第03讲 等差数列的前n项和公式（3大知识点+9大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修二）

第03讲 等差数列的前n项和公式 目录 题型归纳 1 题型01 求等差数列前n项和 2 题型02 等差数列前n项和的基本量计算 3 题型03 由Sn求通项公式 3 题型04 等差数列片段和的性质及应用 4 题型05 两个等差数列的前n项和之比问题 4 题型06 二次函数法求等差数列前n项和的最值 5 题型07 求等差数列前n项和的最值 6 题型08 等差数列的简单应用 6 题型09 根据等差数列前n项和的最值求参数 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 10 知识点01等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 知识点02等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 知识点03等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 题型01求等差数列前n项和 【例1】（24-25高二上·福建·期中）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．880 B．220 C．110 D．440 【变式1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·浙江金华·期末）数列满足，，则 ． 【变式3】（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)写出数列的前项和. 题型02 等差数列前n项和的基本量计算 【例2】（23-24高二上·福建福州·期末）等差数列的前项和为，公差，则（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【变式1】（23-24高二上·广东中山·期中）公差为不为零的等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【变式2】（21-22高二上·甘肃临夏·期中）在等差数列中，是其前n项和，已知，，则 . 【变式3】（23-24高二上·福建南平·期末）《算学启蒙》作者是元代著名数学家朱世杰，这是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.里面涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.某同学模仿“堆垛”问题，将108根相同的铅笔刚好全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从上往下，每一层比下一层少1根，则该“等腰梯形垛”最多可以堆放 层. 题型03 由Sn求通项公式 【例3】（22-23高二上·陕西渭南·期中）已知等差数列的前n项和，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式1】（21-22高二上·陕西西安·期末）设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 【变式3】（21-22高二上·重庆·期末）已知数列的前项和，则该数列的首项 ，通项公式 . 题型04 等差数列片段和的性质及应用 【例4】（23-24高二上·甘肃武威·期中）等差数列中，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【变式1】（23-24高二上·河北唐山·期末）记是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．78 【变式2】（23-24高二上·湖南张家界·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 【变式3】（22-23高二上·江苏盐城·期末）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 . 题型05 两个等差数列的前n项和之比问题 【例5】（23-24高二上·甘肃武威·期中）已知等差数列，前n项和分别为，，若，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】（22-23高二上·北京·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 . 【变式2】（22-23高二上·云南楚雄·期末）设等差数列，的前项和分别为，.若，则 【变式3】（22-23高二上·云南曲靖·期末）若数列，都等差数列，且有，则 ． 题型06 二次函数法求等差数列前n项和的最值 【例6】（20-21高二上·陕西宝鸡·期中）下列说法中正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列的前项和的最大值为 【变式1】（20-21高二上·湖南·期中）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列，则取得最大值时n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【变式2】（22-23高二上·广东·期末）等差数列是递增数列，满足，前n项和为，则最小值时 ． 【变式3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 题型07 求等差数列前n项和的最值 【例7】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为（   ） A．98 B．50 C．49 D．7 【变式1】（22-23高二上·天津·期末）若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 【变式2】（22-23高二上·安徽六安·期末）设等差数列的前项和为，且，，则当 时，最大． 【变式3】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知数列中，，求数列的前项和的最小值. 题型08 等差数列的简单应用 【例8】（22-23高二上·江苏盐城·期末）《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（    ） A．110尺 B．90尺 C．60尺 D．30尺 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·期末）小明为锻炼身体,增强体质,计划从假期第一天开始慢跑,第一天跑步3公里,以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若小明打算用20天跑完98公里,则预计这20天中小明日跑步量超过6公里的天数为（    ） A．