2024-2025学年江苏省南京市八年级数学上学期期末复习——几何尺规作图

8年级数学期末复习——几何尺规作图 姓名：___________得分：__________ 一、解答题 1．方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______； (2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰△ABC； (3)在图2中，△ABC是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 2．如图所示是每一个小正格都是边长为1的正方形网格． (1)利用网格线作图： ①在上找一点M使点M到和的距离相等；②在射线上找一点N，使． (2)在（1）中连接与，直接写出的面积． 3．如图所示是每一个小方格都是边长为1的正方形网格． (1)在上找一点P，使点P到和的距离相等； (2)在射线上找一点Q，使． 4．如图，△ABC的顶点均在正方形网格格点上．． (1)如图①，只用不带刻度的直尺，作出△ABC的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图2，点为点右侧的格点，，，延长△ABC的角平分线，交于点，则的长为__________． 5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图中利用无刻度直尺画出线段的垂直平分线； (2)在图中利用无刻度直尺画出线段的垂直平分线． 6．已知△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)如图①，在边上找一点D，使点D到的距离等于D到的距离． (2)如图②，在边上找一点E，使点E到点C的距离等于E到的距离． 7．在△ABC中，，直线经过点，且与平行．仅用圆规完成下列画图．（保留画图痕迹，不写作法） （1）如图①，在直线上画出一点，使得； （2）如图②，在直线上画出所有的点，使得． 8．如图，已知直线，点A为直线a、b之间的一定点，点B、C分别在直线a、b上，按照下列要求作出等边△ABC．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹；③写出必要的文字说明． (1)如图，已知点A到直线a、b的距离相等； (2)如图，已知点A为直线a、b间任意一点． 9．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D，请仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）如图①，点P为AB上任意一点，在AC上找出一点P'，使AP＝AP'； （2）如图②，点P为BD上任意一点，在CD上找出一点P'，使BP＝CP'． 10．在△ABC中，若，，为△ABC的中线． (1)写出长的取值范围：__________； (2)如图，已知线段、．用直尺和圆规作△ABC，使得，，． 11．已知为直线外一点，利用直尺和圆规在上作点、，分别满足下列条件．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图①中，， (2)在图②中，，． 12．如图，已知线段，，．求作△ABC，使，，且分别满足下列条件：    (1)上的中线为． (2)上的高为． （说明：①尺规作图，保留作图痕迹；②可以有必要的作图说明；③每小题满足条件的一个三角形即可．） 13．如图，在每个小正方形边长为 1 的网格中，A，B， C 为格点，点 P 为线段上一点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图．（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深）    (1)的长等于 ； (2)在图1中，画出△ABC的角平分线； (3)在图2中， 在线段上画点Q，使得． 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）尺规作图： (1)已知点为内部一点，过点用直尺和圆规作直线，直线交、于点，使得．（两种方法） (2)已知点为内部一点，过点用直尺和圆规作直线，直线交、于点，使得为等边三角形． 15．（2023·江苏南京·一模）如图，已知线段a．求作△ABC，使，，且分别满足下列条件： (1)． (2)△ABC的周长等于a．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 16．（22-23七年级下·江苏南京·期中）尺规作图：如图1，已知线段a、b，并且，在中，．求作直线l，使l分别满足下列条件并且在△ABC中分出一个面积等于的部分．      (1)在图2中，直线l经过△ABC的一个顶点； (2)在图3中，直线l不经过△ABC的任何一个顶点． 17．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：，点M和点N试在上分别找点P、Q，使四边形的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的性质，利用勾股定理求两点间距离． （1）利用勾股定理求解即可； （2）作一个直角边分别为3和4的直角三角形即可； （3）在的延长线上取格点E，使，连接，取的中点D，连接，即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：5； （2）解：如图，等腰即为所求(答案不唯一) （3）解：如图，即为所求． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据网格特点作出的角平分线与的交点就是M，作的垂直平分线与的交点就是N； （2）首先利用勾股定理计算出，，，然后利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形进而计算出面积即可． 