检测4计算原理单元检测（能力卷）-2025年高二数学寒假自学讲义（选择性必修第三册课程）（人教2019A版专用）

检测4计算原理单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（   ） A． B．160 C． D．100 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）两名运动员参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（   ） A．80 B．70 C．40 D．35 3．（23-24高二下·北京·期中）由，，，可以组成多少个没有重复数字的三位数（    ） A．12 B．24 C．18 D．21 4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（   ） A．12种 B．14种 C．7种 D．9种 5．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 6．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 7．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 8．（24-25高三上·吉林长春·开学考试）我校某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项. 甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同. 甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”. 根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（   ） A．12 B．13 C．24 D．26 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·江苏盐城·期中）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（    ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有48种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 10．（24-25高二上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 11．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式的各项系数和为243 C．展开式中奇数项的二项式系数和为16 D．展开式中不含常数项 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·浙江·期中）一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是 . 13．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是 （用数字作答）. 14．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·浙江·二模）小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字． (1)求五张卡片上的数字都不相同的概率； (2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5． 16. (15分) （23-24高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 17. (15分) （22-23高二上·四川德阳·期末）某校食堂对新推出的套餐的满意度进行测评，满分为60分，在参与评分的学生中随机抽取了100人的评分数据进行整理，将分数以10为组距分成6组：，得到套餐评分的频率分布直方图．    (1)求图中的值，并估计该套餐评分的中位数和平均值． (2)在抽样的100人中，从对套餐评分在的学生中随机选出3人，求3人中至少有2人评分在的概率． 18. (17分) （23-24高二下·江苏镇江·期中）已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 19. (17分) （23-24高二下·西藏拉萨·期末）4名男生和3名女生站成一排. (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测4计算原理单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（   ） A． B．160 C． D．100 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）两名运动员参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（   ） A．80 B．70 C．40 D．35 3．（23-24高二下·北京·期中）由，，，可以组成多少个没有重复数字的三位数（    ） A．12 B．24 C．18 D．21 4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（   ） A．12种 B．14种 C．7种 D．9种 5．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 6．（24-25高三上·河北邢台·期末）运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（   ） A．72 B．96 C．114 D．124 7．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 8．（24-25高三上·吉林长春·开学考试）我校某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项. 甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同. 甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”. 根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（   ） A．12 B．13 C．24 D．26 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高二下·江苏盐城·期中）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（    ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有48种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 10．（24-25高二上·河南驻马店·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（   ） A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C．5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 11．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式的各项系数和为243 C．展开式中奇数项的二项式系数和为16 D．展开式中不含常数项 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·浙江·期中）一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是 . 13．（2024·广东佛山·一模）现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是 （用数字作答）. 14．（24-25高三上·湖北·阶段练习）若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·浙江·二模）小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字． (1)求五张卡片上的数字都不相同的概率； (2)证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5． 16. (15分) （23-24高二下·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？（列式并计算） (1)六位数； (2)六位奇数； (3)能被5整除的六位数； (4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第265个数是多少？ 17. (15分) （22-23高二上·四川德阳·期末）某校食堂对新推出的套餐的满意度进行测评，满分为60分，在参与评分的学生中随机抽取了100人的评分数据进行整理，将分数以10为组距分成6组：，得到套餐评分的频率分布直方图．    (1)求图中的值，并估计该套餐评分的中位数和平均值． (2)在抽样的100人中，从对套餐评分在的学生中随机选出3人，求3人中至少有2人评分在的概率． 18. (17分) （23-24高二下·江苏镇江·期中）已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20. (1)求实数的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 19. (17分) （23-24高二下·西藏拉萨·期末）4名男生和3名女生站成一排. (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B C C C B ACD BD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据给定条件，求出展开式中的项即可列式求解. 【详解】依题意，展开式中含的项是，含的项是， 因此的展开式中，含的项为， 所以所求系数为. 故选：C 2．B 【分析】按总局数为4局，5局，6局，7局分类讨论，将结果相加即可. 