8 B．9 C．4 D．5 【变式2】（23-24高二上·广西玉林·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 【变式3】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 题型09 根据等差数列前n项和的最值求参数 【例9】（23-24高二上·广东·期末）已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【变式1】（22-23高二上·湖南衡阳·期末）已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·陕西延安·期中）设是等差数列的前项和，公差为，，当且仅当时，取得最小值，则的取值范围为 . 【变式3】（22-23高二上·河北唐山·期末）等差数列的前项和为，已知为整数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知等差数列的前项之和为，，则公差为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江宁波·期中）在等差数列中，已知，，则等于（   ） A．11 B．13 C．15 D．16 3．（24-25高二上·重庆·期中）数列的通项公式为，则当该数列的前n项和取得最小值时n的值为（    ） A．9 B．8 C．8或9 D．7或8 4．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知数列是等差数列，其中，则（  ） A．4050 B．4048 C．2025 D．2024 二、多选题 5．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．数列的最小项为 D．数列是等差数列 三、填空题 7．（24-25高二上·福建莆田·期中）数列的前项和记为，若，则 . 8．（22-23高二上·山西朔州·期末）设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 四、解答题 9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）在前项和为的等差数列中，． (1)求数列的首项和公差； (2)当时，求的最大值． 10．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 11．（24-25高二上·河南·期中）设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且． (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值． 12．（23-24高二上·广西南宁·期中）等差数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）在等差数列中，若，则=（    ） A．100 B．120 C．57 D．18 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前和为，，则（   ） A． B． C．3 D． 3．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（    ） A．是递减的等差数列 B．数列的首项为正数 C．的最大值是20 D．是中的项 4．（22-23高二上·福建福州·期末）已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（    ） A．32 B．33 C．44 D．45 二、多选题 5．（24-25高二上·江西赣州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若数列前项和满足，则 B．在等差数列中，满足，，则其前项和中最大 C．在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值 D．若等差数列中，，，则使的最大的为15 6．（24-25高二上·河南安阳·期中）若等差数列的公差为，首项为，其前项和为，，其中，，，，则下列选项正确的是（  ） A． B． C．中的最大项为 D．中的不同数值有个 三、填空题 7．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等差数列中，，，则 8．（24-25高二上·福建龙岩·期中）在数列中，，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为 . 9．（24-25高二上·甘肃·期中）已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，记，则数列的前2024项和为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，； (1)求等差数列的前项和及的最大值； (2)求数列的前项和. 11．（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 12．（24-25高二上·重庆·期中）等差数列的前n项和为，若，，公差. (1)求的通项公式； (2)若，求n的值. 13．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 14．（20-21高二上·江苏徐州·期中）已知是正项数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若不等式恒成立，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等差数列的前n项和公式 目录 题型归纳 1 题型01 求等差数列前n项和 2 题型02 等差数列前n项和的基本量计算 5 题型03 由Sn求通项公式 7 题型04 等差数列片段和的性质及应用 9 题型05 两个等差数列的前n项和之比问题 10 题型06 二次函数法求等差数列前n项和的最值 12 题型07 求等差数列前n项和的最值 15 题型08 等差数列的简单应用 17 题型09 根据等差数列前n项和的最值求参数 19 分层练习 22 夯实基础 22 能力提升 29 知识点01等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 知识点02等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 等差数列{}的前n项和==+(-)n，令=A，-=B，则=+Bn. (1)当A=0，B=0(即d=0，=0)时，=0是常数函数，{}是各项为0的常数列. (2)当A=0，B≠0(即d=0，≠0)时, =Bn是关于n的一次函数，{}是各项为非零的常数列. (3)当A≠0，B≠0(即d≠0，≠0)时，=+Bn是关于n的二次函数(常数项为0). 