【详解】（1）点M就是所要求作到和的距离相等的点， 点N就是所要求作的使的点， （2）连接与， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了利用网格结构作角的平分线，线段垂直平分线，解决本题的关键是掌握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质． 3．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图，作角平分线，作线段垂直平分线，利用网格的特点结合问题灵活处理是解题的关键． （1）找到格点G，使，连接，它与的交点P满足条件； （2）作出的垂直平分线，与射线相交，交点Q即满足条件． 【详解】（1）解：如图，找到格点G，使，连接，交于点P，点P到和的距离相等． （2）解：如图，所作的点Q满足． 4．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质与定义； （1）勾股定理求得，则，取的中点，则，则是的角平分线 （2）过点作，根据角平分线的性质可得，根据等面积法得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∵， ∴ 取的中点，则， ∴是的角平分线 （2）如图所示，过点作 ∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 5．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点F，连接，由勾股定理求得，，则由可证明，则，继而可得直线即为所作； （2）取格点，连接与交于点，由可得O为中点，取格点，可证明，继而可得，由勾股定理得，因此垂直平分，与交于点R，则直线即直线，由于垂直平分，则R为垂直平分线的交点，则，因此可以得到直线垂直平分． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作： （2）解：如图，直线即为所求， 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，涉及线段垂直平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图，作角平分线，作垂线，以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图； （1） 作的平分线即可； （2）过作的垂线交的延长线于D，再作的平分线，根据角平分线的性质可证，E到的距离和E到的距离相等，也即E到点C的距离等于E到的距离，E为所求． 【详解】（1）解：如图，作的平分线与的交点D为所求， （2）解：如图，过作的垂线交的延长线于D，再作的平分线与的交点E即为所求． 7．（1）见解析；（2）见解析 【分析】(1)以C为圆心,以CA为半径画弧,交点即为所求; (2)以A为圆心,以AC为半径画弧,交点即为所求. 【详解】（1） 如图所示，点即为所求， 理由如下: ，，则． （2） 如图所示，点即为所求， 理由如下： ，，则； ，则． 【点睛】本题考查了基本作图,熟记等腰三角形的性质,平行线的性质是解题的关键. 8．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题综合考查尺规作图，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定； （1）先以为圆心，任意长度为半径画弧交两点，再分别以这两点为圆心，大于线段长度为半径画弧交于点，连接分别交，于，，再以为圆心，为半径画圆，分别交直线a、b于点B、C，此时，，则，此时是等边三角形； （2）先同（1）一样作于，再以为圆心，为半径画圆，圆上任取一点，以为圆心，为半径画圆交直线于，交于，则，，再分别以，为圆心，长为半径画弧交于点，则为等边三角形，连接交直线于，再以为圆心，为半径画圆交直线于，连接，此时可以证明，得到，继而得到，即可得到是等边三角形． 【详解】（1）解：如图，是等边三角形； （2）解：如图，是等边三角形． （2）先同（1）一样作于，再以为圆心，为半径画圆，圆上任取一点，以为圆心，为半径画圆交直线于，交于，则，，再分别以，为圆心，长为半径画弧交于点，则为等边三角形，连接交直线于，再以为圆心，为半径画圆交直线于，连接，此时可以证明，得到，继而得到，即可得到是等边三角形． 9．（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可在AC上找出一点P'，使AP＝AP'； （2）根据等腰三角形的性质即可在CD上找出一点P'，使BP＝CP'． 【详解】解：（1）如图①，点P'即为所求． （2）如图②，点P'即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图的问题，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 10．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义、三角形的三边关系，作三角形； （1）根据题意倍长中线，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可求解； （2）作线段，分别以为圆心为半径作弧，交于点，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，延长使得，连接， ∵为的中线． ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， 即 ∴ ∴， 故答案为：． （2）如图所示即为所求； 11．