的函数表达式为；③若明明家五月份缴纳电费132元，则明明家这个月用电量为200度．以上结论正确的是 ．（写序号即可） 10．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形纸片中，，，如图所示折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，此时的长为 11．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”，例如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（规定）．当为“灵动三角形”时，则的度数为 ． 12．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长；(2)求这块空地的面积．    13．（23-24八年级上·四川成都·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 1.8 0.90 超17吨但不超过30吨的部分 2.8 0.90 超过30吨的部分 6.0 0.90 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费） 设每户家庭月用水量为x度时，应交水费y元． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)如果小明家12月份上交水费156.1元，则小明家这个月用水多少吨？ 14．（2024八年级上·浙江·专题练习）阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题：已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上，若直线（）与正方形有公共点，则k的值不可能是（   ） A． B．1 C． D． 2．（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，，、、分别平分、、．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段OA上一点．过点作轴的垂线，直线l与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时， ． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，直线，直线，在上有一动点M，在上有一动点N，连接、，则的最小值为 ． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期中）直线经过的顶点，．E，F分别是直线上两点，且． 【数学思考】若直线经过的内部，且E，F在射线上，请解决下面两个问题： （1）①如图1，若，，求证：；（2）②如图2，若，当与之间满足怎样的数量关系时，①中结论仍然成立，并给予证明． 【问题拓展】如图3，若直线经过的外部，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，则与的面积之和为_____． 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）数轴上原点右侧依次有、两点，现有甲、乙两只机械昆虫分别从原点出发前往、两点，乙先出发1秒钟，然后甲再出发，甲到达点后原路原速返回原点，甲回到原点的同时乙到达点．甲、乙两个机械昆虫到原点的距离与甲出发所用的时间的关系如图所示，结合图象信息解答下列问题：(1)乙是速度是______，乙从原点到点需要______s．(2)求出甲从点处原路返回原点的过程中和的函数关系式．(3)直接写出甲、乙两只机械昆虫相距时的值． 10．（24-25八年级上·四川·期中）在探究一次函数k、b对函数图象和性质的影响时，北师大教材87页探究了“直线与的位置关系如何？你能通过适当的移动将直线变为吗？一般地，直线与又有怎样的关系呢？”根据以上探究结论，解答下列问题： 若直线交坐标轴于A，B两点，将直线向右平移m个单位得到直线． (1)若时，求：①直线l1的表达式；②移动后的直线上到两坐标轴距离相等的点的坐标； (2)若直线与x轴的交点为P，满足，求m的值． 11．（23-24八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】（1）如图①，在中，，，，则是 三角形；（填“直角”“锐角”或“钝角”） 【问题探究】（2）如图②，，点C为射线上一点，且，点D为射线上的动点，当为等腰三角形时，求的长；（结果保留根号） 【问题解决】（3）如图③，为某植物园的一片绿化区域，且米，米，米，已知在的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿修一条小路，并在上找一点E，在中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域为等腰三角形时，的长．（结果保留根号）    12．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）阅读理解：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解： 几何意义：如图，建立中而直角火标系，点是x轴上一点，则（可以看成点P与点的距离，可以苔成点P与点的距离，所求代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点A关于x轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，．所以由勾股定理得．即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题，(1)代数式的值可以有成平面直角坐标系中点与点，点的距离之和，求点的坐标，(2)求代数式的最小值． 1．（24-25八年级上·北京·期末）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿着的路径运动（点与点不重合）．设点的运动路程为，则下列图象中表示的面积关于的函数关系的是（   ）    A． B．  C．D．   2．（23-24八年级下·绵阳市·期中）如图，在四边形中，，点M 是上一点，且满足，，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D．6 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，动点P在x轴上，动点Q在线段上，满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是 ． 5．（2024八年级上·四川成都·专题练习）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ．    6．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 7．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为．对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”． (1)如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则_____．在点，，，中，矩形的“关联点”是_____； (2)如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围． 8．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）【基础巩固】如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值．    9．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）问题解决：如图①，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，以为腰在第一象限作等腰直角，，点的坐标为______，点的坐标为_______．（2）求（1）中点的坐标．（3）类比探究：如图②，平面直角坐标系中，线段在轴上，点坐标为，点与关于轴对称，点是线段上的一个动点，点坐标为，以点为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角，连接，在点的运动过程当中，线段是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 10．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，且，直线经过点，与直线交于点D． (1)求直线的解析式；(2)如图2，连接、，求的面积；(3)如图2，当点D在直线上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$