专题09 锐角三角函数（8大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题09 锐角三角函数 目录 【题型一 正弦 余弦 正切的概念辨析】 1 【题型二 已知锐角三角函数值求边长】 3 【题型三 特殊三角形的三角函数】 5 【题型四 特殊角三角函数值的混合运算】 6 【题型五 已知角度比较三角函数值的大小】 7 【题型六 利用同角三角函数关系求值】 9 【题型七 互余两角三角函数的关系】 10 【题型八 三角函数综合】 12 【题型一 正弦 余弦 正切的概念辨析】 例题：（2025九年级下·全国·专题练习）在中，，，，所对的边分别为a，b，c.下列式子一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，画出直角三角形，根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：如图， A.，，结论错误，故不符合题意； B. ，，结论错误，故不符合题意； C.，，结论错误，故不符合题意； D.，，结论正确，故符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知中，，，当最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，垂线段最短等知识点，利用垂线段最短及锐角三角函数的定义解决问题是解题的关键． 过点B作于H，由垂线段最短可得，由可判定是锐角，由锐角三角函数的定义可得当时，最大，此时最大，最后由勾股定理求出答案即可． 【详解】解：如图，过点B作于H， ∴， ∵，， ∴， ∴是锐角， 当最大时，最大， ∵，，， ∴当时，即时，最大，此时最大， ∴， 故答案为：． 【题型二 已知锐角三角函数值求边长】 例题：（24-25九年级上·广西贵港·期中）在中，，，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦的定义，可得，根据即可求解． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴    故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 解得：，即坡面的长度为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 【答案】20 【分析】根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 【题型三 特殊三角形的三角函数】 例题：（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 根据角的锐角三角函数值，即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值求出即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 证明是等边三角形，得出，根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：根据作图可得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型四 特殊角三角函数值的混合运算】 例题：（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 【答案】8 【分析】本题考查了实数的混合运算．根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的运算法则进行化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 故答案为：8． 【变式训练】 1．（吉林省长春市汽开区2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的乘法，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】 ． 2．（2024九年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算，熟记各个特殊角度的锐角三角函数值是解题的关键． 先将各个特殊角度的锐角三角函数值化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型五 已知角度比较三角函数值的大小】 例题：（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】掌握锐角三角函数值的变化规律．锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小． 【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）比较大小（用连接），，， ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于是解题的关键． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 【题型六 利用同角三角函数关系求值】 例题：（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案． 【详解】解：由题意，得， 故设 则， 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据条件可得，，再根据即可求解． 【详解】解：∵在中，，是边上的高，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点，点C是一点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查坐标与图形性质和三角函数的定义，掌握锐角正切三家函数的定义是关键．根据点和点的坐标，得到和的长度，根据角相等得到正切值相等，再得到长度即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， 故答案为：3． 【题型七 互余两角三角函数的关系】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键． 将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如果是锐角，，那么的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系，根据互余关系，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【题型八 三角函数综合】 例题：（24-25九年级上·上海·期中）如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，锐角三角函数．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理，锐角三角函数的定义是解题关键．根据题意易证，得出，即，从而可证，即得出． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选D． 【变式训练】 1．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，是的切线，P为切点，连接，分别与相交于点C，点D，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用弧长公式进行计算，即可解答． 本题考查了切线的性质，弧长的计算，锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的切线，P为切点， ，即， ， ， 在中，，， ． ， ， ， ， 的长． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，二次函数求最值，熟练掌握三角函数是解题的关键； 设，根据，可得，根据，利用二次函数求最值即可求解． 【详解】解：设， ， 的最大值为：， ， ， ， 则， ， ， 当时，的面积取得最大值为：； 故答案为： 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（   ）平方米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解直角三角形求出的长，从而可得地毯的长度，再根据矩形的面积公式即可得． 本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键． 【详解】解：由题意，在中，， 故地毯的长度为， 故地毯的面积至少需要（平方米）， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，求角的正切值等知识点，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据，设，则，利用勾股定理可得，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点（方格纸中小正方形的顶点）上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．利用网格构造直角三角形，再找到对应的直角边长，最后根据三角函数的意义求解即可． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， ∴在中，，， ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中余弦的定义，即可求解， 本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是：熟练掌握锐角三角函数的定义． 【详解】解：根据三角函数可得：， 故选：B． 5．