知识点03等差数列前n项和的性质 等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质 性质1 等差数列中依次k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, …组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则，，； 若等差数列的项数为2n-1(n∈N*)，则(an是数列的中间项)，， 性质3 {an}为等差数列为等差数列 性质4 若{an},{bn}都为等差数列，Sn,Tn分别为它们的前n项和，则 题型01求等差数列前n项和 【例1】（24-25高二上·福建·期中）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．880 B．220 C．110 D．440 【答案】D 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的性质可求的值，从而可求. 【详解】因为，所以， 故， 故选：D. 【变式1】（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知数列与数列，其中.它们的公共项由小到大组成新的数列，则的前项的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】先确定公共项为为等差数列，求出首项和公差后即可求和. 【详解】明显数列和数列均为等差数列 令，可得， 则， 则数列为等差数列，且，公差为， 所以的前项的和为. 故选：C. 【变式2】（22-23高二上·浙江金华·期末）数列满足，，则 ． 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】累加法以及等差数列求和公式求数列的通项公式. 【详解】因为， 所以， ， ， ， ， 累加得： 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)写出数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，由此即可得解. （2）由等差数列前项和公式的二次函数特性即可得解. 【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为， 由题意，， 解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可知，所以 题型02 等差数列前n项和的基本量计算 【例2】（23-24高二上·福建福州·期末）等差数列的前项和为，公差，则（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】A 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由等差数列前项和公式结合即可求得. 【详解】由题意得，则. 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·广东中山·期中）公差为不为零的等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据条件，建立方程，即可求出结果. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以， 整理得到，解得， 故选：A. 【变式2】（21-22高二上·甘肃临夏·期中）在等差数列中，是其前n项和，已知，，则 . 【答案】15 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出，，由此能求出. 【详解】在等差数列中，是其前n项和，，， ∴， 解得，， . 故答案为：15. 【变式3】（23-24高二上·福建南平·期末）《算学启蒙》作者是元代著名数学家朱世杰，这是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.里面涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.某同学模仿“堆垛”问题，将108根相同的铅笔刚好全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从上往下，每一层比下一层少1根，则该“等腰梯形垛”最多可以堆放 层. 【答案】9 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列的求和公式进行求解即可. 【详解】设从上往下该“等腰梯形垛”第层堆放的铅笔数为， 则是公差为1的等差数列，其和为108，所以； 整理可得，由可得， 由于，所以为216的正约数，且为偶数； 经验证可得时符合题意. 故答案为：9 题型03 由Sn求通项公式 【例3】（22-23高二上·陕西渭南·期中）已知等差数列的前n项和，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【知识点】由Sn求通项公式 【分析】根据数列的前项和公式，直接可以得出，进而得出结果. 【详解】因为等差数列的前n项和， 所以， 故选：D. 【变式1】（21-22高二上·陕西西安·期末）设为数列的前n项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由Sn求通项公式 【分析】利用数列的前n项和与通项公式间的关系求解. 【详解】解：当时，； 当时，， 又适合上式， 所以， 故选：A 【变式2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】2024 【知识点】由Sn求通项公式 【分析】根据的关系，分是否等于1讨论即可. 【详解】由于数列的各项均为正数，即， 当时，，即， 当时，由，可得，两式相减得， 又， 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，. 故答案为：2024. 【变式3】（21-22高二上·重庆·期末）已知数列的前项和，则该数列的首项 ，通项公式 . 【答案】 ； . 【知识点】由Sn求通项公式 【分析】空一：利用代入法直接进行求解即可； 空二：利用之间的关系进行求解即可. 【详解】空一：； 空二：当时，， 显然不适合上式， 所以， 故答案为：； 题型04 等差数列片段和的性质及应用 【例4】（23-24高二上·甘肃武威·期中）等差数列中，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列片段和的性质求解即可. 