模块一任务二 工程构件的承载能力分析（课件）-《机械基础》同步教学（机工教育）

课程导入： 模块一 机械工程力学基础 任务二 工程构件的承载能力分析 桥式起重机 教学目标 知识目标 1.理解强度、刚度、稳定性、内力、应力、许用应力等基本概念。 2.掌握构件承受轴向拉伸与压缩、剪切与挤压、圆轴扭转、平面弯曲四种基本变形的特点。 3.掌握构件承受四种基本变形的强度计算。 能力目标 1.能根据工程构件的实际受力情况分析其承载能力。 2.能正确处理机械工程中构件的载荷问题。 素养目标 1.培养学生标准意识和规范意识； 2.培养学生严谨细心、爱岗敬业、精益求精的工匠精神。 【学习重点与难点】 1.四种基本变形的受力和变形特点，根据构件实际承载识别变形类型。 2.四种基本变形的强度计算。 【相关知识】 一、杆件变形的基本形式 实际构件的形状是多种多样的，简化后的构件可分为杆、板、壳和块，如图所示。凡是长度尺寸远远大于其他两个方向尺寸的构件称为杆。 杆件变形的基本形式有四种，如表所示。 二、轴向拉伸与压缩 （一）轴向拉伸与压缩的概念 杆件两端的外力等值、反向，作用线与杆件的轴线重合，杆件沿轴线方向产生伸长或缩短变形。这种变形称为杆件的轴向拉伸或轴向压缩。 起重机 紧固螺栓 拉伸与压缩受力图 轴力的正负号规定如下： 当轴力的方向离开横截面时，杆件产生拉伸变形，轴力取正号；反之，取负号。 （二）轴向拉伸与压缩杆件的内力与应力 1.内力的概念 在外力的作用下，杆件内部产生的相互作用的力，称为内力，也叫轴力，用FN表示，单位牛顿（N）。 2.截面法 杆件内力的大小与方向，通常用截面法来确定，如图所示。任取其中的一段作为研究对象，建立平衡方程，即：FN=F 3.轴力与轴力图 轴力沿杆件轴线方向的变化用轴力图来表示。 轴力图的表示：用横坐标x表示横截面的位置，纵坐标值表示各横截面上轴力的大小，按选定的比例尺寸和轴力的正负把轴力分别画在坐标轴上。 课堂练习：如图所示，杆件沿轴线方向受F1=5kN、F2=2kN两个力的作用，分别作用在B、C两点，试求杆件截面1-1与2-2的轴力并绘制轴力图。 提示：先进行外力分析，再进行内力分析 答案： 4.杆件横截面上的应力与变形 （1）应力 应力是指作用在杆件横截面上单位面积的内力，用σ表示，即： （2）胡克定律 大多数工程材料有一个弹性阶段，在此阶段内轴向拉（压）杆件的伸长或缩短量ΔL与内力FN和杆长L成正比，与杆件的横截面积A成反比，即： 引入比例系数E，则： 式中：E—弹性模量（Pa）。 胡克定律 胡克定律可改为： （三）拉伸与压缩的强度计算 对于塑性材料的许用应力 ；对于脆性材料的许用应力 。 为保证构件安全可靠地工作，必须使构件的最大工作应力小于材料的许用应力 ，即杆件受轴向拉伸或压缩时的强度条件为： 强度计算：根据强度条件，可进行强度校核、横截面的设计、许可载荷的确定。 式中ns和nb分别为塑性材料与脆性材料的安全系数。选取安全系数时，应合理兼顾安全性和经济性。在一般机械设计中，静载荷下，取塑性材料 ns =1.5～2.0；脆性材料 nb =2.0～5.0。 课堂练习：如图所示的三角架由AB与BC两杆铰接而成，两杆的截面均为圆形，材料的许用应力 [σ]=58MPa，作用在节点B处的载荷Fp =20kN，试确定AB与BC杆的直径。 受力分析： 答案： 计算结果： 三、剪切与挤压 （一）剪切变形 大小相等、方向相反、作用线相距很近的两力作用在钢板上，钢板在两力间的截面m-m处发生相对错动。钢板的这种变形称为剪切变形。发生相对错动的截面m-m称为剪切面。剪切面上内力的作用线与外力平行，沿截面作用，沿截面作用的内力称为剪力，用符号FQ表示，如图所示的铆钉。 与剪力FQ对应，剪切面上有切应力τ。通常假定切应力在剪切面上是均匀分布的，则切应力的计算公式为： （二）挤压变形 如图所示的键，在键发生剪切变形的同时，往往伴随着挤压变形。在力的接触面上，局部承受较大的压力，同时发生塑性变形，这种现象称为挤压。发生挤压的接触面称为挤压面。挤压面上的压力称为挤压力，用Fj表示。挤压面一般垂直于外力作用线。 挤压面上由挤压力引起的应力称为挤压应力，用符号σj表示。 （三）剪切与挤压强度计算 为保证构件能可靠、安全工作，要求剪切面上的工作切应力不得超过材料的许用切应力，即剪切强度条件为： 式中： —材料的许用切应力，单位Pa。 挤压面上的挤压强度条件为： 式中： —材料的许用挤压应力，单位Pa。 注意：在挤压强度计算中，当连接件和被连接件的材料不同时，应对挤压强度较低的杆件进行强度计算。 课堂练习：校核如图所示键的强度。已知轴的直径d0=50mm，采用B型普通平键，尺寸为b × h × l=14×9×50，传递的转矩M=0.5kN · m，键和轴的材料为45号钢，许用切应力[τ]=60MPa，许用挤压应力[σj]=100MPa 。 答案：所选键的强度符合要求。 四、圆轴扭转 （一）扭转概念 如图所示钻头、汽车转向轴以及传动轴AB，构件两端受到一对大小相等、转向相反的力偶的作用，作用在垂直于构件轴线的平面内，构件在力偶的作用下产生变形，任意两横截面皆绕轴线产生相对转动，这种转动变形称为扭转变形。发生扭转变形的圆轴任意两横截面间相对转动的角度称为扭转角，用ψ表示。圆轴表面的纵向直线也转过一个角度γ，变为螺旋线，γ称为切应变。 （二）扭矩和扭矩图 在分析圆轴的扭转变形和承载能力之前，首先要计算外力偶矩。外力偶矩通常通过已知轴所传递的功率和转速来求解，即： 1.扭矩 求解圆轴扭转内力用截面法。在截面n-n处有一个内力偶矩与外力偶矩Me平衡，这个内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。由平衡条件得： 则： 扭矩正负符号的规定：按右手螺旋法则，四指按扭矩的转向握住轴线，则大拇指的指向离开截面时为正；反之为负。 2.扭矩图 为表示各截面扭矩的大小与正负，常需画出扭矩随截面位置变化的图像，这种图像称为扭矩图。以横坐标x表示各截面的位置，以纵坐标T表示相应截面上的扭矩，圆轴扭矩图如图（d）所示。 当轴受多个外力偶作用时，由平衡条件可得计算扭矩方法： 圆轴任一截面的扭矩等于该截面一侧轴段上所有外力偶矩的代数和。 课堂练习：如图所示的传动轴，A为主动轮，输入功率PA=40kW，转速n=200r/min，输出功率PB=25kW ，PC=15kW 。试作出传动轴的扭矩图。 从扭矩图可以看出，在集中力偶作用处，其左右截面扭矩不同，此处发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。最大扭矩发生在AB段， 请思考：如果主动轮放中间，结果如何？ （三）圆轴扭转强度与刚度计算 1.圆轴扭转时横截面上的切应力 特点： （1）各纵向线倾斜了同一角度γ，表面上的矩形网格变成了平行四边形。 （2）各圆周横截面均绕轴线转过角度ψ ，各截面的形状、大小及间距不变。 圆轴扭转时横截面上只产生切应力，而横截面上各点切应力的大小与该点到轴心的距离ρ成正比，方向与过该点的半径垂直。 当圆轴某横截面上的扭矩为T、截面半径为R时，横截面上距轴心为ρ处的切应力τρ的计算公式为： 截面的极惯性矩 与抗扭截面系数 都与截面的形状与尺寸有关。工程中承受扭转变形的圆轴有实心圆轴与空心圆轴两种，其横截面如图所示。两种圆轴的截面极惯性矩与抗扭截面系数的计算公式如下。 令 ，则： 式中： — 抗扭截面系数，单位为 。 实心圆轴受扭时切应力的分布 空心圆轴受扭时切应力的分布 2.圆轴扭转强度 为保证圆轴在扭转变形中有足够的强度，应使圆轴横截面上的最大切应力不能超过材料的许用应力，即圆轴扭转的强度条件为： 3.圆轴刚度 不产生扭转变形以两个横截面的相对扭转角 来度量。通过圆轴扭转试验发现，当最大扭转切应力 不超过材料的剪切比例极限 时，圆轴的扭转角 （单位为rad）总是正比于扭矩 和轴的长度 ，反比于截面的极惯性矩 及材料的切变模量 ，即： （1） 越大，则 越小。它反映了截面抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。 （2）扭转角 与轴的长度 有关。为了消除的影响，将上式两端除以 ，得单位长度扭转角 ，其单位为 。 用 表示： 圆轴扭转的刚度条件： 课堂练习：如图所示的阶梯轴，已知 ， ， ，材料的许用切应力 ，试校核阶梯轴的强度。 答案：最大切应力发生在BC段，且其最大切应力大于材料的许用切应力，说明阶梯轴的强度不能满足要求。 