（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，锐角三角函数等知识，由题意得绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环，第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，利用旋转的性质和解直角三角形即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，如图所示： 由旋转可得：， ， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值．根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角的正切的定义是解此题的关键．根据代入即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）在中，、均为锐角，且，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值等知识点先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性可得，再根据特殊角的三角函数值求出的度数，然后根据等边三角形的判定即可得． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 在中，均为锐角， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了网格与勾股定理，求正弦；取格点，连接，勾股定理求得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，取格点，连接， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值；过点，作轴，轴，分别于，．得出，根据则，设，则，根据点在反比例函数的图象上，得出，进而根据的坐标，求得的值，即可求解． 【详解】解：过点，作轴，轴，分别于，． 设点的坐标是，，则，． ， ． ， ． ， ． ，， ， ， 设，则， 点在反比例函数的图象上， ， ， ； 故答案为． 三、解答题 11．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，于点D，，，求与的值．    【答案】， 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．根据余角的性质得，根据勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 12．（23-24九年级上·广东揭阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ． 13．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，在中，，为上的一点，以为直径作交于点，上的点为弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由点为弧的中点，可得，推出，进 而 得 到，推出，可得，即 可 证 明 ； （2）连接，得到，由可得，再 根 据 勾 股 定 理 求 出 ，得 到 ，证明，得 到 ，设，，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 点为弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 为的直径， ， 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设，， 在中，， ， 解得：（不合题意，舍去），， ． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关的知识． 14．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、特殊角的三角函数，先由勾股定理可得，再求出，，代入计算即可得解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， ∴，． ∴． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，于点，是的中点，连接，，． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【答案】(1)25 (2)7 【分析】本题主要考查了正弦函数、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握正弦函数成为解题的关键． （1）在中运用正弦函数可得，然后再根据直角三角形的性质即可解答； （2）先运用勾股定理求得，再中运用正弦函数求出，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即，解得：， ∵是的中点， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 锐角三角函数 目录 【题型一 正弦 余弦 正切的概念辨析】 1 【题型二 已知锐角三角函数值求边长】 2 【题型三 特殊三角形的三角函数】 2 【题型四 特殊角三角函数值的混合运算】 3 【题型五 已知角度比较三角函数值的大小】 3 【题型六 利用同角三角函数关系求值】 4 【题型七 互余两角三角函数的关系】 4 【题型八 三角函数综合】 5 【题型一 正弦 余弦 正切的概念辨析】 例题：（2025九年级下·全国·专题练习）在中，，，，所对的边分别为a，b，c.下列式子一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知中，，，当最大时，的长为 ． 【题型二 已知锐角三角函数值求边长】 例题：（24-25九年级上·广西贵港·期中）在中，，，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练】 1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 【题型三 特殊三角形的三角函数】 例题：（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）的值是（   ） A． B． C．1 D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，连接，则的值为 ． 【题型四 特殊角三角函数值的混合运算】 例题：（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算： ． 【变式训练】 1．（吉林省长春市汽开区2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题）计算：． 2．（2024九年级上·上海·专题练习）计算：． 【题型五 已知角度比较三角函数值的大小】 例题：（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）比较大小（用连接），，， ． 【题型六 利用同角三角函数关系求值】 例题：（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点，点C是一点，若，则 ． 【题型七 互余两角三角函数的关系】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【变式训练】 1．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如果是锐角，，那么的大小为 ． 【题型八 三角函数综合】 例题：（24-25九年级上·上海·期中）如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，是的切线，P为切点，连接，分别与相交于点C，点D，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（   ）平方米 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，的顶点在正方形网格的格点（方格纸中小正方形的顶点）上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 4．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习） ． 7．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）在中，，则 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）在中，、均为锐角，且，则 度． 9．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 ． 10．（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，，于点D，，，求与的值．    12．（23-24九年级上·广东揭阳·期末）计算：． 13．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，在中，，为上的一点，以为直径作交于点，上的点为弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 14．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，．求的值． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，于点，是的中点，连接，，． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$