复习专题01 空间向量及其运算10题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题01 空间向量及其运算10题型分类 1．空间向量的概念 (1)空间向量的定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)空间向量的长度或模：空间向量的大小． (3) 空间向量的表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或． 2．常见的空间向量 (1)零向量：方向任意，模为0，记为0． (2)单位向量：方向任意，模为1． (3)相反向量：方向相反，模相等，a的相反向量为－a，的相反向量为． (4)相等向量：方向相同，模相等，记为a＝b． 3．空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法． 空间向量的运算 加法 a＋b 减法 a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 4．向量共面问题 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b． (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y)，使或对空间任意一点O，有． 5．空间向量的数量积 (1)已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2) a⊥b⇔a·b＝0． (3) a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2． (4)=． 6．空间直角坐标系 (1)在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量i，j，k唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． (2)若则． 7．空间向量运算的坐标表示 (1) a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)． (2) a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)． (3) λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R． (4) a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． (5) a∥b：a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3． (6) a⊥b：a1b1＋a2b2＋a3b3=0． (7)|a|=． (8)==． （一） 空间向量线性运算的技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 题型1：空间向量的线性运算 1．（2024高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法运算可解. 【详解】由题知：. 故选：D 2．（2024高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算求解. 【详解】. 故选：B 3．（2024高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果. 【详解】因为平行六面体中，点M在上，且 故可得 故选：D. （二） 1．向量共线的判定 (1)判断两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立． (2)判断空间中的三点P，A，B共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ． 2．向量共面问题 (1)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． (2)若点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 题型2：空间向量的共线问题 4．（2024高二上·山西吕梁·期末）在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可. 【详解】因为， ， 所以有，因此， 故选：C 5．（2024高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 6．（24-25高二上·四川·期末）已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得结果. 【详解】依题意可得，解得，， 所以. 故选：C. 题型3：空间向量的共面问题 7．（2024高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 8．（2024高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案. 【详解】 设，若，则点共面． 对于A，，由于，故A错误； 对于B，，由于，故B错误； 对于C, ，由于，故C错误； 对于D，，由于，得共面，故D正确. 故选：D. 9．（2024高二上·福建福州·期末）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题设条件推得，再由四点共面可求得 【详解】因为， 所以由 得， 即， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 故选：A. 10．（2024高二上·上海·期末）设，，是空间中的三个向量，且共面，则 . 【答案】 【分析】根据题意，可得存在实数使得成立，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，，是空间中的三个向量， 因为共面，则存在实数使得成立， 可得，可得. 故答案为：. 11．（2024高二上·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以. 故选:C． 12．（2024高二上·云南大理·期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意可知，向量、、共面，则存在实数、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可解得的值. 【详解】 因为向量，，不能构成空间的一个基底， 所以、、共面，故存在实数、使得， 即， 因为是空间的一个基底，则，解得. 故选：D. （三） 用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 题型4：空间向量基本定理的应用 13．（2024高二上·重庆·期末）如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算直接得解. 【详解】由是的中点， 可知， 所以， 故选：D. 14．（2024高二上·河南驻马店·期末）如右图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的加减法和数乘向量即可以为基底表示向量 【详解】 故选：D 15．（2024高二下·甘肃天水·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，则用表示及线段的长为分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】用向量的线性运算可直接求得；求整体的模长可平方再开根. 【详解】在平行六面体中，，，，，， ∵， ∴ , ∴． 故选:C． 16．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在正三棱锥中，为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，利用空间向量的线性运算即可得解. 【详解】如图，在正三棱锥中，取中点，连接， 则点为底面中心，且在上， 则 .    故选：D. 17．（24-25高二上·江西·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求出. 【详解】在直三棱柱中，，分别为棱，的中点， . 故选：D 18．（2024高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点， 则. 故答案为：A. （四） 1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性． 