江苏省盐城市、南京市2024-2025学年高三上学期期末调研考试(一模）数学试卷

盐城市、南京市2024－2025学年度第一学期期末调研考试 高三数学 2025.01 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第I卷(选择题 共58分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项． 1．已知集合S＝(－1，1)，集合T＝{y|y＝sinx}，则S∪T＝ A． B．S C．T D．R 2．已知向量a＝(1，m)，b＝(2，－1)．若a⊥b，则实数m的值是 A．－2 B．2 C．－ D． 3．设a为实数，则“a＜1”是“(a－1)(a－2)＞0”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在(1＋x)8的展开式中，系数为整数的项数是 A．9 B．4 C．3 D．2 5．若函数f(x)＝x2－2xsinα＋1有零点，则cos2α的取值集合为 A．{－1，1} B．{0} C．{1} D．{－1} 6．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，若f(x)的图象经过点(0，1)，且f(x)在[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是 A．[，＋∞) B．[，) C．[，) D．[，＋∞) 7．第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举行．本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为 A． B． C． D． 8．已知点F1，F2是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为Q．若5＋3＋3＝0，则椭圆Ω的离心率为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X(单位：克)．若X～N(600，σ2)，其中σ＞0，则 A．P(X＜600)＝ B．P(592＜X＜598)＜P(602＜X＜606) C．P(X＜595)＝P(X＞605) D．σ越小，P(X＜598)越大 10．设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有 A．|z1|＋|z2|＝|z1＋z2| B．＋＝ C．若|z1|＝|z2|，则z＝z D．若z＜0，则z1为纯虚数 11．已知曲线C：x3＋y3＝1，则 A．曲线C关于直线y＝x对称 B．曲线C关于原点对称 C．曲线C在直线x＋y＝0的上方 D．曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于 第II卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把答案写在答题纸的指定位置上． 12．函数f(x)＝x2＋lnx的图象在点(1，1)处的切线的斜率为 ▲ ． 13．已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E满足＝．设三棱锥P－ACE和四棱锥P－ABCD的体积分别为V1和V2，则的值为 ▲ ． 14．已知等差数列{an}的公差不为0．若在{an}的前100项中随机抽取4项，则这4项按原来的顺序仍然成等差数列的概率为 ▲ ．(用最简分数作答) 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15．(本小题满分13分) 在△ABC中，AB＝6，BC＝5． （1）若C＝2A，求sinA的值； （2）若△ABC为锐角三角形，cosA＝，求ΔABC的面积． 16．(本小题满分15分) 如图，在所有棱长都为2的三棱柱ABC－A1B1C1中，点E是棱AA1的中点，AB1⊥CE． （1）求证：平面A1ABB1⊥平面ABC； （2）若∠A1AB＝，点P满足＝3，求直线CP与平面A1ABB1所成角的正弦值． (第16题图) 17．(本小题满分15分) 已知点F1，F2分别为双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点F1到双曲线E的渐近线的距离为2，点A为双曲线E的右顶点，且AF1＝2AF2． （1）求双曲线E的标准方程； （2）若四边形ABCD为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线BD过定点． 