检测5随机变量及其分布单元检测（基础卷）-2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第三册课程）（人教2019A版专用）

检测5随机变量及其分布单元检测（基础卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）高二某班共有名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 3．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 4．（2024高三·全国·专题练习）某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（    ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 5．（23-24高二下·广西河池·阶段练习）在一次投篮测试中小明投篮投中的概率是，且每次投篮相互独立，则在5次投篮中恰好投中2次的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知随机事件，，则（   ） A． B．若，则，独立 C．若，则，互斥 D．若，则 10．（23-24高二下·四川凉山·期末）设随机变量的分布列为，（），则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知随机变量服从二项分布，若，则 . 13．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 14．（24-25高三上·上海·阶段练习）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 16. (15分) （24-25高三上·重庆·期末）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 17. (15分) （23-24高二下·重庆·阶段练习）某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立. (1)求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率； (2)求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望. 18. (17分) （2024高三·全国·专题练习）某项团体比赛分为两轮，第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛，若挑战成功，则参加第二轮攻擂赛，与上任擂主争夺此次团体赛的擂主．现有甲队参加比赛，队中共有3名事先排好顺序的队员． (1)第一轮与AI对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的分布列和期望． (2)甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队1－3号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知甲队三名队员每场比赛的胜率分别为，，，若要求甲队获得擂主的概率大于，问是否满足？请说明理由． 19. (17分) （24-25高二上·辽宁锦州·期末）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D A A D D AB ABC 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】分别计算“三好学生”人数，女“三好学生”与男“三好学生”人数，再利用条件概率计算公式即可得出结论． 【详解】“三好学生”人数是全班人数的， “三好学生”人数是人，男生人数为人， “三好学生”中女生占一半，女“三好学生”与男“三好学生”各是人． 现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下， 选上的学生是“三好学生”的概率， 故选：D． 2．D 【分析】由所给条件得出和的值，依据正态分布的对称性可得出得分在区间内的概率，从而求出结果. 【详解】由题得，，则 ， 故得分在区间内的企业大约有家． 故选：D 3．B 【分析】由超几何分布的定义分别判断各个选项即可． 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 4．D 【分析】根据题意可知服从二项分布，利用可得结果. 【详解】由题意得，，的取值为， ∵. ∴. 故选：D. 5．A 【分析】根据题意，由独立重复试验的概率公式代入计算，即可求解. 【详解】由题意，各次投篮相互独立，则在5次投篮中恰好投中2次的概率为. 故选：A. 6．A 【分析】由分布列的性质及数学期望的计算求解即可. 【详解】由分布列的性质可知，，故A正确； 因为Y的期望值为1，所以，所以C错. 若，不满足分布列性质，B错， 由上，有，显然D错. 故选：A 7．D 【分析】根据方差的计算即可求解，结合排列组合求解概率，即可根据期望和方差，结合选项即可逐一求解. 【详解】由题知的所有可能取值为，则，. 且，，， 所以，故A错误； 由于，故C错误； ，故B错误； ，则，故D正确． 故选：D 8．D 【分析】根据两个事件的和事件的概率公式求出，利用全概率公式得到，再利用条件概率求解即可. 【详解】记事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游， 则，，， 因为，即，解得， 又因为，即，解得， 因为，所以， 所以. 故选：D. 9．AB 【分析】根据条件概率公式，结合独立事件和互斥事件的定义，逐个判断各个选项即可． 【详解】A．，故正确，符合题意； B．，得到，则，独立，故正确，符合题意； C．当，则，不互斥，故错误，不符合题意； D．若时，则，所以，因为无法判断，是否独立，所以无法得到，故错误，不符合题意； 故选：AB． 10．ABC 【分析】由，求出a，根据随机变量均值的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】A：由，得，故A正确； B：，故B正确； C：由选项A知，， 则 所以，故C正确； D：由选项A知，，则，故D错误. 故选：ABC 11．AC 【分析】根据正态曲线对应的密度函数可确定中，继而结合方差的性质以及正态曲线的对称性意义判断各选项，即得答案. 【详解】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC 12． 【分析】利用二项分布的期望公式以及期望的性质可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】因为，由二项分布的期望公式可得， 由期望的性质可得，解得. 故答案为：. 13． 【分析】根据分布列的性质可得，即可求解期望，由方差的计算公式即可求解. 【详解】由题意可得，故，解得或（舍去）， 故随机变量的分布列如下：. 1 2 3 故，， 故答案为： 14． 【分析】根据全概率公式可求得，由对立事件概率公式可求得结果. 【详解】从该厂生产的饮料中任选一瓶，记事件为：选到的为型号饮料；则事件为：选到的为型号的饮料； 记事件为：选到的饮料为碳酸饮料；则事件为：选到的饮料为非碳酸饮料； 由题意知：，，，， ， . 故答案为：. 15．(1) (2)2048 【分析】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【详解】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 16．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图计算均值即可； （2）根据二项分布可得，再根据二项分布求解概率分布列与期望即可. 【详解】（1）， 故均值为29． （2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为， 则，则， ； ， 列的分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 17．