2.4  圆锥的体积（2个知识点+6类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学六年级下册（苏教版）

2.4 圆锥的体积 学习重难点 学习目标 1、运用公式计算圆锥的体积。(重点) 2、圆锥体积公式的推导过程。(难点) 1、理解圆锥体积公式的推导过程，掌握圆锥的体积计算公式。 2、能利用公式计算圆锥的体积并解决简单的实际问题。 3、培养动手操作能力及观察、分析、推理的能力，发展空间观念。 知识点一圆锥的体积计算公式 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 知识点二圆柱与圆锥体积的关系 1、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 题型一圆柱的体积（容积） 1．一种圆锥形瓶，从里面量，底面直径是8厘米，高是9厘米，这种圆锥形瓶的容积是（ ）毫升。 【分析】直径除以2可得半径，根据圆锥的体积公式，代入数据计算出圆锥的体积，再根据1毫升＝1立方厘米，把单位转化为毫升即可。 【解答】 （立方厘米） （毫升） 一种圆锥形瓶，从里面量，底面直径是8厘米，高是9厘米，这种圆锥形瓶的容积是150.72毫升。 2．一个长方体和一个圆锥等底等高，它们的体积之差是48立方分米，长方体的体积是（ ）立方分米，圆锥的体积是（ ）立方分米。 【分析】长方体的体积长宽高，圆锥的体积底面积高，用字母表示出长方体的长宽高和圆锥底面圆半径，再用字母表示出长方体和圆锥的体积，根据题意：长方体的体积圆锥的体积，即可解答本题。 【解答】设长方体的长为分米，宽为分米，高为分米，圆锥的底面半径为分米，高等于长方体的高分米，根据题意可知： 因为长方体的体积长宽高，圆锥的体积底面积高，根据题意可得： 所以：，即 所以（立方分米），即长方体的体积为72立方分米。 圆锥的体积：（立方分米） 长方体的体积是72立方分米，圆锥的体积是24立方分米。 3．直角三角形的三条边分别长3分米、4分米、5分米，以任意一条直角边为轴快速旋转一周，得到的立体图形是（ ），它的体积最大是（ ）立方米。 【分析】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 直角三角形较短的两条边是直角边，以3分米的直角边为轴，旋转得到的圆锥，底面半径是4分米，高是3分米；以4分米的直角边为轴，旋转得到的圆锥，底面半径是3分米，高是4分米，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算出体积，比较即可。 【解答】3.14×42×3÷3 ＝3.14×16×3÷3 ＝50.24（立方分米） ＝0.05024（立方米） 3.14×32×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 ＝37.68（立方分米） ＝0.03768（立方米） 0.05024＞0.03768 直角三角形的三条边分别长3分米、4分米、5分米，以任意一条直角边为轴快速旋转一周，得到的立体图形是圆锥，它的体积最大是0.05024立方米。 4．一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆柱形铁块的体积是（ ）立方厘米，现在将它铸造成了一个体积相等的圆锥形零件，圆锥的底面半径是3厘米，那它的高是（ ）厘米。 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出圆柱的体积，因为圆柱的高＝体积÷底面积，圆锥的高＝体积×3÷底面积，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱的3倍，据此解答。 【解答】3.14×32×4 ＝3.14×9×4 ＝113.04（立方厘米） 4×3＝12（厘米） 圆柱形铁块的体积是113.04立方厘米，圆锥的高是12厘米。 【点评】本题主要考查了圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 题型二圆柱和圆锥体积的关系 5．有一个圆锥，它的高是6厘米，底面半径是2厘米，体积是和它等底等高的圆柱体积的（ ）。（填分数） 【分析】圆锥的体积＝h，圆柱的体积＝h，据此分别求出圆锥和与它等底等高的圆柱的体积，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答，用圆锥的体积除以圆柱的体积即可。 【解答】h÷（h）＝ 所以体积是和它等底等高的圆柱体积的。 6．下图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器倒置后，水面高7cm，如果将这个容器正放，那么容器内水面高是（ ）cm。 