数学思想专题（一）&数学活动专题（一）填幻方&综合与实践（二）二进制与十进制的转化-【名师学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学分层进阶学习法（人教版2024）

数学思想专题（一）与有理数的运算有关的数学思想 类型一数形结合思想 【例3】(2024·甘肃改编)定义一种新运算*， 思想概述 规定运算法则为：m￥n=m"一mn(m,n均为整 有理数的相关概念及大小比较，可以利用数轴来 解决借助数轴，可以把有理数表示在数轴上，将抽象 数，且n≠0).例：2￥3=2-2×3=2. 的数直观地表示出来，这种把数与图形结合起来研究 (1)则（一2）*2= 的思想就是数形结合思想，利用数形结合思想可以直 (2)求[（一1）*2]*4的值. 接判断两个有理数的和或差或积或商的符号， 【点拨】直接套用公式列出算式，根据有理数的混合运 【例1】(2024·贵阳模拟)已知有理数a,b在数 算法则解答 轴上如图所示，则下列式子错误的是 a 0 b A.a+b<0 B8<0 C.ab<0 D.a-b>0 【点拨】由数轴可知a<0<b,且|a>b,然后利用有 理数的加法、除法、乘法与减法法则解答。 【针对训练3】 【针对训练1】 3【新中考·新定义型阅读理解题】阅读材料， 1.已知点A,B,C都在同一条数轴上，点A表示 解决下列问题： 一3，B和C位于原点的两侧并且到原点的距 【阅读材料】求n个相同因数a的积的运算叫 离相等，又知点B和点A相距5个单位长 度，则点C表示的数是 做乘方，记为a”.若10"=m(n>0,m≠1，m> 类型二分类讨论思想 0),则n叫做以10为底m的对数，记作：lgm 思想猴送 =n.如：10=10000，此时，4叫做以10为底 某些数学问题在求解时会有多种情况，需要对各 10000的对数，记作：1g10000=1g10=4, 种情况分类讨论，逐类求解，这就是分类讨论思想.应 (规定1g10=1). 用分类讨论思想应注意两个问题：一是每次分类要按 照统一标准进行分类；二是分类时要不重不漏， 【解决问题】 【例2】若有理数a,6满足ab≠0，则日+公的 (1)计算：lg100=;lg1000= 1g100000= ;lg1020= 值为 (2)计算：lg10+lg100+1g1000+…+1g101°； 【点拔】分情况讨论a与b的正负，利用绝对值的意义解答. 【拓展应用】 【针对训练2】 (3)由(1)知：lg100+lg1000与lg100000之间 2.已知a|=4,|b=2.且a+b=-(a+b), 的数量关系为： 则a一b的值是 猜想：lga+1gb lgab(填“>”“<”或 类型三类比思想 思想得述 “=”)(a>0,b>0). 类比思想是根据两个对象之间在某些方面的相 同或相似，从而推出它们在其他方面也可能相同或相 似.在解决某些问题时，我们可以借助类比的思想，从 而达到启发思路的目的. 47 七年级数学·上册 数学活动专题（一）填幻方 【针对教材P58活动2】 1.“幻方”最早源于我国，古人称之为纵横图.图 4.传说夏禹治水时，洛水中浮出 中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之 一只神龟，龟背上有一张奇特 和均相等.对于下列两个结论的判断正确的 的图案，这就是传说中的“洛 是 2 ( 书”，即现在的三阶幻方.三阶 结论I:a的值为一5； 幻方有“和幻方”和“积幻方”，如图所示是“积 结论Ⅱ：a>b. 幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数 A.I和Ⅱ都对 B.I和Ⅱ都不对 字之积均相等，则m”=一 C.I对Ⅱ不对 D.I不对Ⅱ对 5.填幻方： 0 a -2中 国 有人建议向火星发射如图1所示的图案，它 3 航 -1 天 叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1,2， 梦 2 0 3,4,5,6,7,8,9.每一横行、每一竖列以及两 条斜对角线上的点数的和都相同.如果火星 第1题图 第2题图 上有智能生物，那么他们可以从这种“数学语 2.有关幻方的最早记录，是约于公元前2200年 言”了解到地球上也有智能生物（人） 在我国出现的“洛书”.在如图所示的三阶幻 (1)如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对 方中，填写了一些数和汉字（其中每个汉字都 角线上的点数的和都是 表示一个数).若处于每行、每列及每条对角 (2)请将一6，-3,0,3,6,9,12,15,18填入图 线上的3个数之和都相等，则“中”“国”“梦” 2,使其构成一个幻方： 这三个字表示的数之和为 () 拓展延伸： A.-9B.-6 C.-3 D.-1 (3)如图3，在一个由6个圆圈组成的三角形 3.我国古老的幻方如图1，就是将1~9的9个 里，把一7到一2这6个连续整数分别填人 整数分别填入在3×3的网格中，使每一横 圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数 行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数 的和S都相等，则S的最大值是 的和相等.如图2，现将1~25的25个整数分 别填入5×5的网格中，也能满足上述类似要 求，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线 :图 上的5个数的和相等，但其中有未完成的空 用·田 图1 图2 图3 格，则空格中m十n的值为 17 24 8 15 23 14 6 13 20 22 10 12 19 3 18 25 2 9 图1 图2 助学助教优质高数48 综合与实践（二） 二进制与十进制的转化 活动一阅读下列材料 的 材料一：我们通常学习的数都是十进制的数，使 A.7位数B.6位数C.5位数D.4位数 用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表 2.将十进制的数字35化为二进制的数为 示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：4123 =4×103+1×102+2×101十3×10°，（这里我 活动三阅读解题方法（二进制化为十进制） 们规定：a≠0时，a”=1. 