检测6立体几何初步单元检测（能力卷）-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

检测6立体几何初步单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立方分米1升）（    ） A．39升 B．156升 C．201升 D．210升 4．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·重庆·期末）在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C． D．平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为 10．（2025高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在四边形内（包括边界）运动，则下列结论正确的是（    ）    A．三棱锥的体积为 B．若为的中点，则到平面的距离为 C．的周长的最小值为 D．若，则点的轨迹的长度为 11．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（    ） A．该几何体的体积 B．直线PD与平面ABCD所成角的正切值为 C．异面直线AP与CC1的夹角正弦值为 D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为    13．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体棱长为2，E、F分别为、的中点，P是底面上一点.若平面BEF，则直线AP与底面所成角的正切值的取值范围是 . 14．（24-25高二上·北京·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面，给出下列四个结论： ①的面积的最大值为； ②满足的面积为2的点有且仅有4个； ③点可能为的中点； ④线段的最大值为3. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 16. (15分) （2024·河南·模拟预测）如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． (1)求的值； (2)若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 17. (15分) （24-25高二上·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为与的交点． (1)证明：直线平面． (2)若，求三棱锥的体积． 18. (17分) （2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，证明：平面平面 19. (17分) （24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图.在三棱台中，已知平面，，为线段的中点，为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B C C A D AC ACD 题号 11 答案 ABCD 1．A 【分析】首先将三棱锥的侧面沿着剪开，得到，即，即可得到答案. 【详解】将三棱锥的侧面沿着剪开，如图所示： 因为的周长的最小值为， 所以当四点共线时，的周长最小，即， 又因为，所以，即， 又因为三棱锥是正三棱锥， 所以，即侧棱SA，SC的夹角为. 故选：A 2．A 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 3．B 【分析】根据给定条件，利用正棱台的侧面积及体积公式求解即得. 【详解】设米斗的下底面边长为分米，高为分米， 由上底面的面积为81平方分米，得上底面边长为9分米， 由侧面积为120平方分米，侧高为5分米，得平方分米，解得， 即该米斗的下底面边长为3分米，因此分米， 则该米斗的体积为立方分米， 所以该斗可以装米156升. 故选：B 4．B 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 5．C 【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    6．C 【分析】根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算． 【详解】连接， 在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角， 由已知，，， 由余弦定理得，， ， ∴． 故选：C．    7．A 【分析】根据球的表面积求出球的半径，结合圆锥的底面半径以及三角形相似可求得边长之间的关系，再利用勾股定理可得到圆锥的高，即可求得圆锥的体积. 【详解】设为圆锥顶点，为底面直径，为底面中心，则圆锥内最大球的球心在高上． 设该球与母线相切于点，如图所示： 则易得，所以， 设该球的半径为，则，解得， 所以，所以． 又，结合得， 又， 所以，解得， 所以圆锥的体积． 故选：A． 8．D 【分析】令分别是的中点，是中点，连接，化为求直线与所成角，即，应用余弦定理求其余弦值即可. 【详解】令分别是的中点，是中点，连接， 由正四棱柱的性质及题设，易知且，则为平行四边形， 所以，直线与所成角即为直线与所成角，即， 若，则，，， . 故选：D 9．AC 【分析】取中点，先判断四边形为平行四边形，然后利用线面平行的判定得平面，从而利用线面平行知点面距离为定值，进而三棱锥的体积不变判断A，连接，利用三角形知识知高线距离最短，利用余弦定理及勾股定理求解的高即可判断B，利用面面平行的性质得，作，利用求解，即可判断C，利用基本事实作出截面，利用体积分割法求出的体积，结合正方体的体积求出另外一部分的体积，即可判断D. 【详解】对于选项A：取中点，因为为侧面的中心， 所以，且，又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，即平面，即平面， 则点到平面的距离恒为直线到平面的距离， 而，则三棱锥的体积不变，正确； 对于选项B：连接，则， , 作出平面三角形可知时，取得最小值， 此时由余弦定理得， 所以， 所以，不正确； 对于选项C：由平面平面， 而平面与两个平面分别交于，则. 作，则，则，所以， 所以，正确； 对于选项D：连接延长至与交于，连接， 由选项C知，则截面为，记几何体的体积为， 则， 则另一部分的体积，则，不正确. 故选：AC 10．ACD 【分析】利用等体积法求出体积及点到平面的距离判断AB；将侧面和侧面沿展开到一个平面内，求出长判断C；求出点的轨迹长度判断D. 【详解】正三棱柱的所有棱长均为4， 对于A，点到平面的距离即为正边上的高， 则，A正确； 对于B，在中，，由为的中点，得， 的面积为，由选项A得三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为，则，解得，B错误； 对于C，将正三棱柱的侧面和侧面沿展开到一个平面内， 当且仅当三点共线时，取得最小值，， 又，因此的周长的最小值为，C正确；    对于D，取的中点，连接，由三棱柱是正三棱柱，得侧面， ，连接，由，得， 因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的半圆弧，点的轨迹的长度为，D正确. 故选：ACD    【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 11．ABCD 【分析】对于A，根据长方体和棱锥的体积公式求解即可；对于B，连接交于，连接，则可得为直线与平面所成角，然后求解即可；对于C，由于,则可得的补角为异面直线与的夹角，然后在中求解即可；对于D，先求出长方体的外接球半径，然后判断点是否在该球上即可. 【详解】对于A，该几何体的体积为，故A正确； 对于B，连接交于，连接， 由题意可知四棱锥为正四棱锥， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正方形的边长为1， 所以， 所以，故B正确； 对于C，设， 因为， 所以或其补角为异面直线与的夹角, 且， 所以， 所以异面直线与的夹角余弦值为,正弦值为，故C正确； 对于D，设长方体的外接球的球心为，半径为， 则为的中点， 且，得， 因为， 所以点长方体的外接球上， 所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，故D正确. 故选：ABCD. 12．2 【分析】根据面面平行的判定定理得到平面平面，然后根据面面平行的性质和基本事实得到点在底面的轨迹为线段，然后求长度即可. 