【分析】从题意可知，容器中水的体积＝3cm高圆锥的体积＋（7－3）cm高的圆柱的体积。圆锥与圆柱的底面积相等。根据体积相等、底面积相等的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，当容器正放时，3cm高圆锥的水转换成底面积不变的圆柱，圆柱的高是3÷3＝1cm。用1＋（7－3）即可求出容器正放时水面高度。据此解答。 【解答】3÷3＋（7－3） ＝1＋4 ＝5（cm） 容器内水面高是5cm。 7．一个圆柱的底面半径是4厘米，高是6厘米，它的侧面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【分析】已知圆柱的底面半径和高，根据圆柱的侧面积公式S侧＝2πrh，求出圆柱的侧面积； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，据此求出圆锥的体积。 【解答】圆柱的侧面积： 2×3.14×4×6 ＝25.12×6 ＝150.72（平方厘米） 圆柱的体积： 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（立方厘米） 圆锥的体积： 301.44×＝100.48（立方厘米） 圆柱的侧面积是150.72平方厘米，体积是301.44立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是100.48立方厘米。 8．为探究圆锥体积的计算方法。小东做了如图的实验，结果得出等底等高的一个圆柱和一个圆锥体积相差36立方分米，那么这个圆锥的体积是（ ）立方分米。 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，相差（3－1）份；用圆柱和圆锥的体积差除以份数差，求出一份数，即是圆锥的体积。 【解答】圆锥的体积： 36÷（3－1） ＝36÷2 ＝18（立方分米） 那么这个圆锥的体积是18立方分米。 题型三组合体的体积（含圆锥） 9．求体积。（单位：分米） 【分析】由图可知，此图形是由一个底面直径是4分米、高是6分米的圆柱和一个底面半径是4分米、高是3分米的圆锥组成的图形，根据圆柱的体积＝和圆锥的体积＝，把数据代入公式即可求解。 【解答】3.14××5＋ ＝3.14×4×5＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（立方分米） 答：这个图形的体积是75.36立方分米。 10．求体积。（单位：分米） 【分析】第一个：是一个大圆柱减去一个小圆柱，根据圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入即可求解； 第二个：一个圆柱和一个圆锥组成，根据圆柱的体积公式：底面积×高；圆锥的体积公式：底面积×高×，把数代入公式即可求解。 【解答】第一个：3.14×（10÷2）2×80－3.14×（6÷2）2×80 ＝3.14×25×80－3.14×9×80 ＝6280－2260.8 ＝4019.2（立方分米） 第二个：3.14×（4÷2）2×6＋3.14×（4÷2）2×6× ＝3.14×4×6＋3.14×4×6× ＝75.36＋25.12 ＝100.48（立方分米） 11．求出下面左图的表面积和右图的体积（单位：厘米）。 ​ 【分析】半圆柱的表面积＝一个底面的面积＋侧面积的一半＋长方形的面积，右图组合图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积。据此解答即可。 【解答】3.14×（5÷2）2＋3.14×5×9÷2＋9×5 ＝3.14×2.52＋15.7×9÷2＋45 ＝3.14×6.25＋141.3÷2＋45 ＝19.625＋70.65＋45 ＝90.275＋45 ＝135.275（平方厘米） 3.14×（4÷2）2×123.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×123.14×22×6 ＝3.14×4×123.14×4×6 ＝12.56×1212.56×6 ＝12.56×1212.56×6 ＝150.72＋12.56×2 ＝150.72＋25.12 ＝175.84（立方厘米） 左图的表面积是135.275平方厘米，右图的体积是175.84立方厘米。 题型四不规则物体的体积（含圆锥） 12．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【分析】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【解答】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 13．