18．(本小题满分17分) 设函数f(x)＝ax＋ka－x(k∈R，a＞0，a≠1)． （1）当k＝4时，求f(x)的最小值； （2）讨论函数f(x)的图象是否有对称中心．若有，请求出；若无，请说明理由； （3）当k＝0时， x∈(－∞，)都有f(x)≤，求实数a的取值集合． 19．(本小题满分17分) 若数列{an}满足：对任意n∈N*(n≥3)，总存在i，j∈N*，使得an＝aiaj(i≠j，i＜n，j＜n)，则称{an}是融积数列． （1）断数列{e2n}是否为融积数列，并说明理由； （2）若等差数列{an}是融积数列，求{an}的通项公式； （3）若融积数列{an}单调递增，a1＝2，a2＝8，求使an＝2123成立的n的最值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 盐城市、南京市2024－2025学年度第一学期期末调研考试 高三数学参考答案 2025.01 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．B 7．A 8．D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9．AC 10．BD 11．ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 3 13． 14． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 解：（1）因为C＝2A，所以sinC＝sin2A＝2sinAcosA， 所以cosA＝． 在△ABC中，由正弦定理得＝， 而AB＝6，BC＝5，所以cosA＝＝． 因为A∈(0，π)，所以sinA＝＝＝． （2）在△ABC中，因为cosA＝，所以sinA＝＝＝． 由正弦定理得＝，所以sinC＝sinA＝×＝． 因为△ABC为锐角三角形，所以cosC＝＝＝， 所以sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝． 所以△ABC的面积SΔABC＝×AB×BC×sinB＝×6×5×＝． 16．(本小题满分15分) （1）证明：取AB的中点O，连接EO，A1B，OC． 因为E为AA1中点，O为AB中点，所以EO//A1B． 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则四边形ABB1A1是菱形，得AB1⊥A1B， 则AB1⊥EO，又AB1⊥CE，EO∩CE＝E，EO，CE平面EOC， 所以AB1⊥平面EOC． 又因为OC平面EOC，所以OC⊥AB1． 因为ΔABC是等边三角形，O为AB中点，所以OC⊥AB． 又因为OC⊥AB1，AB∩AB1＝A，AB，AB1平面A1ABB1， 所以OC⊥平面A1ABB1． 又因为OC面ABC， 所以平面A1ABB1⊥平面ABC． （2）解：连接A1O． 因为∠A1AB＝，AB＝AA1，所以△A1AB是等边三角形，所以A1O⊥AB． 又因为平面A1ABB1⊥平面ABC，平面A1ABB1∩平面ABC＝AB， 所以A1O⊥平面ABC． 如图，以O为原点，OC、OB、OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz． 则O(0，0，0)，C(，0，0)，B(0，1，0)，A1(0，0，)，B1(0，2，)． 设C1(x，y，z)，又＝，解得C1(，1，)， 则＝＋＝(－，，)． 平面A1ABB1的一个法向量n＝(1，0，0)，所以cos＜，n＞＝＝－． 设直线CP与平面A1ABB1所成角为θ， 则sinθ＝|cos＜，n＞|＝． 17．(本小题满分15分) 解：（1）设焦距为2c，则F1(－c，0)， 故点F1到双曲线E的渐近线bx±ay＝0的距离为＝b＝2． 由AF1＝2AF2，知c＋a＝2(c－a)，得c＝3a． 又因为c2＝a2＋b2，所以(3a)2＝a2＋8，解得a2＝1． 所以双曲线E的标准方程为x2－＝1． （2）证明：①当直线BD的斜率不存在时， 由AB⊥AD可得直线BD的方程为x＝－． ②当直线BD的斜率存在时，设直线BD的方程为y＝kx＋m，B(x1，y1)，D(x2，y2)， 联立得(8－k2)x2－2kmx－m2－8＝0． 当时，x1＋x2＝，x1x2＝－． 因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD， 所以·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0， 所以(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0， 所以－＋＋＝0， 所以7m2－2km－9k2＝0， 所以(m＋k)(7m－9k)＝0，所以m＝－k或m＝k． 