九年级数学开学摸底考01（人教版）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

( ) ( ) 2024-2025学年下学期开学摸底考试卷 九年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题3分，共18分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三 、解答题（共72分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 17．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（ 6 分） 先化简 ，然后从 的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为 的值代入求值． 19．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20. （8分） 21.（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （ 9 分 ） 23． （ 9 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （ 10 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ． （ 1 0 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则应为（    ） A． B． C． D．不能确定 4．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C．D． 5．如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为（    ） A．2米 B．4米 C．8米 D．10米 6．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 7．古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，设有车辆，则根据题意，可列出方程（    ） A． B． C． D． 8．某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 9．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C．D． 10．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需、、、、、、七道工序，加工要求如下：① 工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，工序须在工序、都完成后进行；② 一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③ 各道工序所需时间如下表所示： 工序 所需时间/分钟 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是（    ） A．26分钟 B．27分钟 C．28分钟 D．29分钟 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．因式分解： ． 12．设a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 13．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即），如果点O至地面的距离是，当小敏从水平位置下降，这时小明离地面的高度是 ． 14．为提高学生身体素质，某校举办了“阳光体育节”活动，下表是小方同学参加活动的得分情况： 项目 跑步 花样跳绳 立定跳远 得分 90 85 72 评总分时，按跑步占，花样跳绳占，立定跳远占考评，则小方同学的最终得分为 分． 15．如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数是 ． 16．为解决学生饮水安全问题，某中学在每个班级安装一台标价为元的饮水机，因购买数量较大，商家给予了八折优惠，这样每台饮水机仍可获利，则每台饮水机的进价为 元． 三、解答题（本大题共 9 个小题，第 17、18、19 题每小题 6 分，第 20、21 题每小题 8 分，第 22、23 题每小题 9 分，第 24、25 题每小题 10 分，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： 18．（6分）先化简，然后从的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为的值代入求值． 19．（6分）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 20．（8分）教育部提出了要改进美育教学，某学校准备开设感受美、表现美，鉴赏美，创造美4项艺术课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小甬根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的总人数为________，请将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中“创造美”对应的圆心角的度数为_____，若该学校共有学生1200名，请估计参加“感受美”有多少人？ (3)通过课程学习和初选有4名优秀同学（两男两女）在“创造美”上表现突出，学校将推荐2名同学到市上参加“创造美”比赛．请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率． 21．（8分）如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的边长． 22．（9分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量甲、乙两款物理实验套装． (1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ (2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 23．（9分）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交于点，以为直径作． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下求阴影部分的面积． 24．（10分）新定义：如果实数m，n满足时，则称为“立足点”，称为“制高点”，例如，是“立足点”，是“制高点”． (1)求正比例函数图象上“制高点”的坐标； (2)若点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，点B，C是反比例函数图象上的“制高点”，点M是反比例函数图象上的动点，求当面积与的面积相等时点M的坐标； (3)已知点，是抛物线上的“制高点”，若，且，求的取值范围． 25．（10分）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 试卷第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各数中，属于有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】、是无理数，不符合题意； 、是无理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 、是有理数，符合题意； 故选：． 2．下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、主视图和左视图都为矩形的，故选项符合题意； B、主视图和左视图都为等腰三角形，故选项不符合题意； C、主视图和左视图为圆，故选项不符合题意； D、主视图是矩形，左视图为三角形，故选项不符合题意； 故选：A． 3．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则应为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴． 故选：A． 4．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 在数轴上表示为： 故选D． 5．如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为（    ） A．2米 B．4米 C．8米 D．10米 【答案】C 【详解】解：根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴， 故选：C． 6．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故选：A． 7．古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，设有车辆，则根据题意，可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设共有x辆车，依题意得：， 故选：C． 