解题技巧 二进制的数改写成十进制的数时，先把二进制的 材料二：现代的计算机和依赖计算机的设备都 数改写成若千个2”的数字之和，然后计算出结果，就 使用二进制的数，用到的数码只有两个：0和1， 是十进制的数.比如把二进制的数1011改为十进制 表示具体数时“逢二进一” 的数时，1,0,1,1，分别是23,2,2,2°，的系数，即： 活动二阅读解题方法（十进制化为二进制） 1×23+0×22+十1×21十1×2°=11，即二进制数 解题技巧 二进制的数和十进制的数可以互相转化.将一个 1011等于十进制数11. 十进制的数转化为二进制的数，只需将该数先改写为 【例2】把二进制的数“1011011”改写成十进制 若干个2"的数字之和，再依次写出1或0即可，在改 的数 写为若干个2”的数字之和时要注意：2”的指数由大 解：因为1011011=1× 十0× 到小，并且是连续的整数，2"的系数只能是1或0.” +1× +0× +1× 比如把103化为二进制的数时，先把103化成64十32 +1× =91 +4+2+1,其中64=1×2，后面应紧跟2,2,2°， 所以二进制的数“1011011”改写为十进制的数 22,2,2°的项，而32=1×2,4=1×22,2=1×2,0 是91. =1×2°，由此发现缺2,2，故它们前面的系数均为 【针对练习2】 0,即： 3.计算机的二进制的数据是用0和1两个数码 103=1×2°+1×25+0×2+0×2+1×2+1 ×2+1×29 来表示的数，进位规则是“逢二进一”，二进制 所以103用二进制的数码表示是1100111，记为 的数和十进制的数可以互换，则二进制的数 103=(1100111)2 “1001001”换成十进制的数为 【例1】如把十进制的数字19改写为二进制的数字. 4.【新课标·过程性学习】请把二进制的数 解：（答题模板）因为19=16十2十1=1× 10101转换为十进制的数的过程补充完整： +0× +0× +1× +1× (10101)2=(1× +0× +1× 所以，十进制的数字19可以写为二进制数字 +0× +1× ）10 10011. = )10; 【针对练习1】 5.我们常用的数是十进制的数，计算机程序使 1.计算机利用的是二进制的数，它共有两个数 用的是二进制的数（只有数码0和1），是逢2 码0,1，将一个十进制的数转化为二进制的 进1的计数制，它们两者之间可以互相换算， 数，只需将该数写为若干个2"的数字之和， 如将(101)2，(1011)2换算成十进制的数应为： 依次写出1或0即可.如十进制的数字37 (101)2=1×22十0×2+1×2°=4十0+1=5， 可以写为二进制的数字100101，因为37=32 (1011)2=1×23+0×22+1×2+1×2°=11， 十4十1=1×25+0×2+0×23+1×22+0× 按此方式， 2+1×2°，则十进制的数字70是二进制下 则(101)2+(1111)2=( ）2. 49 七年级数学·上册2.3.2科学记数法 知识储备 a×10110n-1 A基础练 1.C2.B3.D4.25.(1)1.23078×10(2)1.1×10(3)-7.815×10 6.C7.D8.(1)3500000(2)-80000(3)-712.39.(1)>(2)>10.解： 1.6×365×1000=584000=5.84×10(kW·h).答：这个小区一年(365天)大约可 以节约5.84×10kW·h电. 2.3.3近似数 知识储备 1.近似数2.精确度 A基础练 1.D2.(1)十分位0.1(2)①百分②千分3.解：(1)精确到个位：(2)精确到千 分位：(3)精确到百分位.4.B5.(1)3.0(2)0(3)79.55(4)3.1426.C 7.D8.D9.C10.2.3042.29511.解：有可能.注意题中的“约”字，比如甲身 高174cm,乙身高165cm.174-165=9(cm). 数学思想专题（一）与有理数的运算有关的数学思想 【例1】D【针对训练1】1.-2或8【例2】0或2或-2【针对训练2】2.-6或-2 【例3】解：(1)8(2)[(-1)*2]4=[(-1)2-(-1)×2]￥4=3*4=3-3×4 =69【针对训练3】3.解：(1)23520(2)lg10+1g100+lg1000+…+1g10 =1+2+3++10=55.(3)1g100+lg1000=1g100000= 数学活动专题（一）填幻方 1.C2.B3264.号5.解：115(2(-6-3+0+3+6+9+12+15+18)÷3 =18,即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于18，根据幻方的特点 可知：从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中， 并且这列数中最大的数与最小的数必在一起.(3)一12 ●●● 12 -3 18 888 图1 图2 图3 综合与实践（二）二进制与十进制的转化 【例1】2232222°【针对练习1】1.A2.100011【例2】222423 2222°【针对练习2】3.734.222222°215.10100 第二章核心素养与跨学科融合专练 1-?2解：原式的倒数是：（付是+号号）÷() (传是+号号)×(-2=日×(-2)是×(-2+号×(-2)-号× (-42)=-14.故原式=1年3.解：1)2(2)30×7+(10-8+12-6+11+14 一3)=240(min).240×0.1=24(km).答：薛老师这七天一共跑了24km.4.1.4× 108 第二章大单元整合与素养提升 1.D2.D3.A4.D5.16.3207.(1)解：原式=(-8)+(-3)×(16+2)-9 ÷(-2)=(-8)+(-3)×18+4.5=(-8)+(-54)+4.5=-62+4.5=-57.5: (2)解：原式=-36×是-(-36)×号-(-36)×号-(36+号)×}+(-27) -27+18+20-9一号-27=一25号8解：该组数据中，-0.5的绝对值最小， 最接近25kg的标准，是第4筐，这筐白菜重25一0.5=24.5kg.答：这8筐白菜中，最 -191