小丽家定制了一个底面直径为60厘米、高40厘米的无盖圆柱体鱼缸。（特别提示：此题中π的取值按照π＝3计算） （1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）在这个鱼缸里装上水，把一个底面半径是10厘米的圆锥形玩具完全浸没在水中后，水面上升了1厘米（未溢出）。这个圆锥形玩具的高是多少厘米？ 【分析】（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，就是求圆柱形无盖鱼缸的表面积。底面是直径60厘米的圆，侧面积等于底面周长乘高，据此解答。 （2）圆锥形玩具的体积是上升的1厘米高度水的体积，变形后，据此解答。 【解答】（1） （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要99平方分米的玻璃。 （2） （立方厘米） 答：这个圆锥形玩具的高是27厘米。 题型五体积的等积变形（含圆锥） 14．把一个底面半径是1厘米，高是6厘米的圆柱形钢材，熔铸成一个圆锥，这个圆锥的底面积是12平方厘米，它的高是多少厘米？ 【分析】把圆柱形钢材熔铸成一个圆锥，体积不变，即圆柱和圆锥的体积相等，根据公式：圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，求出圆柱的体积，即圆锥的体积，再根据公式：圆锥的高＝体积÷÷底面积，代入数据计算，即可求出圆锥的高，据此解答。 【解答】3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝18.84（立方厘米） 18.84÷÷12 ＝18.84×3÷12 ＝56.52÷12 ＝4.71（厘米） 答：它的高是4.71厘米。 15．一个圆锥形沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米。用这堆沙子在宽是5米的公路上铺高是4厘米的路面，能铺多少米？ 【分析】本题是圆锥的体积转化为长方体的体积，根据圆锥的体积计算公式计算出沙堆的体积，沙堆的体积就是长方体的体积，再根据长方体的计算公式长＝体积÷宽÷高算出长方体的长即可。 【解答】4厘米＝0.04米 12.56×1.2×＝5.024（立方米） 5.024÷5÷0.04＝25.12（米） 答：能铺25.12米。 16．有一个底面周长是8π米、高是3米的圆锥形谷堆，将这些稻谷装进一个底面直径是8米的圆柱形粮仓里，正好装满。这个粮仓的高是多少米？ 【分析】先根据圆锥的底面半径＝周长÷π÷2求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积＝πr2h求出圆锥的体积；再根据圆柱的高＝体积÷底面积，用圆锥的体积除以圆柱形粮仓的底面积即可得到粮仓的高。 【解答】8π÷π÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 3.14×42×3× ＝3.14×16×3× ＝50.24×3× ＝150.72× ＝50.24（立方米） 8÷2＝4（米） 50.24÷（3.14×42） ＝50.24÷（3.14×16） ＝50.24÷50.24 ＝1（米） 答：这个粮仓的高是1米。 题型六立体图形的切拼（含圆锥） 17．将一个底面直径是26厘米、高是5厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米？ 【分析】要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着回锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 【解答】26×5÷2×2 ＝130÷2×2 ＝65×2 ＝130（平方厘米） 答：表面积比原来增加了130平方厘米。 18．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 【分析】把一个圆锥沿着高切开，增加两个等腰三角形，等腰三角形的底＝圆锥底面半径，等腰三角形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝一个等腰三角形的面积，根据三角形的底＝面积×2÷高，求出圆锥底面半径，再根据圆锥体积＝底面积×高×，列式解答即可。 【解答】24÷2＝12（平方厘米） 12×2÷6＝4（厘米） （立方厘米） 答：圆锥的体积是25.12立方厘米。 19．将一块底面周长是12.56厘米、高是6厘米的圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成两半（如图），切面是什么图形？