8．某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：∵，米，， ∴， ∴（米）． 故选：D． 9．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴， ， 抛物线的对称轴位于轴的右侧， ， ， ， 由可知，反比例函数的图象位于第二、四象限， 由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第一、三象限，故选：B． 10．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需、、、、、、七道工序，加工要求如下：① 工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，工序须在工序、都完成后进行；② 一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③ 各道工序所需时间如下表所示： 工序 所需时间/分钟 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是（    ） A．26分钟 B．27分钟 C．28分钟 D．29分钟 【答案】C 【详解】解：假设这两名学生为甲、乙， 工序，须在工序完成后进行，工序须在工序，都完成后进行，且工序，都需要分钟完成， 甲学生做工序，乙学生同时做工序，需要分钟， 然后甲学生做工序，乙学生同时做工序，乙学生工序完成后接着做工序，需要分钟， 最后甲学生做工序，乙学生同时做工序，需要分钟， 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 12．设a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】5． 【详解】∵a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端（即），如果点O至地面的距离是，当小敏从水平位置下降，这时小明离地面的高度是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∵当小敏从水平位置下降，即， ∴， 又∵点O至地面的距离是， ∴这时小明离地面的高度是，故答案为：． 14．为提高学生身体素质，某校举办了“阳光体育节”活动，下表是小方同学参加活动的得分情况： 项目 跑步 花样跳绳 立定跳远 得分 90 85 72 评总分时，按跑步占，花样跳绳占，立定跳远占考评，则小方同学的最终得分为 分． 【答案】84 【详解】解：∵按跑步占，花样跳绳占，跳绳占考评， 则小红的最终得分为：（分）． 故答案为：84． 15．如图，四边形内接于，四边形是平行四边形，则的度数是 ． 【答案】 30° 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴，即， ∴，则， ∴； 故答案为． 16．为解决学生饮水安全问题，某中学在每个班级安装一台标价为元的饮水机，因购买数量较大，商家给予了八折优惠，这样每台饮水机仍可获利，则每台饮水机的进价为 元． 【答案】1200 【详解】解：商品每件标价为元， 按标价打8折后售价为：(元/件) ， 设该商品每件的进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：该商品每件的进价为元， 故答案为：． 三、解答题（本大题共 9 个小题，第 17、18、19 题每小题 6 分，第 20、21 题每小题 8 分，第 22、23 题每小题 9 分，第 24、25 题每小题 10 分，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： 【答案】4 【详解】解： ． 18．（6分）先化简，然后从的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ∵，且为整数， ∴可取的整数为－2，－1，0，1，2， ∵要使分式有意义， ∴，且， ∴只能取±2， ∴当时，原式． 19．（6分）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【详解】（1）解：如图1，即为所作； （2）证明：如图2，作于，      ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 20．（8分）教育部提出了要改进美育教学，某学校准备开设感受美、表现美，鉴赏美，创造美4项艺术课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小甬根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的总人数为________，请将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中“创造美”对应的圆心角的度数为_____，若该学校共有学生1200名，请估计参加“感受美”的有多少人？ (3)通过课程学习和初选有4名优秀同学（两男两女）在“创造美”上表现突出，学校将推荐2名同学到市上参加“创造美”比赛．请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率． 【详解】（1）解：本次抽样调查的总人数为：（人）， 参加创造美的人数为：（人）， 故补全条形统计图如下图： （2）解：扇形统计图中，创造美占比为：， 故参加创造美对应的圆心角的度数为：， 扇形统计图中，感受美占比为：， 全校参加感受美的有：（人）； （3）解：设4名优秀同学分别为甲（男）、乙（男）、丙（女）、丁（女）， 画树状图如下： 21．（8分）如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的边长． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，即， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）四边形是矩形， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：或（舍去）， ， 菱形的边长为5． 22．（9分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． (1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ (2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 【答案】(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元 (2)甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少 【详解】（1）解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得： 解得 经检验，是所列方程的根， ∴ 答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元． （2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，由题意得： 解得： ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴时，y取最小值，此时（个）， 答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少． 23．（9分）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交于点，以为直径作． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， 以为直径作， 点在上， ， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ． ， ． ， ， ， ． （3）解：由（2）知：，，， ， 为等边三角形， ， ，， ， 阴影部分的面积 ． 24．（10分）新定义：如果实数m，n满足时，则称为“立足点”，称为“制高点”，例如，是“立足点”，是“制高点”． (1)求正比例函数图象上“制高点”的坐标； (2)若点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，点B，C是反比例函数图象上的“制高点”，点M是反比例函数图象上的动点，求当面积与的面积相等时点M的坐标； (3)已知点，是抛物线上的“制高点”，若，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)点M的坐标为或或； (3)． 