【详解】    过点A1作平面的平行平面，即平面， 因为为正方体，所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，， 所以平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 所以点在底面的轨迹为线段，故点的轨迹长度为. 故答案为：2. 13． 【分析】作出辅助线，证明出平面平面，因为平面，所以点，求出各边长，得到等腰直角三角形斜边上的高为，得到，设与平面成角为，求出.. 【详解】如图，取的中点的中点，连接， 由正方体分别为的中点，易知， 且，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面，因为分别为的中点， 由中位线性质可得，同理可知， 所以，又因为平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为是底面上一点，且平面，所以点， 正方体棱长为2，由分别为的中点， 故，， 故等腰直角三角形斜边上的高为， 故的最小值为， 当重合或重合时，取得最大值1， 则的长度的取值范围为，设与平面成角为， 在正方体中，易知平面，且为垂足， 所以. 故答案为：. 14．①④ 【分析】先找出的运动轨迹，再结合图形逐项分析，即可得解. 【详解】取的中点为，连接，由为的中点，得， ，则，，又， 则，于是，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 而平面，则平面平面，又平面平面， 于是的轨迹为线段， 对于①，由图知，当在上时，此时三角形面积最大， ，面积的最大值为，①正确； 对于②，由图可知，当或时，的面积为2， 因此满足使的面积为2的点有且只有2个，②错误； 对于③，由图知，点不可能在线段上，点不可能是的中点，③错误； 对于④, 由图知，当与重合时，此时长度最大，最大值为，④正确. 故答案为：①④ 15．(1) (2) 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以.    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. （2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.    16．(1) (2) 【分析】（1）线面平行的性质定理，根据已知的平行关系推出线段比例关系， （2）再通过构建三棱台求出相应体积，进而得出体积比. 【详解】（1）连接，与交于，连接. 因为平面，平面平面， 根据线面平行的性质定理，所以. 又因为，在和中，由于平行线分线段成比例定理，可得. 因为，所以. （2）在上取一点，使，连接， 因为，所以四边形即为过三点的截面. 设三棱柱的底面积为，高为，体积为，则. 因为，且，所以与相似，相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得的面积为. 对于三棱台，根据体积公式.   因为，，， 所以. 则. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明证得直线平面． （2）根据锥体体积计算公式求得三棱锥的体积. 【详解】（1）底面为菱形， 平面平面， 又平面，平面． （2）． 在中，， 因为平面， 所以三棱锥的体积． 18．证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理证明即可得出结论. 【详解】连接，如下图所示： 由于平面，平面，则. 且，，则. 又，则，故. 又，则，又， 则四边形为平行四边形，则. 又平面，平面， 则平面； 由于，，则.又， 则， 则，则，则. 平面，平面， 则平面； 又平面，结合平面，平面， 可得平面平面. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【详解】（1）连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//， 由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面.    （2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故， 又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则， 故，在中，， 则，于是.    （3）方法一：几何法    过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，易得三角形为等腰直角三角形，则， 根据勾股定理，， 则， 由平面，平面，则， 又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. 方法二：等体积法    辅助线同方法一. 设点到平面的距离为，易知为顶点为的等腰直角三角形， 则， 易知，，， 则， 则. 由，即. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测6立体几何初步单元检测（能力卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）斗不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，其可近似看作正四棱台，现制作一上底面的面积为81平方分米，侧面积为120平方分米，侧高为5分米的米斗，若斗面的厚度忽略不计，则该斗可以装米（1立方分米1升）（    ） A．39升 B．156升 C．201升 D．210升 4．（24-25高二上·上海·期中）下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高三上·重庆·期末）在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C． D．平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为 10．（2025高三·全国·专题练习）如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在四边形内（包括边界）运动，则下列结论正确的是（    ）    A．三棱锥的体积为 B．若为的中点，则到平面的距离为 C．的周长的最小值为 D．若，则点的轨迹的长度为 11．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（    ） A．该几何体的体积 B．直线PD与平面ABCD所成角的正切值为 C．异面直线AP与CC1的夹角正弦值为 D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为    13．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，正方体棱长为2，E、F分别为、的中点，P是底面上一点.若平面BEF，则直线AP与底面所成角的正切值的取值范围是 . 14．（24-25高二上·北京·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面，给出下列四个结论： ①的面积的最大值为； ②满足的面积为2的点有且仅有4个； ③点可能为的中点； ④线段的最大值为3. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积. 16. (15分) （2024·河南·模拟预测）如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面． (1)求的值； (2)若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值． 17. (15分) （24-25高二上·甘肃白银·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面为与的交点． (1)证明：直线平面． (2)若，求三棱锥的体积． 18. (17分) （2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，证明：平面平面 19. (17分) （24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图.在三棱台中，已知平面，，为线段的中点，为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$