每个切面的面积是多少平方厘米？ 【分析】当把一个圆锥分成形状、大小完全相同的两部分时，增加2个等腰三角形的面，等腰三角形的底和高分别是圆锥的底面直径和高。 三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数据进行解答。 【解答】12.56÷3.14＝4（厘米） 4×6÷2＝12（平方厘米） 答：切面是等腰三角形，每个切面的面积是12平方厘米。 一、选择题 1．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱少12立方厘米，圆柱的体积是（  ）立方厘米。 A．6 B．12 C．18 D．24 2．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，体积减少了，原来这个圆柱的底面积是，削成的圆锥的高是（    ）cm。 A．18 B．9 C．12 D．6 3．如下图（单位：厘米），下面说法正确的是（    ）。 A．②号体积与①号体积的比是1∶3 B．③号底面积是②号底面积的 C．④号体积是⑤号体积的3倍 D．④号体积与①号体积相等 4．将下图中的长方形以AD所在直线为轴旋转一周，形成一个立体图形，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是（    ）。 A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1 5．一个圆锥形石块中间有一个圆锥形空间，如图容器中有10升水。水的高度是容器的一半，这个容器能装（    ）升水。 A．40 B．70 C．80 D．240 二、填空题 6．一个圆柱与一个圆锥的体积相等。圆柱的高是6厘米，它的底面积是圆锥底面积的3倍。圆锥的高是（ ）厘米。 7．力在美术课上用橡皮泥捏制一个火箭模型（如图），准备捏制底面周长为9.42cm、高为的圆柱，上面的圆锥底面与圆柱一样大，高为，算一算火箭主体部分需要橡皮泥（ ）。 8．一种儿童玩具陀螺（如图），上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，当圆锥的高是圆柱的时，陀螺会转得又快又稳。已知圆柱底面直径是4厘米，高是4厘米，这个陀螺的体积是（ ）立方厘米；要给这个陀螺做一个长方体包装盒，至少需要（ ）平方厘米的硬纸板。 9．直角三角形的三条边分别长3分米、4分米、5分米，以任意一条直角边为轴快速旋转一周，得到的立体图形是（ ），它的体积最大是（ ）立方米。 10．一个圆锥形橡皮泥，底面积是12cm2，高是9cm。如果把它捏成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是（ ）cm；如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是（ ）cm2。 三、计算题 11．求体积。（单位：dm） 四、解答题 12．一个圆锥形沙堆，占地面积是15平方米，高4米。把这堆沙铺在一条宽8米的长方形路面上，平均铺5厘米厚，能铺多少米路？ 13．一堆黄沙近似圆锥形，底面周长是8π米，高是1.5米，每立方米黄沙重1.5吨。 （1）这堆黄沙约重多少吨？ （2）用这堆黄沙在6米宽的路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米长？（得数保留一位小数） 14．一种玩具——陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，当圆柱直径为3厘米，高为4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，旋转时稳又快。陀螺的体积是多少立方厘米？ 15．手工课上，小薇带来了一块高6厘米的圆柱形橡皮泥。（结果保留） （1）她把这块橡皮泥切成了两个完全相同的半圆柱（如图），表面积增加了48平方厘米，将其中的一块用彩纸包好，小薇至少用了多少平方厘米的彩纸？ （2）她将另一块捏成了一个高为6厘米的圆锥形陀螺，这个陀螺的底面积是多少平方厘米？ 参考答案 一、选择题 1．一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱少12立方厘米，圆柱的体积是（  ）立方厘米。 A．6 B．12 C．18 D．24 【分析】等底等高的圆柱体和圆锥体，圆柱体的体积是圆锥体的3倍，根据题意，圆锥的体积比圆柱少12立方厘米，即圆柱和圆锥的体积相差12立方厘米，由此设圆锥体的体积为x立方厘米，则圆柱体的体积为3x立方厘米，圆柱和圆锥体积相差12立方厘米，列方程：3x－x＝12，解方程，即可解答。 【解答】解：设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米。 