注：同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同．但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 2.确定空间中一点的坐标的一般步骤 第一步：观察空间直角坐标系（若没有空间直角坐标系，应建立合适的空间直角坐标系，使所求点尽可能多地在坐标轴上或坐标平面内）的特点，确定所求点的坐标的位置，即判断点是在坐标轴上、坐标轴内，还是在空间中的其他位置； 第二步：根据几何图形求出所需要的相关线段的长度； 第三步：写出点的坐标． 3.求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)． 题型5：空间向量的坐标运算 19．（24-25高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间直角坐标系中点的对称性可得结果. 【详解】点关于轴的对称点的坐标为， 故选：C. 20．（24-25高二上·山东·期中）已知空间两点，则两点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】由距离公式计算． 【详解】由题意， 故选：B． 21．（2024高二上·湖南岳阳·期末）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：C. 22．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量且与互相平行，则实数的值 . 【答案】2 【分析】利用空间向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】由条件可知， 因为与互相平行，所以， 解之得. 故答案为：2 23．（2024高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】依题意，. 故答案为： （五） 1．向量的数量积 (1)⇔0． (2)当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||． 2．投影向量 (1)向量在向量上的投影向量是． (2) ． 题型6：空间向量的数量积 24．（新疆兵团地州学校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题）如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 ．    【答案】/ 【分析】根据向量线性运算，将转化为，根据向量数量积的定义和运算律可求得结果. 【详解】. 故答案为：. 25．（24-25高二上·四川眉山·期中）棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得，结合数量积定义可得结论． 【详解】因为， 所以， 又，，，， 所以． 故选：A． 26．（2024高二上·江西吉安·期末）在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解 【详解】如图所示， 由正四面体的性质可得，， 由E是棱中点， ， 故选：A． 27．（2024高三上·北京顺义·期末）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可求得，建立空间坐标系，利用已知设，，根据向量的数量积公式及辅助角公式计算即可得出结果. 【详解】平面，，连接，由，可得， 四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系， 则，设，， 则， 所以 因为，则，则， 所以. 故选：D 28．（2024高二下·山东济南·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后得出和的坐标，即可得出答案. 【详解】 如图，由已知可得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，， 所以. 故选：A. （六） 空间向量夹角的求解 (1)先由公式cos〈a，b〉＝求得cos〈a，b〉． (2)再求〈a，b〉． 题型7：空间向量的夹角 29．（2024高二上·浙江杭州·期末）设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组求得，再由即可求结果. 【详解】由题意可得，则，即， 又，即，且， 所以. 故选：C 30．（2024高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 31．（2024高二上·浙江台州·期末）若空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】由题意，得. 故选:C. 32．（2024高三上·北京·阶段练习）已知平面向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，设与的夹角为，由求解即可. 【详解】解：因为，， 所以， 设与的夹角为， 则， 又因为， 所以. 故选：A （七） 线段长度(距离) (1)取此线段对应的向量． (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量． (3)利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)． 题型8：空间向量的模长 33．（2024高二上·山东威海·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、和AB的中点，点D是线段AC上的动点不包括端点若，则线段AD的长度是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出向量，利用求得点坐标，再求线段AD的长度即可． 【详解】在直三棱柱中，，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，，，，， 由于，所以，解得，所以线段AD的长度为. 故选：A 34．（2024高二上·陕西渭南·期末）若点，，，，且，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】求得的坐标，根据，可求得m值，代入求模公式，即可得答案. 【详解】， 因为，所以，解得， 所以， 所以， 故选：C 35．（2024高二下·甘肃临夏·期末）在空间直角坐标系中，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得求出，从而可求出的坐标，进而可求出其模 【详解】因为，，且， 所以，得， 所以，所以， 所以， 故选：B 36．（2024高二上·天津·期末）在平行六面体中，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，得到的长. 【详解】由题意得：， 故 ， 故. 故答案为： 37．（2024高二上·广东广州·期末）如图，在平行六面体中，为的中点，若该六面体的棱长都为2，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，取空间向量的一个基底，再利用空间向量数量积及运算律求出向量的模作答. 【详解】在平行六面体中，令，显然不共面，两两夹角为， 因为为的中点，则， 而，， 所以. 故答案为： （八） 空间向量的垂直 (1)⇔0⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0． (2)在证明时，须指明，． 题型9：空间向量的垂直 38．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知空间向量，，满足，则实数的值是（   ） A．-5 B．-4 C．4 D．5 【答案】D 【分析】依据向量垂直的坐标运算计算即可. 【详解】，， 即，解得：. 故选：D 39．（2024高二上·河北唐山·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（   ） A．或1 B．3或1 C． D．1 【答案】A 【分析】根据及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 40．（24-25高二上·云南文山·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标表示解方程可得结果. 【详解】由可得， 即，解得. 故选：A 41．（24-25高二上·河北·期中）已知，向量，，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标运算求解. 【详解】因为向量， ，， 由，则，解得， 由，则，解得，则． 