第1部分 单元2 第2讲 三角函数求值问题(Word教参)-【优化指导】2025年高考数学二轮复习高中总复习·第2轮

第二讲　三角函数求值问题 [小题专攻·自主完成] 考情研析　在高考中，三角基本公式与基本概念问题(含倍角、恒等变形等)是常考题型，如2024年新课标 Ⅰ 卷T4，新课标 Ⅱ 卷T13，2023年新高考 Ⅰ 卷T8，考查了两角和与两角差的正弦公式，二倍角的余弦公式；2022年新高考 Ⅰ 卷T18，考查了三角函数的诱导公式、两角差的余弦公式、二倍角公式等．熟记并灵活运用公式是解题关键. 考点一　诱导公式、同角三角函数基本关系 1．(2024·泰安一模)若cos (＋2α)－4sin2α＝－2，则tan2α＝(　　) A．－2 B．－ C．2 D． C　解析：由cos (＋2α)－4sin2α＝－2， 得－sin2α－4sin2α＝－2， 即＝2，＝2， 所以2tanα＋4tan2α＝2tan2α＋2， 得tanα＝1－tan2α， 则tan2α＝＝2.故选C. 2．(2024·湖南师大附中模拟)－＝(　　) A．tan 20° B．tan 70° C．－tan 10° D．－tan 40° A　解析：－＝－＝－＝－＝－＝tan 20°. 故选A. 3．(2024·常州模拟)已知扇形AOB的半径为5，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，＝(5，0)，＝(4，3)，弧AB的中点为C，则＝(　　) A.(，) B．(，) C．(4，2) D．(2，) B　解析：设∠AOC＝α，则∠AOB＝2α，tan 2α＝＝，解得tanα＝，即＝， 又sin2α＋cos2α＝1，且α∈(0，)， 解得sinα＝，cos α＝， C(5×，5×)， 即C(，)， 所以＝(，).故选B. 4．(2023·全国乙卷)若θ∈(0，)，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________． 答案：－　解析：由于tan θ＝＝，sin2θ＋cos2θ＝1，且θ∈(0，)，解得 故sin θ－cos θ＝－. 1．诱导公式运用的一般思路 (1)化负为正，化大为小，化到锐角为终了． (2)角中含有加减的整数倍时，用诱导公式去掉的整数倍． 2．同角三角函数关系中的一类基本题型 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值． 注意：1＝sin2α＋cos2α， ＝tan α. 考点二　三角恒等变换 1．(2023·新课标 Ⅱ 卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． D　解析：　方法一　由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝()2， 又因为α为锐角，所以sin>0， 所以sin ＝. 方法二　由题意，cos α＝＝1－2sin2， 得sin2＝， 将选项逐个代入验证可知D选项满足． 2．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan α·tan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m A　解析：由cos (α＋β)＝m得cos αcos β－sin α·sin β＝m　①.由tan αtan β＝2得＝2　②，由①②得， 所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin α·sin β＝－3m，故选A. 3．(2023·新课标 Ⅰ 卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ B　解析：依题意，得 所以sin αcos β＝， 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×()2＝. 4．(2022·新高考Ⅱ 卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos (α＋)sin β，则(　　) A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1 C　解析：由已知得：sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β， 即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，故tan (α－β)＝－1，故选C. 5．(2024·扬州模拟)公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫作该锐角的正割，用sec (角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫作该锐角的余割，用csc (角)表示，则csc 10°－sec 10°＝(　　) A．4 B．8 C． D．4 A　解析：csc 10°－sec 10°＝－＝＝＝＝4.故选A. 6．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． 答案：－　解析：由题知tan (α＋β)＝＝＝－2，即sin (α＋β)＝－2cos (α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan (α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin (α＋β)＝－. 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦． 考点三　利用正、余弦定理解三角形 1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． C　解析：因为a cos B－b cos A＝c，所以由正弦定理得sin A cos B－sin B cos A＝sin C＝sin (B＋A)，则2sin B cos A＝0.在△ABC中，因为sin B≠0，所以cos A＝0，故A＝，所以B＝π－A－C＝π－－＝，故选C. 2．(2024·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A． B． C． D． C　解析：由正弦定理得sin A sin C＝sin2B，因为B＝，所以sinA sin C＝sin2B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin A·sin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsin C＝sin A sin C＝，又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝. 3．(2024·南通模拟)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是(　　) 　 A．－ B．－ C．－ D．－ A　解析：依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)，因为B为AD′的中点，所以AB＝AC＝AD′＝20(cm)，当伞完全收拢时，AB＋BD′＝AD′＝40(cm)，所以BD′＝BD＝20 cm，在△ABD中，cos ∠BAD＝＝＝，所以cos ∠BAC＝cos (2∠BAD)＝2cos2∠BAD－1＝2×()2－1＝－. 故选A. 4．(2024·临沂一模)在同一平面上有相距14千米的A，B两座炮台，A在B的正东方．某次演习时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标，接着A改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18千米外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(　　) A．7千米 B．8千米 C．9千米 D．10千米 D　解析：依题意设炮弹第一次命中点为C， 则AB＝14，AC＝BC＝AM＝18，∠CBA＝∠CAB＝θ，∠MAB＝，在△ABC中BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cosθ，即182＝182＋142－2×14×18cos θ，解得cos θ＝，所以cos θ＝2cos2－1＝，又θ为锐角，解得cos＝(负值舍去)，在△ABM中BM2＝AM2＋AB2－2AM·AB cos ＝182＋142－2×18×14×＝100，所以BM＝10，即B炮台与弹着点M的距离为10千米．故选D. 应用正、余弦定理解三角形的技巧 (1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解； (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解； (3)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$