检测5立体几何初步单元检测（基础卷）-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

检测5立体几何初步单元检测（基础卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面 5．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 6．（2024·甘肃白银·一模）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东·阶段练习）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 8．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·浙江·期中）如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（   ） A．，，，四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．过四点，，，四点的外接球表面积为 D．截面四边形的周长的最小值为10 11．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 13．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四边形是正方形，平面.二面角的平面角的大小为 ；二面角的平面角的大小为 .    14．（2024-2025湖南高三上学期12月大联考数学试题）如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且，则三棱锥外接球的表面积为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 16. (15分) （2024高三·全国·专题练习）如图，平面，，，，，点分别为的中点.求证：平面    17. (15分) （2024-2025全国高三上学期12月测试数学试卷）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 18. (17分) （2024高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 19. (17分) （24-25高三上·广东东莞·阶段练习）如图所示，已知四棱锥中，，.    (1)求证: 平面； (2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测5立体几何初步单元检测（基础卷）（2019人教A版） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·湖南怀化·期中）已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面 5．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 6．（2024·甘肃白银·一模）在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东·阶段练习）在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 8．（23-24高一下·安徽亳州·阶段练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·浙江·期中）如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（   ） A．，，，四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．过四点，，，四点的外接球表面积为 D．截面四边形的周长的最小值为10 11．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形的边上及其内部运动，则满足 时，有平面． 13．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四边形是正方形，平面.二面角的平面角的大小为 ；二面角的平面角的大小为 .    14．（2024-2025湖南高三上学期12月大联考数学试题）如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且，则三棱锥外接球的表面积为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （23-24高二上·上海崇明·期中）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 16. (15分) （2024高三·全国·专题练习）如图，平面，，，，，点分别为的中点.求证：平面    17. (15分) （2024-2025全国高三上学期12月测试数学试卷）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为棱的中点． (1)设平面与直线相交于点，求证：平面； (2)若平面，，，，求直线与平面所成角的大小． 18. (17分) （2024高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求证：平面； (3)若，为的重心，证明平面. 19. (17分) （24-25高三上·广东东莞·阶段练习）如图所示，已知四棱锥中，，.    (1)求证: 平面； (2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D C B B C BCD BCD 题号 11 答案 AD 1．A 【分析】由已知求得圆台的高，再由圆台的体积公式即可求解. 【详解】由题意，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则高为，如下图所示：    则圆台的体积为. 故选：A. 2．B 【分析】由直观图作出直角梯形的平面图形，然后斜二测画法规则结合已知的数据可求得结果. 【详解】由直观图作出直角梯形的平面图形，如图. 按照斜二测画法规则，由， 得直角梯形中，，. 过作，交于， 则， 所以直角梯形边的长度为， 故选：B. 3．B 【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意可得，解得， 所以. 该圆锥体积为 故选：B 4．D 【分析】根据向量共线和四点共面的条件进行判断即可． 【详解】，，不共线，故A错误； ，则，即与不共线，故B错误； 若，则， 则，得，即， 则，，，四点共面，故C错误；D正确； 故选：D． 5．C 【分析】由正方体结构特征证得，化为求直线和夹角余弦值，应用余弦定理求结果. 【详解】连接，由正方体的性质，知也是的中点，且，即， 又，故为平行四边形，则， 所以直线和夹角，即为直线和夹角， 若正方体棱长为2，则， 所以，即直线和夹角余弦值为. 故选：C    6．B 【分析】将该三棱柱放入正方体中，借助正方体的外接球求解长度，即可根据体积公式求解. 【详解】由于两两垂直,将该三棱柱放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径为. 由，得. 由于平面，所以该三棱锥的体积为. 故选：B 7．B 【分析】令的外心为，取中点，由已知可得四边形是矩形，利用球的截面性质求出球半径即可得解. 【详解】在中，，则，中点为的外心， 于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC， 平面平面，平面，则平面，， 令正的外心为，则为的3等分点，， 又平面，则，而，则四边形是矩形， ，因此球O的半径， 所以球O的表面积为. 故选：B 8．C 【分析】作出满足条件的图，举出反例，排除ABD选项，作出满足条件的图，并证明，得到C选项正确. 