3x－x＝12 2x＝12 x＝12÷2 x＝6 6×3＝18（立方厘米） 一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱少12立方厘米，圆柱的体积是18立方厘米。 【点评】解答本题的关键是明确等底等高的圆柱和圆锥的体积关系。 2．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，体积减少了，原来这个圆柱的底面积是，削成的圆锥的高是（    ）cm。 A．18 B．9 C．12 D．6 【分析】把一个圆柱木料削成一个最大的圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以把一个圆柱木料削成一个最大的圆锥，减少的体积相当于圆锥体积的（3－1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝3V÷S，把数据代入公式解答。 【解答】36÷（3－1）×3÷9 ＝36÷2×3÷9 ＝18×3÷9 ＝54÷9 ＝6（cm） 所以：把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，体积减少了，原来这个圆柱的底面积是，削成的圆锥的高是6cm。 故答案为：D 【点评】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 3．如下图（单位：厘米），下面说法正确的是（    ）。 A．②号体积与①号体积的比是1∶3 B．③号底面积是②号底面积的 C．④号体积是⑤号体积的3倍 D．④号体积与①号体积相等 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高÷3，逐项分析即可。 【解答】A．②圆柱与①圆锥等底等高，等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍，故②号体积与①号体积的比是3∶1，故A选项错误； B．③底面直径是3cm，半径是3÷2＝1.5cm，②底面直径是9cm，半径是9÷2＝4.5cm，底面积＝3.14×r2，③的底面积是3.14×1.52＝3.14×2.25平方厘米，②的底面积是3.14×4.52＝3.14×20.25平方厘米，③号底面积是②号底面积的（3.14×2.25）÷（3.14×20.25）＝，故B选项错误； C．④和⑤高相同，底面直径分别是9cm和3cm，④的底面半径是⑤的底面半径的3倍，故④的底面积是⑤底面积的9倍，④号体积是⑤号体积的9倍，故C选项错误； D．④号圆柱底面直径是9，高是4，①号圆锥底面直径是9，高是12，④和①底面积相同，④号体积＝底面积×4，①号体积＝底面积×12÷3，故④号和①号体积相同。 故答案为：D 4．将下图中的长方形以AD所在直线为轴旋转一周，形成一个立体图形，甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是（    ）。 A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1 【分析】将长方形以AD所在直线为轴旋转一周，形成一个圆柱（体积是甲乙两部分和），其底面半径是3cm，高是6cm。形成的乙是一个圆锥，其底面半径是3cm，高是3cm。圆柱，圆锥，根据公式计算出甲乙分别的体积再求比即可解答。 【解答】乙： （cm3） 甲： （cm3） 甲乙体积比： 所以甲、乙两部分所形成的立体图形的体积比是5∶1。 故答案为：C 5．一个圆锥形石块中间有一个圆锥形空间，如图容器中有10升水。水的高度是容器的一半，这个容器能装（    ）升水。 A．40 B．70 C．80 D．240 【分析】设大圆锥底面半径R，小圆锥的底面半径r，这里组成了一个三角形，很显然r与R的比是1∶2，由此设容器中水的底面半径为1，则容器的底面半径为2，求出水的体积与这个容器的容积之比即可解答问题。 【解答】设大圆锥底面半径R，小圆锥的底面半径r，这里组成了一个三角形，则r与R的比是1∶2， 设水的底面半径是1，则圆锥容器的底面半径是2； 所以水的体积为： π×12 ＝ π×1 ＝π ＝π ＝πh； 容器的容积为： π×22×h ＝π×4×h ＝ π×4×h ＝π×h πh 所以水的体积与容积之比是： πh∶πh ＝（πh÷πh）∶（πh÷πh） ＝∶ ＝（×6）∶（×6） ＝1∶8 水的体积是10升； 所以容器的容积是：10×8＝80（升） 这个容器能装80升水。 故答案为：C 二、填空题 6．一个圆柱与一个圆锥的体积相等。圆柱的高是6厘米，它的底面积是圆锥底面积的3倍。圆锥的高是（ ）厘米。 