故选：A． （九） （1）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （2）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 题型10：空间向量的投影向量 42．（2024高二上·四川泸州·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的概念进行运算即可求得． 【详解】由题意，，， 则向量在向量上的投影向量为． 故选：A． 43．（2024高二上·福建福州·期末）已知，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据投影向量的定义代入公式求解即可. 【详解】在上的投影向量为 ， 故答案为：. 44．（2024高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 一、单选题 1．（24-25高二上·四川·期末）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形应用空间向量的加减法及数乘运算即可求解. 【详解】依题意，. 故选：D. 2．（24-25高二上·四川成都·期末）向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，，，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】因为向量，， 则，， ， 所以向量在向量上的投影向量为 故选：A． 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二：根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果. 【详解】解法一：作于点C，且，连接，，   ， ； 解法二：由，， 得，，． 因为， 所以， 则， 解得，． 故选：C. 4．（2024高二上·广东揭阳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据共面向量的充要条件是其中一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合判断答案. 【详解】由平面向量基本定理，得 对于A选项，，所以，，三个向量共面； 对于B选项，，所以，，三个向量共面； 对于C选项，若存在实数使得： 则，从而共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面； 对于D选项，，所以三个向量共面． 故选：C． 5．（24-25高二上·重庆·期中）如图，三棱锥中，点为中点，点满足，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】    连接，所以， 因为，所以， 所以， 故选：B. 6．（2024高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 7．（2024高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 【答案】B 【分析】依题意可得，将两边平方，根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】依题意可得，，，， ，． ， ， ，即的长为. 故选：B． 8．（2024高一下·山东青岛·期末）已知平面，平面，，BD与平面所成的角为30°，，，则点C与点D之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用空间向量的数量积以及结合向量求距离的方法即可求解. 【详解】 如图，因为平面，，平面，所以，所以, 作，垂足为，连接， 则或， 易知, 若,则， 若,则, 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】在正方体中，由于点是侧面的中心， 所以， 所以，，即． 故选：AD. 10．（24-25高二上·青海海南·期中）如图，在棱长为3的正四面体中，O为的中心，D为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据向量的线性运算求解；对于B：根据正四面体的结构运算求解；对于CD：根据向量的数量积运算求解即可. 【详解】连接，，， 对于选项A：因为 ， ，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项CD： ，故C错误，D正确； 故选：ABD. 11．（2024高一下·河北·期末）若三棱锥的体积是三棱锥体积的，且，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三棱锥的体积是三棱锥体积的，则平面内存在一点，使得或，再根据空间向量的基本定理及已知条件即可求解. 【详解】因为三棱锥的体积是三棱锥体积的， 所以在平面内存在一点，使得或，如图①②所示， 当时，则，得． 因为点在平面内，所以根据空间向量基本定理可得，解得． 当时，则，得． 因为点在平面内，所以根据空间向量基本定理可得，解得． 故选：AC. 12．（2024高二下·江苏南京·期末）如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若存在实数，使，则与共线 D．若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得 【答案】ABD 【分析】对于A，用射影概念和线面垂直性质得到；对于B，将左边向量转化为右边的向量，后根据线线垂直的向量数量积为0计算得到；对于C，直接用向量共线的性质得到；对于D，用平面向量的基本定理可以得到． 【详解】对于A，根据射影概念，知道，，若，， 则面，面，则成立，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C，若，则和共线，则与可能相交，故C错误． 对于D，若M是直线AB上不同于A，B的点，则Ｍ与四个点都是共面的，且不共线，可以作为面的一组基底， 则由平面的基本定理，可知存在有序实数组，使得，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 13．（24-25高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对称性列式计算得解. 【详解】依题意，，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 14．（24-25高二上·陕西商洛·期中）设、、，，，，且，，则 . 【答案】 【分析】由已知可得出，可求出的值，可得出向量的坐标，再利用空间向量共线的坐标表示求出、的值，可得出向量的坐标，进而可求得的坐标，结合空间向量的模长公式即可得解. 【详解】因为、、，，，，且，， 则，解得，则， 由可得，解得，，则， 所以，因此. 故答案为：. 15．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为 ． 【答案】2 【分析】通过已知点的坐标，求出底面的面积，高的数值，然后求出三棱锥的体积． 【详解】由题意得，所以 所以的面积为， 点都在平面上，点到平面的距离3， 所以三棱锥的体积为． 故答案为： 16．（2024高二下·江苏苏州·期中）已知空间向量，若，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据空间向量平行的坐标运算，即可求解. 【详解】因为，， 因为，所以，解得： 故答案为： 17．（2024高二下·河北唐山·期末）如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算得关于的函数，再求解函数最值即可. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 则， 因为，所以当时，取最大值，最大值为3. 故答案为：3. 四、解答题 18．（2024高二上·江西宜春·期中）已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值； (2)若向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1) (2)2或 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【详解】（1）由点，得，， 所以， 所以和夹角的余弦值为. （2）由（1）可得，， 因为向量与互相垂直，则， 由整理可得，解得或， 所以的值为2或. 19．（2024高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）问题转化为，求. （2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标. 