【详解】A选项：如图：    在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误； B选项：如图：    在正方体中，，此时，B选项错误； D选项：如图：    在正方体中：，此时，D选项错误； C选项：如图：    过作平面，使得，，∵，∴，则， 又∵，∴，∴，C选项正确. 故选：C. 9．BCD 【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可. 【详解】对A：如图： 连接，交于点，连接，则，平面， 且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误； 对B：如图： 因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 对C：如图： 取中点，易证四点共面，且，平面， 平面，所以平面，故C正确； 对D：如图： 连接，则，平面，平面， 所以平面，故D正确. 故选：BCD 10．BCD 【分析】对于A，利用证明四点共面；对于B，通过补形可知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，进而求体积；对于C，过，，，构造正方体，则外接球直径为正方体的体对角线，进而求表面积；对于D，利用面面平行的性质定理证明四边形为平行四边形，则周长，进而求的最小值即可. 【详解】对于A，取中点，取靠近的三等分点， 易知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，，则， 所以，，，四点共面，故错误； 对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以，故B正确； 对于C，过四点，，，构造正方体， 所以，外接球直径为正方体的体对角线， 所以，则，所以此四点的外接球表面积为，故C正确； 对于D， 由题意，平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将相邻两四边形推平，当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值为，故D正确， 故选：BCD 11．AD 【分析】根据线面、面面关系可判断AD；举反例可判断BC. 【详解】对于A，，，所以或，而，故，故正确； 对于B，如图，长方体中，，则，故B错误； 对于C，如图，长方体中， ，则，故C错误； 对于D，若，，则，而，故，故正确. 故选：AD. 12．在线段上 【分析】根据平面平面，可知平面内任意一条直线都与平面平行，而点在四边形上及其内部运动，所以满足条件． 【详解】 连接，，，,． 由题易知,，平面,平面, 平面 又，同理可证平面, 又，，平面， 平面平面． 点在四边形的边上及其内部运动，平面平面,． 故答案为：在线段上, 13． 【分析】由平面.确定，，即可确定二面角的平面角，进而可求解. 【详解】空1：∵平面，在平面. ∴. ∴为二面角的平面角. 又由题意知， ∴二面角的平面角的大小为. 空2：∵平面，在平面. ∴, ∴为二面角的平面角. 又四边形ABCD为正方形， ∴， 故二面角的平面角的大小是. 故答案为：， 14．/ 【分析】根据题意，由条件可得三棱锥与直三棱柱的外接球相同，由正弦定理可得的外接圆半径，再由勾股定理即可得到外接球的半径，由球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图，过作，且，过作，且， 连接，，，根据题意可知，， 因为，，， 所以，， 所以，，，所以， 是平面内的两条相交直线，所以平面， 所以三棱柱为直三棱柱． 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同． 在中，，，∴． 在中，，， ，所以． 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 故的外接圆半径， 设三棱柱的外接球半径为，由勾股定理， 则三棱锥外接球的表面积． 故答案为： 15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线性质，结合平行公理即可求证． （2）利用反证法来证明． 【详解】（1）证明：因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且，所以且， 所以四边形为平行四边形． （2）证明：（反证法）假设和不是异面直线，则和平行或相交， 所以和可以确定一个平面，所以，，，， 这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线． 16．证明见解析 【分析】连接，可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证得； 【详解】连接，因为，， 所以.又因为，所以四边形为平行四边形， 又因为点分别为的中点，所以且， 因为，，所以且， 又因为点为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面.    17．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据得到平面，故，从而证明出平面； （2）作出辅助线，证明出，，从而平面，所以即是直线与平面所成角，求出各边长，求出，得到， 【详解】（1）底面为平行四边形，故， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面与平面相交于，平面， 所以， 因为不在平面内，平面， 所以平面． （2）取中点，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，且，． 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 故平面， 所以即是直线与平面所成角． 因为，，所以， 所以中，，得， 所以直线与平面所成角的大小为． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据菱形的几何性质以及中位线的性质，结合线面平行判定定理，可得答案； （2）根据中位线的性质，结合线面平行与面面平行的性质与判定，可得答案； （3）根据等比例可得线线平行，结合线面平行判定定理，可得答案. 【详解】（1）由已知四边形为菱形，又为的中点，所以为的中点， 又为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面.    （2）过作交于，连接，. 因为，平面，平面，所以平面， 因为底面是菱形，是的中点，又因为为的中点，所以为的中点， 因为，，所以为的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （3）连接，并延长，交于点，连接， 因为为的重心，所以为中点，且. 又，所以. 所以，所以，又平面，平面， 所以平面. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形全等及三线合一证明，然后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）先通过二面角定义作出二面角的平面角，求出四棱锥体积最大时，从而在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）设，连接， 因为， 所以， 所以，，又，， 则，点为的中点， 又，所以， 又，且， 所以， 又，平面，平面， 所以平面；    （2）由（1）可知，平面，平面， 所以平面平面， 取的中点为O，连接，则， 平面平面，平面， 所以平面， 过点作，垂足为H，连接， 则，所以为二面角的平面角， 因为四棱锥的体积为 ， 当且仅当，即体积最大， 此时， 在中，，所以， 所以二面角的正弦值为.    学科网（北京）股份有限公司 $$