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；圆柱的体积＝圆锥的体积；由此可知，圆柱的底面积×高＝圆锥的底面积×高×；圆柱的高是6厘米，圆柱的底面积是圆锥底面积的3倍；由此可知，圆锥的底面积×3×6＝圆锥的底面×圆锥的高×，圆锥的高＝3×6÷，据此求出圆锥的高。 【解答】3×6÷ ＝18×3 ＝54（厘米） 一个圆柱与一个圆锥的体积相等。圆柱的高是6厘米，它的底面积是圆锥底面积的3倍。圆锥的高是54厘米。 7．力在美术课上用橡皮泥捏制一个火箭模型（如图），准备捏制底面周长为9.42cm、高为的圆柱，上面的圆锥底面与圆柱一样大，高为，算一算火箭主体部分需要橡皮泥（ ）。 【分析】求火箭主题部分需要橡皮泥的体积，就是求圆柱和圆锥的体积和，先根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出火箭主体的底面半径，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。 【解答】9.42÷3.14÷2 ＝3÷2 ＝1.5（cm） 3.14×1.52×5＋3.14×1.52×3× ＝3.14×2.25×5＋3.14×2.25×3× ＝7.065×5＋7.065×3× ＝35.325＋21.195× ＝35.325＋7.065 ＝42.39（cm3） 小力在美术课上用橡皮泥捏制一个火箭模型（如右图），准备捏制底面周长为、高为的圆柱，上面的圆锥底面与圆柱一样大，高为，算一算火箭主体部分需要橡皮泥42.39。 8．一种儿童玩具陀螺（如图），上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，当圆锥的高是圆柱的时，陀螺会转得又快又稳。已知圆柱底面直径是4厘米，高是4厘米，这个陀螺的体积是（ ）立方厘米；要给这个陀螺做一个长方体包装盒，至少需要（ ）平方厘米的硬纸板。 【分析】根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出这个陀螺的体积；要给这个陀螺做一个长方体包装盒，这个用料最少的长方体包装盒的正方形底面边长等于圆柱的底面直径，盒子的高等于这个陀螺的高，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】（厘米） （立方厘米） 盒子的高：（厘米） （平方厘米） 所以这个陀螺的体积是62.8立方厘米，至少需要144平方厘米的硬纸板。 【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。 9．直角三角形的三条边分别长3分米、4分米、5分米，以任意一条直角边为轴快速旋转一周，得到的立体图形是（ ），它的体积最大是（ ）立方米。 【分析】以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 直角三角形较短的两条边是直角边，以3分米的直角边为轴，旋转得到的圆锥，底面半径是4分米，高是3分米；以4分米的直角边为轴，旋转得到的圆锥，底面半径是3分米，高是4分米，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算出体积，比较即可。 【解答】3.14×42×3÷3 ＝3.14×16×3÷3 ＝50.24（立方分米） ＝0.05024（立方米） 3.14×32×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 ＝37.68（立方分米） ＝0.03768（立方米） 0.05024＞0.03768 直角三角形的三条边分别长3分米、4分米、5分米，以任意一条直角边为轴快速旋转一周，得到的立体图形是圆锥，它的体积最大是0.05024立方米。 10．一个圆锥形橡皮泥，底面积是12cm2，高是9cm。如果把它捏成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是（ ）cm；如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是（ ）cm2。 【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆柱的体积等于圆锥的体积，底面积相等，则圆柱的高＝圆锥的高×；圆柱的体积等于圆锥的体积，高相等，则圆柱的底面积＝圆锥的底面积×，据此解答。 【解答】9×＝3（cm） 12×＝4（cm2） 一个圆锥形橡皮泥，底面积是12cm2，高是9cm。如果把它捏成同样底面大小的圆柱，这个圆柱的高是3cm；如果把它捏成同样高的圆柱，这个圆柱的底面积是4cm2。 【点评】明确体积相等的圆柱与圆锥之间的关系是解答本题的关键。 三、计算题 11．求体积。