【详解】等差数列中，成等差数列， 所以即. 故选：B 【变式1】（23-24高二上·河北唐山·期末）记是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．78 【答案】D 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列的前n项和的性质：对于，,成等差数列，取,列出方程组求解即得. 【详解】因是等差数列的前n项和，则成等差数列， 于是，代入，，解得：， 又,代入上述值，解得：. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·湖南张家界·期中）已知等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】36 【知识点】等差中项的应用、等差数列片段和的性质及应用 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. 故答案为：36. 【变式3】（22-23高二上·江苏盐城·期末）等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 . 【答案】 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列前项和的性质计算可得. 【详解】为等差数列， ，，成等差数列，即，，成等差数列， ，解得， 又，，成等差数列，即，，成等差数列， 所以，解得. 故答案为：． 题型05 两个等差数列的前n项和之比问题 【例5】（23-24高二上·甘肃武威·期中）已知等差数列，前n项和分别为，，若，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列性质运算求解. 【详解】因为，为等差数列， 则， 即. 故选：D. 【变式1】（22-23高二上·北京·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则 . 【答案】6 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列前项和的性质，将项的比转化为和的比值. 【详解】由已知得，， 令n=5，则，， 所以， 故答案为：6. 【变式2】（22-23高二上·云南楚雄·期末）设等差数列，的前项和分别为，.若，则 【答案】/0.4 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据等差数列的前项和的性质即可求解. 【详解】因为，， 所以, 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·云南曲靖·期末）若数列，都等差数列，且有，则 ． 【答案】 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设等差数列、的前项和分别为 由 故答案为: 题型06 二次函数法求等差数列前n项和的最值 【例6】（20-21高二上·陕西宝鸡·期中）下列说法中正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列的前项和的最大值为 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【解析】根据数列单调性的定义依次判断ABC选项，可知AB错误，C正确；根据等差数列前项和的二次函数性可知D错误. 【详解】对于A，，是递减数列，A错误； 对于B，数列各项为：，，，，…，不是递减数列，B错误； 对于C，，是递增数列，C正确； 对于D，数列是以为首项，为公差的等差数列，前项和， ，的最大值为，D错误. 故选：C. 【变式1】（20-21高二上·湖南·期中）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且成等比数列，则取得最大值时n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】C 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值 【解析】先根据条件求出等差数列的公差，再求出前n项和，根据二次函数的性质即可求出. 【详解】设等差数列的公差为， 成等比数列，， 即，解得（舍去）或， ， 对称轴为，故当或5时，取得最大值. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列前n项和最值，由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值. 【变式2】（22-23高二上·广东·期末）等差数列是递增数列，满足，前n项和为，则最小值时 ． 【答案】3或4 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】首先根据得到，代入得到，再结合二次函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以，整理得：. 所以. 因为等差数列是递增数列，所以. 所以当时，取得最小值， 又因为为正整数，所以或时，最小值. 故答案为：3或4 【变式3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等差数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求解即可； （2）由等差数列的求和公式及二次函数性质得解. 【详解】（1）设的公差为. 由题意，得. 由，得. 所以的通项公式为. （2）由（1），得. 所以当时，取得最小值，最小值为. 题型07 求等差数列前n项和的最值 【例7】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为（   ） A．98 B．50 C．49 D．7 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】设公差为，根据所给条件求出，即可求出，再根据二次函数的性质计算可得. 【详解】设公差为，因为，， 所以，即，解得， 所以， 所以当时取得最大值，最大值为. 故选：C 【变式1】（22-23高二上·天津·期末）若等差数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（    ） A．1011 B．1012 C．2022 D．2023 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和的最值 【分析】将等差数列的前2023和2024项和与0的大小比较，得出具体的项数的正负，即可求出当取得最小值时的值. 