当m＝－k时，直线BD的方程为y＝kx－k＝k(x－1)，恒过定点A(1，0)，不合题意，舍去． 当m＝k时，直线BD的方程为y＝kx＋k＝k(x＋)，恒过定点(－，0)． 综上①②，直线BD恒过定点(－，0)． 18．(本小题满分17分) 解：（1）当k＝4时，f(x)＝ax＋4a－x≥2＝4(当且仅当ax＝4a－x，即x＝loga2时取等号)， 所以，当x＝loga2时，f(x)取最小值4． （2）设点P(m，n)为函数f(x)的对称中心，则f(x)＋f(2m－x)＝2n， 所以ax＋ka－x＋a2m－x＋ka－2m＋x＝2n，即ax(1＋ka－2m)＋a－x(k＋a2m)＝2n， 所以a2x(1＋ka－2m)－2nax＋(k＋a2m)＝0， 于是1＋ka－2m＝0，且k＋a2m＝0，且2n＝0， 即a2m＝－k，n＝0 所以当k≥0时，m无解，此时函数f(x)的图象没有对称中心； 当k＜0时，m＝loga(－k)，此时函数f(x)图象的对称中心为P(loga(－k)，0)． （3）当k＝0时，f(x)＝ax，所以ax≤在(－∞，)上恒成立，即xlna＋ln(1－2x)≤0． 令φ(x)＝xlna＋ln(1－2x)，则φ(0)＝0， 所以φ'(x)＝lna－，φ''(x)＝－＜0， 所以φ'(x)在(－∞，)上单调递减， ①当0＜a＜1时，φ'(x)＜0，则φ(x)在(－∞，)上单调递减， 此时当x＜0时，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去； ②当a＞1时，由φ'(x)＝lna－＝0，解得x＝－＜． 1°当a＝e2时，－＝0， 所以x∈(－∞，0)时，φ'(x)＞0，则φ(x)单调递增； x∈(0，)时，φ'(x)＜0，则φ(x)单调递减； 所以x＝0时，φ(x)取极大值，则φ(x)≤φ(0)＝0， 所以a＝e2满足； 2°当1＜a＜e2时，－＜0， 因为x∈(－，)时，φ'(x)＜0，则φ(x)单调递减， 所以x∈(－，0)时，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去； 3°当a＞e2时，－＞0， 因为x∈(－∞，－)时，φ'(x)＞0，则φ(x)单调递增， 所以x∈(0，－)时，φ(x)＞φ(0)＝0，舍去； 综上，实数a的取值集合为{e2}． 19．(本小题满分17分) 解：（1）{e2n}是融积数列，下证明． 设bn＝e2n，当n≥3时，取i＝1＜j＝n－1＜n，则bibj＝e2ie2j＝e2e2n－2＝e2n＝bn， 即存在i，j∈N*，i≠j，i＜n，j＜n，使得bn＝bibj， 则{e2n}是融积数列． （2）设等差数列{an}的公差为d． 又{an}是融积数列，所以对任意的n∈N*(n≥3)，总存在i，j∈N*，使得an＝aiaj(i≠j，i＜n，j＜n)，则a3＝a1a2． 考察a4，有下列三情况： ①若则或； ②若则或； ③若则或或； 由①②③得an＝0，或an＝1，或an＝－n＋． 对于an＝0，取i＝1＜j＝n－1＜n(n≥3)，则an＝0＝0×0＝aiaj，则{an}是融积数列． 对于an＝1，同上可得{an}也是融积数列． 对于an＝－n＋，则a5＝0，当i＜5，j＜5时都有ai≠0，aj≠0， 故不存在i，j∈N*，使得a5＝aiaj，故{an}不是融积数列． 综上，an＝0或an＝1． （3）因为{an}是单调递增的融积数列，a1＝2，a2＝8，所以an＋2≤an＋1an， 所以a3＝a1a2＝24，a4≤a2a3＝27，a5≤a3a4≤211，a6≤a4a5≤218， a7≤a5a6≤229，a8≤a6a7≤247，a9≤a7a8≤276，a10≤a8a9≤2123， 所以an＝2123≥a10． 又因为{an}单调递增，所以n≥10， 当以上各式等号同时成立时a10＝2123，故(n)min＝10． 因为{an}是融积数列，所以对任意的n∈N*(n≥3)，总存在i，j∈N*，使得an＝aiaj， 而a1＝2，a2＝8＝23，所以对任意的n∈N*必存在k∈N*，使得an＝2k， 又因为{an}是单调递增数列，所以an＋1≥2an，则··…·≥2n－2(n≥3)， 则an≥2n＋1，由an＝2123≥2n＋1，得n≤122， 当an＝时取等号，故(n)max＝122， 综上，(n)min＝10，(n)max＝122． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$