（单位：dm） 【分析】（1）观察图形可知，该立体图形的体积等于外面圆柱的体积减去里面圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可； （2）观察图形可知，该立体图形的体积等于圆锥的体积加上圆柱的体积，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此代入数值进行计算即可。 【解答】（1）3.14×（10÷2）2×80－3.14×（6÷2）2×80 ＝3.14×52×80－3.14×32×80 ＝3.14×25×80－3.14×9×80 ＝6280－2260.8 ＝4019.2（dm3） （2）×3.14×（4÷2）2×6＋3.14×（4÷2）2×6 ＝×3.14×22×6＋3.14×22×6 ＝×3.14×4×6＋3.14×4×6 ＝×6×3.14×4＋3.14×4×6 ＝2×3.14×4＋3.14×4×6 ＝6.28×4＋12.56×6 ＝25.12＋75.36 ＝100.48（dm3） 四、解答题 12．一个圆锥形沙堆，占地面积是15平方米，高4米。把这堆沙铺在一条宽8米的长方形路面上，平均铺5厘米厚，能铺多少米路？ 【分析】根据题意，先算出这个圆锥形沙堆的体积，结合圆锥的体积公式：，代入数据计算即可。然后统一单位，5厘米＝0.05米，根据长方体的体积公式可知，用算出的体积除以8再除以0.05，即可求出答案。 【解答】沙堆： ＝5×4 ＝20（立方米） 5厘米＝0.05米 20÷8÷0.05 ＝2.5÷0.05 ＝50（米） 答：能铺50米路。 13．一堆黄沙近似圆锥形，底面周长是8π米，高是1.5米，每立方米黄沙重1.5吨。 （1）这堆黄沙约重多少吨？ （2）用这堆黄沙在6米宽的路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米长？（得数保留一位小数） 【分析】（1）底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出黄沙体积，黄沙体积×每立方米吨数＝总吨数，据此列式解答； （2）铺到路上的形状是个长方体，路面厚相当于长方体的高，根据1米＝100厘米统一单位，再根据长方体的长＝体积÷宽÷高，列式解答即可。结果根据四舍五入法保留近似数。 【解答】（1）3.14×（8π÷π÷2）2×1.5÷3 ＝3.14×42×1.5÷3 ＝3.14×16×1.5÷3 ＝25.12（立方米） 25.12×1.5＝37.68（吨） 答：这堆黄沙约重37.68吨。 （2）2厘米＝0.02米 25.12÷6÷0.02≈209.3（米） 答：能铺209.3米长。 14．一种玩具——陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥。经过测试，当圆柱直径为3厘米，高为4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，旋转时稳又快。陀螺的体积是多少立方厘米？ 【分析】根据题意，先求出圆锥的高，结合圆柱的体积公式：以及圆锥的体积公式：，代入数据，分别求出圆柱的体积以及圆锥的体积，再把二者加起来即可。 【解答】圆锥的高：4×＝3（厘米） 圆柱的体积： ＝ ＝ ＝9×3.14 ＝28.26（立方厘米） 圆锥的体积： ＝ ＝ ＝ ＝7.065（立方厘米） 28.26＋7.065＝35.325（立方厘米） 答：陀螺的体积是35.325立方厘米。 15．手工课上，小薇带来了一块高6厘米的圆柱形橡皮泥。（结果保留） （1）她把这块橡皮泥切成了两个完全相同的半圆柱（如图），表面积增加了48平方厘米，将其中的一块用彩纸包好，小薇至少用了多少平方厘米的彩纸？ （2）她将另一块捏成了一个高为6厘米的圆锥形陀螺，这个陀螺的底面积是多少平方厘米？ 【分析】（1）增加的表面积是如图所示的长为圆柱的高6厘米，宽为圆柱的底面直径的两个长方形面积，用48除以2得一个长方形面积为24平方厘米，再除以长6厘米，可求得宽也就是圆柱的底面直径为4厘米。半圆柱的表面积是圆柱侧面积的一半、一个底面积、和一个24平方厘米的长方形面积组成，把三者相加，即可求得半圆柱的表面积。 （2）另一块捏成了一个高为6厘米的圆锥形陀螺，体积不变，利用圆柱的体积除以2求出圆锥的体积，再把圆锥的体积乘3除以高即可求出底面积。 【解答】（1） （厘米） ＝（）（平方厘米） 答：小薇至少用了平方厘米的彩纸。 （2） ＝3.14×4×6÷2×3÷6 （平方厘米） 答：这个陀螺的底面积是平方厘米。 【点评】抓住圆柱切割成两个相等的半圆柱的特点，得出增加部分的表面积是两个以圆柱的高和直径为边长的长方形的面积是解决此题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$