【详解】（1）由题知，， 所以， 因为， 所以. （2）因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 20．（2024高二下·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由向量共线列方程组，解出即可； （2）由向量的坐标运算分别求出，再由坐标计算结合二次函数求出最值即可； 【详解】（1）设，则， 因为． 所以，解得． 所以； （2）因为点在直线为坐标原点）上运动， 所以． 所以， ． 所以 ． 当时，取得最小值． ． 21．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解； （2）可得，结合数量积运算求解即可.. 【详解】（1）由向量的线性运算法则可得， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 22．（2024高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解； （2）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）解：由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 23．（2024高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题01 空间向量及其运算10题型分类 1．空间向量的概念 (1)空间向量的定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)空间向量的长度或模：空间向量的大小． (3) 空间向量的表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或． 2．常见的空间向量 (1)零向量：方向任意，模为0，记为0． (2)单位向量：方向任意，模为1． (3)相反向量：方向相反，模相等，a的相反向量为－a，的相反向量为． (4)相等向量：方向相同，模相等，记为a＝b． 3．空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法． 空间向量的运算 加法 a＋b 减法 a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 4．向量共面问题 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b． (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y)，使或对空间任意一点O，有． 5．空间向量的数量积 (1)已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2) a⊥b⇔a·b＝0． (3) a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2． (4)=． 6．空间直角坐标系 (1)在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量i，j，k唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标．记作A(x，y，z)，其中x叫点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． (2)若则． 7．空间向量运算的坐标表示 (1) a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)． (2) a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)． (3) λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R． (4) a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． (5) a∥b：a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3． (6) a⊥b：a1b1＋a2b2＋a3b3=0． (7)|a|=． (8)==． （一） 空间向量线性运算的技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 题型1：空间向量的线性运算 1．（2024高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． （二） 1．向量共线的判定 (1)判断两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立． (2)判断空间中的三点P，A，B共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ． 2．向量共面问题 (1)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． (2)若点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． 题型2：空间向量的共线问题 4．（2024高二上·山西吕梁·期末）在平行六面体中，点P在上，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高二上·四川·期末）已知向量，，若，共线，则（   ） A． B．2 C． D．10 题型3：空间向量的共面问题 7．（2024高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 8．（2024高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二上·福建福州·期末）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 10．（2024高二上·上海·期末）设，，是空间中的三个向量，且共面，则 . 11．（2024高二上·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二上·云南大理·期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． （三） 用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，，，不能含有其他形式的向量． 题型4：空间向量基本定理的应用 13．（2024高二上·重庆·期末）如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二上·河南驻马店·期末）如右图，三棱锥中，为的中点，点满足，记，，，则（    ）      A． B． C． D． 15．（2024高二下·甘肃天水·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，则用表示及线段的长为分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 16．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）在正三棱锥中，为外接圆圆心，则（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·江西·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，分别为棱，的中点.设，，，则（     ） A． B． C． D． 18．（2024高二下·甘肃临夏·期末）如图，在平行六面体中，点E，F分别为AB，的中点，则（    ） A． B． C． D． （四） 1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性． 注：同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同．但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 2.确定空间中一点的坐标的一般步骤 第一步：观察空间直角坐标系（若没有空间直角坐标系，应建立合适的空间直角坐标系，使所求点尽可能多地在坐标轴上或坐标平面内）的特点，确定所求点的坐标的位置，即判断点是在坐标轴上、坐标轴内，还是在空间中的其他位置； 第二步：根据几何图形求出所需要的相关线段的长度； 第三步：写出点的坐标． 3.