第1部分 单元2 多模块知识融合（二）(Word教参)-【优化指导】2025年高考数学二轮复习高中总复习·第2轮

高考解读　近年来，三角函数作为解题工具频繁的出现在解析几何、立体几何、平面向量、函数导数等知识点的命题中，注重考查综合能力和综合创新能力，解题关键是熟练掌握三角函数的基本公式和各种求值方法技巧． 融合点一　三角函数与解析几何交汇融合 [例1] (2024·佛山模拟)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x＋1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C． D． B　解析：圆x2＋y2－4x＋1＝0可化为(x－2)2＋y2＝3，即圆心为(2，0)，半径为，故圆心到点(0，－2)的距离为＝2， 则sin ＝＝，由∈(0，)， 得cos ＝＝， 故sin α＝2sin cos ＝2××＝.故选B. 训练1 (2024·郑州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，F为C的右焦点，C的离心率为2，若P为C右支上一点，PF⊥FA2，记∠A1PA2＝θ(0<θ<)，则tan θ＝(　　) A． B．1 C． D．2 A　解析：设C的焦距为2c，点P(x0，y0)，由C的离心率为2可知c＝2a，b＝a，因为PF⊥FA2， 所以x0＝c，将P(c，y0)代入C的方程得－＝1，即|y0|＝b， 所以tan ∠PA2F＝＝3，tan ∠PA1F＝＝1， 故tan θ＝tan (∠PA2F－∠PA1F)＝＝.故选A. 融合点二　三角函数与立体几何交汇融合 [例2] (2024·大理模拟)如图，圆锥的高SO＝，底面直径AB＝2，C是圆O上一点，且AC＝1，若AS与BC所成角为θ，则sin2－cos2＝(　　) A. B．－ C． D．－ B　解析：以O为原点，分别以，的正方向为y轴，z轴，以过点O且垂直于AB的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，且连接CO， A(0，－1，0)，B(0，1，0)，S(0，0，)，C(，－，0)，而AS，BC的夹角为θ，0<θ≤，又＝(0，1，)，＝(，－，0)， 则cosθ＝||＝，由于sin2－cos2＝－cosθ＝－，故选B. 训练2 (2024·定西一模)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，∠ABD＝60°，PB，PC与底面ABCD所成的角分别为α，β，且α＋β＝45°，则＝(　　) A． B． C． D． D　解析：如图，设AB＝a，PA＝b， 因为在矩形ABCD中，∠ABD＝60°， 所以AC＝BD＝2a， 因为PA⊥底面ABCD， 所以∠PBA，∠PCA分别是PB，PC与底面ABCD所成的角，即α＝∠PBA，β＝∠PCA， 所以tan α＝tan ∠PBA＝，tan β＝tan ∠PCA＝. 因为α＋β＝45°， 所以tan (α＋β)＝＝＝1， 解得＝(负根舍去)， 所以＝.故选D. 融合点三　三角函数与平面向量交汇融合 [例3] (2024·常德模拟)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(3，－1)，若a⊥b，则的值为(　　) A． B． C． D． D　解析：已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(3，－1)，若a⊥b， 则a·b＝3cos θ－sin θ＝0，即sin θ＝3cos θ， 则＝＝.故选D. 训练3 (2024·湖州模拟)已知O是△ABC的外心，∠C＝45°，则＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是(　　) A．[－，] B．[－，1) C．[－，－1] D．(1，] B　解析：由题意∠AOB＝90°，以直线OA，OB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 不妨设A(1，0)，B(0，1)，∠AOC＝α，则C在圆O优弧AB上， 设C(cos α，sin α)，则α∈(，2π)， 显然＝cos α＋sin α， 即m＝cos α，n＝sin α，m＋n＝cos α＋sin α＝sin (α＋)， 由于α∈(，2π)，所以α＋∈(，)，sin (α＋)∈[－1，)， 所以m＋n∈[－，1)，故选B. 融合点四　三角函数与函数交汇融合 [例4] (2024·昆明模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝f()＝1，若f(x＋y)＋ f(x－y)＝2f(x)cos y，则函数f(x)(　　) A．以π为周期 B．最大值是1 C．在区间(－，)上单调递减 D．既不是奇函数也不是偶函数 D　解析：令x＝0，y＝t，得f(t)＋f(－t)＝2cos t，令x＝＋t，y＝， 得f(π＋t)＋f(t)＝0，令x＝，y＝＋t， 得f(π＋t)＋f(－t)＝－2sin t， 由以上3式，得f(t)＝sin t＋cos t， 即f(x)＝sin x＋cos x＝sin (x＋). 则f(x)的周期为T＝2π，故A错误； f(x)的最大值为，故B错误； 令x∈(－，)，则x＋∈(0，)，故f(x)在区间(－，)上不单调递减，故C错误； 因为f(－x)＝sin (－x＋)，所以f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故D正确． 训练4 (多选)(2024·延边模拟)已知函数f(x)＝loga|x－2|＋2(a>0且a≠1)的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则sin θ的值可能是(　　) A． B． C． D． AD　解析：因为函数f(x)＝loga|x－2|＋2的图象经过定点A，令|x－2|＝1，得x＝3或x＝1，此时y＝2， 则A(3，2)或A(1，2)，当点A(3，2)在角θ的终边上， 则sin θ＝＝； 当点A(1，2)在角θ的终边上， 则sin θ＝＝.　 综上，sin θ＝或sin θ＝，故AD正确，BC错误．故选AD. 融合点五　三角函数与导数交汇融合 [例5] (2024·抚顺模拟)已知函数f(x)＝，若A，B是锐角三角形ABC的两个内角，则下列结论一定正确的是(　　) A．f(sin A)>f(sin B) B．f(cos A)>f(cos B) C．f(sin A)>f(cos B) D．f(cos A)>f(sin B) D　解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝， 当x∈(0，)时，sin x>0，cos x>0， 所以<0， 即f′(x)<0，所以f(x)在(0，)上单调递减． 因为A，B是锐角三角形ABC的两个内角， 所以A＋B>，则>A>－B>0， 因为y＝cos x在(0，)上单调递减， 所以0<cos A<cos (－B)＝sin B<1<，故f(cos A)>f(sin B)，故D正确． 同理可得f(cos B)>f(sin A)，C错误； 而A，B的大小不确定，故sin A与sin B，cos A与cos B的大小关系均不确定， 所以f(sin A)与f(sin B)，f(cos A)与f(cos B)的大小关系也均不确定，A，B不能判断．故选D. 训练5 (2024·温州二模)已知a＝sin 0.5，b＝30.5，c＝log0.30.5，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a B　解析：对x∈(0，)，因为y＝sin x－x，则y′＝cos x－1<0， 即函数y＝sin x－x在(0，)上单调递减， 且x＝0时，y＝0，则sin x－x<0，即sin x<x， 所以a＝sin 0.5<0.5， 因为2log0.30.5＝log0.30.25>log0.30.3＝1且log0.30.5<log0.30.3＝1， 所以0.5<c＝log0.30.5<1， 又b＝30.5>30＝1， 所以a<c<b.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$