(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是作已知直线的垂线，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握基本几何图形的性质并应用于作图是解本题的关键． （1）如图，先过作直线的垂线，垂足为，再以为圆心，为半径画弧，交直线于，，连接，即可；由等腰直角三角形的性质可得：，可得，； （2）如图，过作直线的垂线，垂足为，截取，以为圆心，为半径画弧，交直线于，作线段的垂直平分线交直线于，再以为圆心，为半径画弧交直线于，连接，，可得，连接，则，可得为等边三角形，可得，，可得，可得为等边三角形，可得． 【详解】（1）解：如图，，，即为求作的线段与直角； （2）如图，线段，，即为求作的线段与角； 12．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，掌握相关结论是解题关键． （1）作线段，分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点；作射线，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，即可完成作图； （2）作线段，作出以为直径的，以点为圆心，为半径画弧，交于点，作射线，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，即可完成作图； 【详解】（1）解：如图：即为所求：    （2）解：如图：即为所求：    13．(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与涉及作图，角平分线的判定定理，全等三角形的判定定理等知识． （1）由勾股定理可得； （2）取格点E，连接并延长交于D，即为所求； （3）取格点K，使，连接交于T，连接并延长交于Q，Q即为所求的点． 【详解】（1）； 故答案为：5； （2）取格点E，连接并延长交于D，如图：   即为所求； 理由：由图可知， ∴， ∴， 过E作于F， ∵， ∴， ∴E到的距离等于E到的距离， ∴是的角平分线； （3）取格点K，使，连接交于T，连接并延长交于Q，Q即为所求的点．，如图：    理由：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了尺规作角平分线，线段垂直平分线，作角等于已知角， （1）方法一：先作的角平分线，再过点作角平分线的垂直平分线即可求解；方法二：作等腰三角形，再过点作即可求解； （2）过点作的垂线，交于点，作的垂直平分线交于点，由此即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，连接； 以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，并延长，则是的角平分线； 以点为圆心，任意长为半径画弧交于点， 以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，则垂直平分线段； 连接并延长交于点，交于点， 为的角平分线，， 垂直平分， ； 方法二：以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，连接； 以点为圆心，任意长为半径画弧交直线于点，连接； 以点为圆心，以为半径画弧交直线于点 ，以点为圆心，以为半径画弧交于点， 连接，并延长交于点，交于点， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，以点为圆心，任意长为半径画弧交于点， 分别于点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于于点， 同理，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求图形， 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先作线段，再作分别以点B，C为圆心，大于画弧，两弧分别交于点E，F，然后作直线交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧，交直线于点A，连接，则即为所求； （2）先作线段，再作线段的垂直平分线交于点D，再以点D为圆心， 为半径画弧，交直线于点P，连接，再作的平分线交直线于点A，然后以点A圆心，长为半径画弧，交于点B，C，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，先作线段，再作线段的垂直平分线交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧，交直线于点A，连接，则即为所求．     理由：根据作法得：垂直平分线段，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，先作线段，再作线段的垂直平分线交于点D，再以点D为圆心， 为半径画弧，交直线于点P，连接，再作的平分线交直线于点A，然后以点A为圆心，长为半径画弧，交于点B，C，连接，则即为所求． 理由：根据作法得：垂直平分线段，，平分，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——画等腰三角形，熟练掌握几种基本尺规作图的方法，等腰直角三角形的判定是解题的关键． 16．(1)作图见解析 (2)作图解析 【分析】 （1）在线段上截取，则，根据与同高的特性可知，． （2）在线段上依次截取，则，于是．作的中点F，则．因此． 【详解】（1）如图，在中，以A为圆心、b长为半径，在边上截取．    连接． 则直线就是所求作的直线l． （2）如图．    ①用圆规工具在边上顺次截取． ②作点的中点F，连接． 则直线就是所求作的直线l． 【点睛】本题考查了三角形面积的之间的关系、线段中点的作图，解题的关键是理解两个三角形面积关系与底、高之间的联系． 17．画图见解析 【分析】分别作M点和N点关于和的对称点，连接交于P，交于Q，则四边形满足条件． 【详解】解：如图，四边形为所作． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$