五、平面弯曲 如图所示的火车轮轴、桥式起重机桥梁，外力垂直作用于杆件轴线，使原为直线的轴线产生变形成为曲线，这种变形称为弯曲变形。习惯上把以弯曲变形为主的杆件称为梁。 工程中多数梁的横截面有一对称轴，通过对称轴和梁的轴线作一纵向对称面，如图所示。若所有载荷都作用在梁的纵向对称面内，梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一曲线，这种弯曲称为平面弯曲。 （一）梁的支座形式及支座反力 梁的支座形式复杂多样，按支座对梁的约束情况，将支座形式简化为可动铰链支座、固定铰链支座、固定端三种。 （二）载荷形式 作用在梁上的载荷，通常可分为集中载荷、分布载荷、集中力偶三种。 集中载荷 分布载荷 集中力偶 （三）梁的支撑形式 根据支撑形式的不同，梁可分为简支梁、外伸梁、悬臂梁三种类型。 简支梁 外伸梁 悬臂梁 （四）平面弯曲内力 1.剪力和弯矩概念 梁在发生平面弯曲变形时，其横截面上会产生两种内力抵抗变形的发生，一种是剪力 ，另一种是弯矩 。如图所示，假想沿截面n-n将梁分成两段，则有： （1）力 的作用线平行于外力并通过截面的形心，称为剪力。 （2）力偶矩 ，其力偶面垂直于横截面，称为弯矩。 梁横截面上的剪力 与弯矩 可由平衡方程求得。 梁任一截面上的内力 、 的大小，由该截面一侧的外力确定，即： （2）剪力和弯矩的方向 从梁内取一小段梁，当小段梁两侧面发生“左上右下”相对错动时，剪切力为正，反之为负。使小段梁弯曲向下凸时弯矩（左顺右逆）为正，反之为负。 2.剪力和弯矩的大小与方向 （1）剪力和弯矩的大小 3.弯矩图 为了能直观、形象地表示弯矩沿梁轴线的变化情况，找出最大弯矩值及其所在截面的位置，需要绘制弯矩图。画弯矩图的步骤如下： （1）求出梁的支座反力； （2）列力与弯矩平衡方程，计算出梁的剪力 与弯矩 。 （3）以平行于轴线的 轴为横坐标， 表示截面位置，以纵坐标 表示相应各横截面上的弯矩，正弯矩画在 轴上方，负弯矩画在 轴下方。 例：如图所示的简支梁AB，在点C处受到集中力F作用，尺寸a、b和l 均为已知，试计算简支梁的截面内力并作出梁的弯矩图。 答案： 先计算支座约束反力： 截面内力： 截面弯矩： 总结： 集中力作用处，剪力发生突变，突变值即等于集中力的大小；而集中力作用处，弯矩发生转折。 课堂讨论1：齿轮轴受集中力偶作用，如图所示，已知M、a、b、L，试绘制FQ和M图，并确定FQ和M的最大值。 答案： 总结：由图FQ、M图可见，集中力偶作用处弯矩发生突变，突变值等于集中力偶的大小；突变方向为下凸向上，上凸向下。而集中力偶作用处，FQ图不变。 课堂讨论2：如图所示，已知简支梁AB长为 ，梁上承受分布载荷q，试计算简支梁的截面内力并作出梁的弯矩图。 总结： 梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。 答案： （五）平面弯曲强度计算 1.纯弯曲概念与特点 一般情况下，梁的横截面上既有弯矩，又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。 纯弯曲梁变形特点如下： （1）各纵向线由直线弯曲成弧线，且以对称轴为分界线。靠近凹边的弧线缩短；靠近凸边的弧线伸长；分界层既不缩短，也不伸长。远离分界线的点变形越大。 （2）变形后横截面仍然保持平面，且仍垂直于轴线，且仍与纵向线正交，但发生了相对转动。 2.纯弯曲时梁横截面上的正应力 （1）梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 （2）弯曲正应力的计算 当梁横截面上的弯矩为 ，该横截面上距对称分界线 的距离为 的点的正应力 的计算公式为： 令 ，则上式可写成： 式中： — 抗弯截面系数，单位为 。 （3）简单截面的轴惯性矩 和抗弯截面系数 3.梁弯曲时的强度条件 梁的弯曲强度条件：梁内危险截面上的最大弯曲正应力 不超过材料的许用应力 ，即： 利用梁弯曲时强度条件，可进行强度校核、设计截面和计算许可载荷。 课堂讨论：如图所示简支梁，已知F=6kN，[σ]=60MPa，l=50cm，a=20cm，b=30cm，试设计实心简支梁的直径。 答案：实心简支梁的直径d=50mm。 $$