【详解】由题意，，∴， ，∴， 则等差数列满足，， 可得公差， ∴数列为递增数列，且当，时，， 当，时，， ∴当取得最小值时，的值为1012． 故选：B． 【变式2】（22-23高二上·安徽六安·期末）设等差数列的前项和为，且，，则当 时，最大． 【答案】1011 【知识点】求等差数列前n项和的最值 【分析】利用等差数列的求和公式及性质求解. 【详解】因为为等差数列，所以，即； 同理由可得，所以，所以当时，最大． 故答案为：1011. 【变式3】（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知数列中，，求数列的前项和的最小值. 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和的最值 【分析】判断出数列为等差数列，令，可得出使得取最小值时的值，结合等差数列的求和公式可求得的最小值. 【详解】解：在数列中，，则， 所以，数列为等差数列， 令，解得， 所以，当时，取最小值，且其最小值为 题型08 等差数列的简单应用 【例8】（22-23高二上·江苏盐城·期末）《张邱建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（    ） A．110尺 B．90尺 C．60尺 D．30尺 【答案】B 【知识点】等差数列的简单应用、求等差数列前n项和 【分析】由等差数列求和公式得解. 【详解】由题意知该女子每天织布的尺数成等差数列， 且等差数列中，首项与第三十项分别为， （尺）， 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·期末）小明为锻炼身体,增强体质,计划从假期第一天开始慢跑,第一天跑步3公里,以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若小明打算用20天跑完98公里,则预计这20天中小明日跑步量超过6公里的天数为（    ） A．8 B．9 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】等差数列的简单应用、求等差数列前n项和 【分析】由已知可得这20天日跑步量成等差数列，再根据等差数列的通项公式求解． 【详解】由已知可得这20天日跑步量成等差数列，记为， 设其公差为，前项和为，且， 则，即，解得， 所以， 由，得，解得， 所以这20天中老张日跑步量超过6公里的天数为天． 故选：C． 【变式2】（23-24高二上·广西玉林·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 【答案】C 【知识点】等差数列的简单应用、求等差数列前n项和 【分析】根据题意，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，设各层球的个数构成数列， 可得， 所以，则. 故选：C. 【变式3】（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【答案】C 【知识点】等差数列的简单应用、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可. 【详解】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 故选：C 题型09 根据等差数列前n项和的最值求参数 【例9】（23-24高二上·广东·期末）已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【答案】A 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】根据给定条件，确定数列的单调性，再求出的的最大值即得. 【详解】数列的通项公式，显然数列是递增数列， 由，得，而，因此数列的前1012项均为负数，从第起为正， 所以取最小值时的值为1012. 故选：A 【变式1】（22-23高二上·湖南衡阳·期末）已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】设等差数列的公差为，由可得出，然后解不等式，可得出当取得最小值时对应的的值. 【详解】设等差数列的公差为，由可得， 整理可得，所以，， 令，即，解得， 因此，当取最小值时，. 故选：C. 【变式2】（22-23高二上·陕西延安·期中）设是等差数列的前项和，公差为，，当且仅当时，取得最小值，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】根据等差数列前项和的性质，判断的正负，即可求得结果. 【详解】根据题意可得，即，解得. 故答案为：. 【变式3】（22-23高二上·河北唐山·期末）等差数列的前项和为，已知为整数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】（1）根据题意得公差为整数，且分析求出即得； （2）利用裂项相消法即得. 【详解】（1）由为整数知，等差数列的公差为整数，又， 故于是， 解得，因此， 故数列的通项公式为； （2）由题可知， 于是． 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知等差数列的前项之和为，，则公差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用等差数列前项和公式及等差数列的性质，即可求解. 【详解】在等差数列中，，所以， 又，所以公差． 故选：A． 2．（24-25高二上·浙江宁波·期中）在等差数列中，已知，，则等于（   ） A．11 B．13 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据等差数列通项公式和前项和表达式即可得到方程，解出即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 即，解得，则. 故选：A. 3．（24-25高二上·重庆·期中）数列的通项公式为，则当该数列的前n项和取得最小值时n的值为（    ） A．9 B．8 C．8或9 D．7或8 【答案】B 【分析】由题意可得，当数列的前n项和取得最小值时，可得，，结合解得即可. 【详解】∵，∴，公差，且数列单调递增， ∴若数列的前n项和取得最小值，则 得 ，即，解得. ∵，则 ∴数列的前n项和的最小值为 故选：B. 4．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知数列是等差数列，其中，则（  ） A．4050 B．4048 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列性质运算求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且， 所以. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列的前项和为，无论首项和公差如何变化，始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据等差数列性质和求和公式可知是定值，再理由等差数列性质逐项分析判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 若始终是一个定值，所以是定值，故B正确； 又因为，， 所以与也为定值，所以C，D正确； 没有足够条件判断A，故A错误； 故选：BCD． 6．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．数列的最小项为 D．数列是等差数列 【答案】AD 【分析】利用可得，由可判断A；求出可判断B；利用配方法求最值可判断C；利用等差数列的定义可判断D. 【详解】当时，， 当时，， 且，所以， 对于A，时，， 所以数列是递增数列，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，因为，所以当或时，最小，为， 所以数列的最小项为或，故C错误； 对于D，因为，且当时，， 当时，， 所以数列是以为首项1为公差的等差数列，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 7．（24-25高二上·福建莆田·期中）数列的前项和记为，若，则 . 【答案】 【分析】根据即可求解，代入验证即可. 【详解】当时，， 当也符合上式， 故 故答案为： 8．（22-23高二上·山西朔州·期末）设两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列前n项和的性质直接求解即可. 【详解】由题意可得． 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高二上·贵州毕节·期末）在前项和为的等差数列中，． (1)求数列的首项和公差； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1)首项为18，公差为 (2)7 【分析】（1）设数列的公差为，由已知条件得到的方程组，再解方程组可得答案； （2）由（1）知，令，结合可得答案． 【详解】（1）设数列的公差为，由题意有， 解得， 故数列的首项为18，公差为； （2）由（1）知， 由，得， 又，则的最大值为7． 10．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 【答案】(1) (2)68 【分析】（1）根据所选条件，求出等差数列的首项和公差，可求数列通项； （2）由数列中各项的符号，利用分组求和求数列的前10项的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 若选择①②，由①，②， 则等差数列首项，公差， ； 若选择①③，由①，③，则，公差， 所以等差数列首项，公差， ； 若选择②③，由②，③，得， 所以等差数列首项，公差， ； （2）令，得，则前2项为负数，从第3项起为正数， . 11．（24-25高二上·河南·期中）设为递增的等差数列，其前n项和为，已知，且． (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解； （2）结合等差数列的求和公式及通项公式进行化简，解不等式即可求解． 【详解】（1）设公差为， 因为，且， 所以，解得或（舍）， 故； （2）由（1）可得，， 若，则，解得， 故n的最小值为5． 12．（23-24高二上·广西南宁·期中）等差数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值. 【答案】(1)； (2)，最大值为16 【分析】（1）设出公差，由题设列出关于首项和公差的方程组，求出首项和公差即可得到通项公式； （2）利用等差数列求和公式得到，配方求出最大值. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 则，解得， 故数列的通项公式为； （2）由（1）， 故当时，取得最大值，最大值为16. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）在等差数列中，若，则=（    ） A．100 B．120 C．57 D．18 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和性质求解． 【详解】是等差数列，则仍成等差数列， 又，，所以，， ， 所以， 故选：B． 2．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前和为，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】在原条件中取，再利用等差数列性质即可得到结果. 【详解】在中取得，故，所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（    ） A．是递减的等差数列 B．数列的首项为正数 C．的最大值是20 D．是中的项 【答案】D 【分析】根据题意得到该数列为等差数列，依据公差的正负可判断A，根据通项公式可求得B，根据首项以及公差可求得C，根据数列中每一项的特征可判断D. 【详解】，即，则是公差为的等差数列， 对于A，等差数列公差，所以是递减的等差数列，A选项正确； 对于B，等差数列公差，由，有，解得， 所以数列的首项为正数，B选项正确； 对于C，， 时，；时；时，， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，由可知，中的项都是偶数， 所以不是中的项，D选项错误. 故选：D. 4．（22-23高二上·福建福州·期末）已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（    ） A．32 B．33 C．44 D．45 【答案】C 【分析】分奇偶项讨论，根据题意利用并项求和求，运算求解即可. 【详解】当为偶数时， ， 令，且n为偶数， 解得，故n的最大值为44； 当为奇数时， ， 令，且为奇数， 解得，故n的最大值为43； 综上所述：n的最大值为44. 故选：C. 【点睛】方法点睛：并项求和适用的条件和注意事项： 1.适用条件：数列中出现等形式时，常用利用并项求和求； 2.注意分类讨论的应用，比如奇偶项，同时还需注意起止项的处理. 二、多选题 5．（24-25高二上·江西赣州·期中）下列说法正确的是（    ） A．若数列前项和满足，则 B．在等差数列中，满足，，则其前项和中最大 C．在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值 D．