【详解】因为采用7局4胜制，先赢4局者获胜，所以可能赛4局，5局，6局，7局， 若赛4局，则有2种；若赛5局，则有种； 若赛6局，则有种；若赛7局，则有种； 综上所有赛事情况种数为种， 故选：B 3．C 【分析】先排首位有3种，再在剩下的3个数中选2个数全排，有种，最后根据分步乘法计算即可. 【详解】先排首位，在选一个，有3种； 十位、个位从剩下的3个数中选2个数全排，有种， 故可以组成种没有重复数字的三位数. 故选：C. 4．B 【分析】应用分类分步计数原理，求出甲安排为“定点投篮”、 不安排“定点投篮”两种情况分别写出安排方法数，即可得答案. 【详解】当甲安排“定点投篮”，另外3人任意安排工作有6种方法. 当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种，再安排乙有2种，另外剩余2人有2种，此时有种方法， 共有种， 故选：B 5．C 【分析】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【详解】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A错误； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故C正确； D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：C． 6．C 【分析】根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解. 【详解】将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地， 则不同的安排方法有种. 故不同的安排方法共有种. 故答案为：C. 7．C 【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式中含的项，进而得解. 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式中含的项为， 所以二项式展开式中的系数为. 故选：C. 8．B 【分析】根据给定条件，按甲是否是特等奖分类，再结合丙的情况列式计算即可. 【详解】甲是特等奖，乙有4种情况，则丙、丁、戊有1种情况， 所以有种； 甲不是特等奖，则甲有3种情况，乙有3种情况， 而丙、丁、戊有1种情况， 所以有种； 所以5人的奖项的所有可能的种数是. 故选：B. 9．ACD 【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理进行排列，其中选项A用分步乘法原理，选项B用捆绑法，选项C用排除法，选项D用分类加法原理与分步乘法原理． 【详解】选项A，按分步乘法原理计数，甲、乙、丙站前排方法数为，丁、戊站后排方法数为，所以总的方法数为，A正确； 选项B，甲、乙捆绑作为一个人（内部不需要排列）与其他3人进行排列，方法数为，B错； 选项C，5人全排列后，减去甲在两端的排法，方法数为，C正确； 选项D，甲在右端，方法数为，甲在中间方法数为，总方法数为，D正确． 故选：ACD． 10．BD 【分析】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：甲、乙看作一个元素排列即可；对C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况. 【详解】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，共有种排法，故A错误； 对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确； 对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C错误； 对D：5人站成一排，有种排法， 则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法； 甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法； 甲在最左端，乙在最右端，共有种排法； 则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 11．BCD 【分析】根据第3项和第4项的二项式系数最大得出n即可判断A;应用赋值法求各项系数和243判断B;应用二项式系数和为及奇数项和偶数项的二项式系数和相等判断C；应用通项公式计算常数项得出判断D. 【详解】A项，在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大， 是展开式的中间两项的二项式系数， 则为奇数，且与最大， 所以，解得，A项错误； B项，在中，令，得，故展开式的各项系数和为243，B项正确； C项，在的展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C项正确； D项，的展开式的通项公式为，且为整数， 令，解得，不满足要求，所以展开式中不含常数项，D项正确. 故选：BCD. 12． 【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果. 【详解】标有数字的4只球排序共有种情况. 要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况： ①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况. ②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出， 其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为. 故答案为：. 13． 【分析】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、、，对、、取到的个数分四种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得. 【详解】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、、， 若、、都没有取到，则有种不同的取法； 若、、取到一个，则有种不同的取法； 若、、取到两个，则有种不同的取法； 若、、取到三个，则有种不同的取法； 综上可得一共有种不同的取法. 故答案为： 14． 【分析】利用第百分位数的定义求出，再利用组合的应用列式计算作答. 【详解】由，得， 于是展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据独立事件的概率的乘法公式计算； （2）先计算最大数的概率，再结合即可证明. 【详解】（1）． （2）记为这五张卡片上最大的数字，则． 由， 由， 所以这五张卡片上最大的数字最可能是5. 16．(1)600； (2)288； (3)216； (4)310245. 【分析】（1）先排首位，再排其它位的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果. （2）先排个位，然后排首位，再利用分步乘法计数原理可求得结果. （3）按个位数是0或5分类，结合两个原理列式计算即可. （4）讨论首位是1，首位是2和首位是3时的不同个数，再求出第264个数即可得解. 【详解】（1）先排首数，有种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位数有种. （2）先排个位数，有种， 由0不能在首位，则排首位有4种，最后排其它有种， 根据分步计数原理得，六位奇数有个. （3）能被5整除的六位数，则个位数是0或5， 个位数是0，则有种， 个位数是5，先排首位，0不作为首位，则有种排法，其余位置有种排法， 所以共有个. （4）首位数字不能为0，首位数字为1有种， 首位数字为2，有种， 首位数字为3，万位数字上为0，有种，此时所有6位数有个， 所以第264个数是，第265个数是. 17．(1)，中位数，平均值为 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中，矩形面积之和为1，求出的值，然后根据中位数和平均值的计算方法可得答案； （2）利用古典概型的概率求解即可. 【详解】（1）在分数频率分布直方图中，矩形面积之和为1， 所以， 所以， 该套餐评分的平均值为 ， 设该套餐评分的中位数为， 因为四组的频率为 ， 又五组的频率为 ， 所以该套餐评分的中位数在内， 则，解得， 即设该套餐评分的中位数为. （2）在抽样的100人中， 评分在的学生人数为， 评分在的学生人数为， 则对套餐评分在的学生人数为5， 所以从对套餐评分在的学生中随机选出3人有 种， 3人中至少有2人评分在范围内的选法有种， 所以3人中至少有2人评分在的概率. 18．(1)2 (2)13440 (3) 【分析】（1）由题意依次列方程求得即可； （2）写出展开式通项，令，解得，回代即可； （3）利用不等式法求最大项即可. 【详解】（1）因为二项式系数最大的项为第6项，所以，解得， 所以展开式为， 而展开式中第二项系数为20，从而，解得； （2）由（1）可知，展开式为， 令，解得，故所求为； （3）设展开式中系数最大的项为第项，则， 即，即， 解得，所以， 所以展开式中系数最大的项为，经检验符合题意. 19．(1)2880 (2)960 (3)840 【分析】（1）根据题意先排甲，然后剩余的进行全排列即可； （2）利用捆绑法，将女生甲和女生乙捆绑在一起，与除去男生甲和男生乙的其他人进行全排列，然后男生甲和乙插空即可； （3）7个全排列后，除以甲、乙、丙的全排列数即可. 【详解】（1）分两步，先排甲有种，其余有种， 所以根据分步乘法原理知共有种排法. （2）分三步： ① 捆绑法，现将女生甲与女生乙捆绑在一起，有（种）； ②将女生甲和女生乙看成整体，与其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（种）； ③插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空（共有5个空位置），有（种）， 所以根据分步乘法原理可知共有（种）. （3）7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法， 因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法， 故共有种排法 学科网（北京）股份有限公司 $$