【详解】（1）解：设正比例函数图象上“制高点”的坐标为， 根据题意得， 解得， ∴正比例函数图象上“制高点”的坐标为； （2）解：设点A的坐标为， 根据题意得，整理得， ∵点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴点A的坐标为， 设点是反比例函数图象上的“制高点”， 根据题意得， 消去并整理得， 解得，， ∴，， ∴点B，C的坐标分别为，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵面积与的面积相等， ∴， 可设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 在中，令，则， 将直线向上平移4个单位的直线， 直线与双曲线的交点为， 此时也满足面积与的面积相等， 联立得， 解得或， 将或分别代入， 得或， ∴或， 综上，点M的坐标为或或； （3）解：∵，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 由，得； 由，得； ∴， 设函数，∴当时， 函数的值随自变量的增大而减少，当，；当，；∴，∴． 25．（10分）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【详解】解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示： ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴，， ∴ 试卷第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A A D C A C D B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 12． 13． 14．84 15． 16．1200 三、解答题（本大题共 9 个小题，第 17、18、19 题每小题 6 分，第 20、21 题每小题 8 分，第 22、23 题每小题 9 分，第 24、25 题每小题 10 分，共 72 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： 【详解】解： ． 18．（6分）先化简，然后从的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为的值代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵，且为整数， ∴可取的整数为－2，－1，0，1，2， ∵要使分式有意义， ∴，且， ∴只能取±2， ∴当时，原式． 19．（6分）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【详解】（1）解：如图1，即为所作； （2）证明：如图2，作于，      ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 20．（8分）教育部提出了要改进美育教学，某学校准备开设感受美、表现美，鉴赏美，创造美4项艺术课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小甬根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的总人数为________，请将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中“创造美”对应的圆心角的度数为_____，若该学校共有学生1200名，请估计参加“感受美”的有多少人？ (3)通过课程学习和初选有4名优秀同学（两男两女）在“创造美”上表现突出，学校将推荐2名同学到市上参加“创造美”比赛．请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率． 【答案】(1)40，补全条形图见解析；(2)，420；(3) 【详解】（1）解：本次抽样调查的总人数为：（人）， 参加创造美的人数为：（人）， 故补全条形统计图如下图： （2）解：扇形统计图中，创造美占比为：， 故参加创造美对应的圆心角的度数为：， 扇形统计图中，感受美占比为：， 全校参加感受美的有：（人）； （3）解：设4名优秀同学分别为甲（男）、乙（男）、丙（女）、丁（女），画树状图如下： 21．（8分）如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的边长． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ，即， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）四边形是矩形， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：或（舍去）， ， 菱形的边长为5． 22．（9分）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装． (1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？ (2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少． 【答案】(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元 (2)甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少 【详解】（1）解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得： 解得 经检验，是所列方程的根， ∴ 答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元． （2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，由题意得： 解得： ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴时，y取最小值，此时（个）， 答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少． 23．（9分）如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交于点，以为直径作． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， 以为直径作， 点在上， ， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ． ， ． ， ， ， ． （3）解：由（2）知：，，， ， 为等边三角形， ， ，， ， 阴影部分的面积 ． 24．（10分）新定义：如果实数m，n满足时，则称为“立足点”，称为“制高点”，例如，是“立足点”，是“制高点”． (1)求正比例函数图象上“制高点”的坐标； (2)若点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”，点B，C是反比例函数图象上的“制高点”，点M是反比例函数图象上的动点，求当面积与的面积相等时点M的坐标； (3)已知点，是抛物线上的“制高点”，若，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)点M的坐标为或或； (3)． 【详解】（1）解：设正比例函数图象上“制高点”的坐标为， 根据题意得， 解得， ∴正比例函数图象上“制高点”的坐标为； （2）解：设点A的坐标为， 根据题意得，整理得， ∵点A是反比例函数图象上唯一的“立足点”， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴点A的坐标为， 设点是反比例函数图象上的“制高点”， 根据题意得， 消去并整理得， 解得，， ∴，， ∴点B，C的坐标分别为，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵面积与的面积相等， ∴， 可设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 在中，令，则， 将直线向上平移4个单位的直线， 直线与双曲线的交点为， 此时也满足面积与的面积相等， 联立得， 解得或， 将或分别代入， 得或， ∴或， 综上，点M的坐标为或或； （3）解：∵，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 由，得； 由，得； ∴， 设函数，∴当时， 函数的值随自变量的增大而减少，当，；当，；∴，∴． 25．（10分）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系． 小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是； 【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； 【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ． 【详解】解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示： ∵是直径，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧， ∴， 设，则， ∴，，∴ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$