若等差数列中，，，则使的最大的为15 【答案】BCD 【分析】直接利用数列的通项公式的求法和等差数列的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A：数列前项和满足，当时，解得， 当时，，所以， 故，故A错误； 对于B：等差数列中，满足，， 所以：，则， 由于，所以，故，，所以其前项和中最大，故B正确； 对于C：等差数列中，满足，， 则数列的前9项和为定值，故C正确； 对于D：若，则， 又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为，所以使的最大的为15，故D正确. 故选：BCD 6．（24-25高二上·河南安阳·期中）若等差数列的公差为，首项为，其前项和为，，其中，，，，则下列选项正确的是（  ） A． B． C．中的最大项为 D．中的不同数值有个 【答案】ACD 【分析】对于A：根据等差数列求和公式可得，代入通项公式即可判断；对于B：可知等差数列为递减数列，且，即可判断；对于C：分析的项的符号，可知的单调性，进而分析的最值；对于D：利用等差数列性质可得，结合的单调性，分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知. 则，可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，可知等差数列为递减数列， 且，所以，故B错误； 对于选项C：可知， 根据的符号可知：， 当时，均为正数，且最大，最小，可知中的最大项为，且为正数； 当时，； 综上所述：中的最大项为，故C正确； 对于选项D：因为， 同理可得：， 可知当时，中的不同数值有10个； 当时，由选项C可知每个值均不同，共有81个； 综上所述：中的不同数值有个，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 7．（23-24高二上·上海闵行·期中）已知等差数列中，，，则 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求解； 【详解】因为为等差数列，所以，， 两式相加得： ， 故答案为：. 8．（24-25高二上·福建龙岩·期中）在数列中，，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先利用递推关系式证得是等差数列，从而求得，再利用裂项相消法求得，根据恒成立求得的范围. 【详解】由，可得， 即，所以，又， 所以是以为首项，2为公差的等差数列，则， ， ，因为，所以， 所以，又恒成立，即恒成立， ，即. 故答案为：. 9．（24-25高二上·甘肃·期中）已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数（例如，记，则数列的前2024项和为 . 【答案】2025 【分析】由条件构造等差数列，结合累加法求，再利用及的定义计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以数列是以首项为4，公差为2的等差数列， 故， 由累加法可知当时， ， 所以，，又也符合该式，所以. 所以， 又时，， 又时，，此时， 所以的前2024项和为. 故答案为：2025. 【点睛】关键点点睛：构造数列并求通项公式，再由累加法求的通项公式，结合函数新定义求目标式的值. 四、解答题 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，； (1)求等差数列的前项和及的最大值； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，210； (2)212. 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合性质求出公差及首项即可得解. （2）由（1）求出数列的通项公式，判断项的正负，再结合（1）的结论求解即得. 【详解】（1）等差数列的前项和为，由，得，解得， 由，得，解得，则，公差， 因此，对称轴为，因为，则当或时，， 所以，的最大值为210. （2）由（1）知，，则， 所以 . 11．（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，得出数列为等差数列，即可求出结果； （2）根据条件得出，由（1）知，再利用分组求和即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到， 设， 则， 又，所以为奇数时， 12．（24-25高二上·重庆·期中）等差数列的前n项和为，若，，公差. (1)求的通项公式； (2)若，求n的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列及其求和公式的基本量的计算即可得解； （2）直接由等差数列求和公式列方程即可求解. 【详解】（1）设等差数列的首项为，则， 解得， 所以； （2）若，即， 解得或（舍去）. 13．（24-25高二上·江苏镇江·期中）等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 【答案】(1)，当取得最小值时，； (2). 【分析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，求得的首项和公差，即可求出通项公式，再求取到最小值时的即可； （2）判断的正负，脱去绝对值，再求数列的和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； （2）由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和. 14．（20-21高二上·江苏徐州·期中）已知是正项数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若不等式恒成立，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）当时，得，当时，，进而得是首项为1，公差为1的等差数列，故； （2）结合（1）得，进而将问题转化为恒成立，再根据数列的函数属性求最值即可得答案. 【详解】解：（1）当时，由题得 因为是正项数列，所以 当时，，因为，所以， 所以是首项为1，公差为1的等差数列，所 以. （2）因为，所以，根据已知条件得， 恒成立， 即恒成立 设，于是有. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以， 所以的最小值为. 【点晴】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点； (2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题； (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$