求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)． 题型5：空间向量的坐标运算 19．（24-25高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·山东·期中）已知空间两点，则两点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 21．（2024高二上·湖南岳阳·期末）向量，若，则（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量且与互相平行，则实数的值 . 23．（2024高二上·江西景德镇·期末）已知，则 ． （五） 1．向量的数量积 (1)⇔0． (2)当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||． 2．投影向量 (1)向量在向量上的投影向量是． (2) ． 题型6：空间向量的数量积 24．（新疆兵团地州学校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题）如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 ．    25．（24-25高二上·四川眉山·期中）棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 26．（2024高二上·江西吉安·期末）在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．（2024高三上·北京顺义·期末）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024高二下·山东济南·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． （六） 空间向量夹角的求解 (1)先由公式cos〈a，b〉＝求得cos〈a，b〉． (2)再求〈a，b〉． 题型7：空间向量的夹角 29．（2024高二上·浙江杭州·期末）设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 30．（2024高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 31．（2024高二上·浙江台州·期末）若空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 32．（2024高三上·北京·阶段练习）已知平面向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． （七） 线段长度(距离) (1)取此线段对应的向量． (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量． (3)利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)． 题型8：空间向量的模长 33．（2024高二上·山东威海·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、和AB的中点，点D是线段AC上的动点不包括端点若，则线段AD的长度是（    ） A． B． C． D．1 34．（2024高二上·陕西渭南·期末）若点，，，，且，则（    ） A． B． C． D．6 35．（2024高二下·甘肃临夏·期末）在空间直角坐标系中，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 36．（2024高二上·天津·期末）在平行六面体中，，，，，则的长为 ． 37．（2024高二上·广东广州·期末）如图，在平行六面体中，为的中点，若该六面体的棱长都为2，，则 . （八） 空间向量的垂直 (1)⇔0⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0． (2)在证明时，须指明，． 题型9：空间向量的垂直 38．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知空间向量，，满足，则实数的值是（   ） A．-5 B．-4 C．4 D．5 39．（2024高二上·河北唐山·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（   ） A．或1 B．3或1 C． D．1 40．（24-25高二上·云南文山·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C．4 D． 41．（24-25高二上·河北·期中）已知，向量，，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． （九） （1）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （2）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 题型10：空间向量的投影向量 42．（2024高二上·四川泸州·期末）向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 43．（2024高二上·福建福州·期末）已知，则在上的投影向量的坐标为 . 44．（2024高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·四川·期末）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川成都·期末）向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 4．（2024高二上·广东揭阳·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（24-25高二上·重庆·期中）如图，三棱锥中，点为中点，点满足，则（   ）    A． B． C． D． 6．（2024高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C．85 D．97 8．（2024高一下·山东青岛·期末）已知平面，平面，，BD与平面所成的角为30°，，，则点C与点D之间的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·青海海南·期中）如图，在棱长为3的正四面体中，O为的中心，D为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2024高一下·河北·期末）若三棱锥的体积是三棱锥体积的，且，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二下·江苏南京·期末）如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若存在实数，使，则与共线 D．若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得 三、填空题 13．（24-25高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为 . 14．（24-25高二上·陕西商洛·期中）设、、，，，，且，，则 . 15．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为 ． 16．（2024高二下·江苏苏州·期中）已知空间向量，若，则实数 . 17．（2024高二下·河北唐山·期末）如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为 . 四、解答题 18．（2024高二上·江西宜春·期中）已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值； (2)若向量与互相垂直，求的值. 19．（2024高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 20．（2024高二下·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 21．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 22．（2024高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 23．（2024高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$