(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）恰有一次获得A等级分:“笔试A等级且面试非A等级”与“面试A等级且笔试非A等级”两种情况，然后利用相互独立事件概率乘法公式计算每一种情况的发生的概率，再利用互斥事件概率加法公式求解. （2）根据题意求出的所有可能取值，然后利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式求出每一个取值对应随机事件的概率，列出分布列，用期望公式求出期望. 【详解】（1）甲在笔试和面试中恰有一次获得等级的概率为. （2）由题意得的可能取值为2，3，4，5，6， ， ， ， ， ， 则的分布列为 2 3 4 5 6 所以. 18．(1)分布列见解析， (2)满足，理由见解析 【分析】（1）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出期望值； （2）分三种情况：①一人参赛全胜获得擂主，②两人参赛获得擂主，③三人参赛获得擂主，求出相应的概率，从而得到，得到不等式，得到结论. 【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 所以． （2）满足题意，理由如下： 分三种情况： ①一人参赛全胜获得擂主，该事件发生的概率设为，则， ②两人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为， 则， ③三人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为， 若在第一局被淘汰，淘汰掉乙队三人，概率为， 若在第二局被淘汰，淘汰掉乙队两人， 概率为， 若在第三局被淘汰，淘汰掉乙队一人， 概率为 ， 故， 因为， 所以要使甲队获胜的概率大于，即，则， 即，化简得， 当时，代入可得，满足题意． 19．(1)（i）；（i i） (2) 【分析】（1）（i）先求出没有女生档案的概率，再用1减去这个概率得到有女生档案的概率；（ii）分类讨论，结合条件概率公式计算即可； （2）要分从第一个档案袋取出的是男生档案和女生档案两种情况来计算概率，再求和即可. 【详解】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”. 第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案. 第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案， 其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么. 所以.   （ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率 设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”. 根据条件概率公式. 计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率. 分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为； 第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为. 所以. 已知，则. （2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”. 分两种情况： 若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为， 此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案， 那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为. 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测5随机变量及其分布单元检测（基础卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）高二某班共有名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 3．（2025高三·全国·专题练习）下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 4．（2024高三·全国·专题练习）某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（    ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 5．（23-24高二下·广西河池·阶段练习）在一次投篮测试中小明投篮投中的概率是，且每次投篮相互独立，则在5次投篮中恰好投中2次的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）已知甲、乙去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知随机事件，，则（   ） A． B．若，则，独立 C．若，则，互斥 D．若，则 10．（23-24高二下·四川凉山·期末）设随机变量的分布列为，（），则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知随机变量服从二项分布，若，则 . 13．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 14．（24-25高三上·上海·阶段练习）某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 16. (15分) （24-25高三上·重庆·期末）某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 17. (15分) （23-24高二下·重庆·阶段练习）某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立. (1)求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率； (2)求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望. 18. (17分) （2024高三·全国·专题练习）某项团体比赛分为两轮，第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛，若挑战成功，则参加第二轮攻擂赛，与上任擂主争夺此次团体赛的擂主．现有甲队参加比赛，队中共有3名事先排好顺序的队员． (1)第一轮与AI对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的分布列和期望． (2)甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队1－3号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知甲队三名队员每场比赛的胜率分别为，，，若要求甲队获得擂主的概率大于，问是否满足？请说明理由． 19. (17分) （24-25高二上·辽宁锦州·期末）科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案． (1)若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回． （ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率； （ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率； (2)若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$