专题1.2 等腰三角形（专项练习）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.2 等腰三角形（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，点在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，将一张长方形纸片按图中折叠，折痕为，，，则重叠部分的面积为（   ） A．80 B．20 C．40 D．10 4．（2024·山西大同·模拟预测）在四边形中，，，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F，，，则的长为（    ） A．8 B．6 C． D． 5．（20-21九年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）已知：如图，在中，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（黑龙江省齐齐哈尔市三县2024-2025学年九年级上学期期末联考数学试题）如图，四边形中，，，，若连接，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点是直线在第一象限上的一点，线段在轴上，且是等边三角形，直线上存在一动点，已知的最大值为，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，，E是边上一点，连接并延长至点D，连接，若，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 10．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）已知为等边三角形，为中线，延长至，使，连接，若，则 ． 12．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C，仰角为，当笔直向山行4千米到达B处时，小明看气象站C的仰角为．请你算出这个气象站离地面的高度是 ． 13．（22-23九年级上·山东德州·期中）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 ． 14．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，，则 ． 15．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 ． 16．（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，过点作直线轴，点是直线上的点，以为边作等腰，使，则点的坐标是 ．    17．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点，与轴交于点，以为腰在第二象限作等腰直角，，则的面积为 ． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，依次进行下去，则点的横坐标是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且交于点D，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，平分，过点作于点，交于点．已知，，．求的长． 21．（24-25八年级上·江西新余·期中）如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，作于． (1)求证：； (2)若，求． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图①，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点． (1)直接写出点A，B的坐标：A（ ， ），B（ ， ）； (2)点P是y轴上一点，若的面积为6，求点P的坐标； (3)如图②，过x轴正半轴上的动点作直线轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出m的值． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知，中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，D是外一点，连接、，且，作的平分线交于点E，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点F，若，，求的长． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·陕西西安·期中）【初步探究】 （1）如图1，在四边形中，，是边上一点，，．连接、．请判断的形状并说明理由． 【拓展应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点的坐标． 23．（本小题满分12分）（24-25八年级上·北京·期中）如图，为等腰直角三角形，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且 过点A 作BE的垂线交 于 ，过点作的垂线交直线于点 ，交直线于点 ． (1)请补全图形，并直接写出与的数量关系 ． (2)用等式表示 （1） 问中线段、、之间的数量关系，并证明． (3)当点 、分别在、的延长线上时，且 直接写出线段、、之间的数量关系 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C A A D C D A 1．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形一内角为，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况讨论． 【详解】解：当角为顶角，顶角度数即为； 当为底角时，顶角； 综上，若等腰三角形一个角为，则顶角的度数是或， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，再由平角的定义得出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的面积公式．根据折叠的性质得到，根据可得，继而可得，易得，然后根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形， ， ， ， ， ，， ∴ 重叠部分的面积． 故选：C 4．C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的三线合一，垂直平分线的性质得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】连接，如图所示， 由作图可得，平分， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理等知识．过点A作，垂足为D．在中和中，分别用表示出、，根据的长求出，再求三角形的面积． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为D． 在中，， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 根据得，再由全等的判定可知， 即可求得，再由三角形的内角和定理，即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形性质和判定，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形．延长至点，使得，证明，进而推出为等边三角形，过点作于点，利用等边三角形性质和勾股定理求出，再根据四边形的面积求解，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 过点作于点， ， ， 四边形的面积， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，一次函数的性质，勾股定理，由，当点三点共线时有最大值为，则，过作于点，则，由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理求出，然后代入一次函数解析式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∴当点三点共线时有最大值为， ∵的最大值为， ∴， 过作于点，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴当时，，解得：， ∴点的横坐标是， 故选：． 9．D 【分析】作，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，那么可证．再利用证明，得出，设，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：作，垂足为，则，如图所示： ，， ，， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 设，则，． ， ， ， 线段长为． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型． 10．A 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，如图，连接，过点作于点，证明，利用面积法求出，再利用勾股定理即可求出．解题的关键是学会利用面积法解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 11． 【分析】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识， 因为是等边三角形，又是上的中线，所以有，，，且，又，可得，所以就有，，即． 【详解】解：是等边三角形，是上的中线， ，平分； ； ， 又， ， ， ． 故答案为： 12．2千米 【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，解题的关键是理解题意． 根据题意证明，得出千米，再根据直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴（千米）， ∵， ∴（千米）． 故答案为：2千米． 13． 【分析】由作法得，，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再计算出，然后计算即可． 【详解】解：由作法得，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 14． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形的外角的性质；延长交于点，证明进而得出，根据三角形的外角的性质可得，证明是等边三角形，则，进而根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵ ∴， ∵是的角平分线， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴是等边三角形，则 ∴ 故答案为： 15．9 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，含角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 作点D关于直线的对称点F，过F作于E，交于P，则此时的值最小，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作点D关于直线的对称点F，过F作于E，交于P， 则此时的值最小， ，， ， ， 点D关于直线的对称点F， ， ， ， ， 故答案为：9． 16．或 【分析】本题主要考查坐标与图形，解答本题的关键在于构造合适的辅助线，熟练掌握等腰直角三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 要明确只能为直角边作出等腰直角三角形，如图，过点作，使得，过点作已知直线的垂线交于点，过点作轴，过点作已知直线的垂线交于点．证明，，即可求解． 【详解】解：∵点，点， 又∵， ∴只能为直角边． 如图，过点作，使得， 过点作已知直线的垂线交于点，过点作轴，   为等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ， ， ， 同理，过点作已知直线的垂线交于点．同理可证， ，， ， ， 故答案为：或． 17． 【分析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 先求出点A，B的坐标，判定出，则，，求解出点坐标，再根据三角形面积即可求解； 【详解】解：过点C作轴交轴于点，如图； 一次函数与轴交于点，与轴交于点， 当时，，当时，， ，， ，， ， 等腰直角三角形以为腰； ，， ， 则，， ， 点， 则； 故答案为： 18． 【分析】本题考查点的规律的相关知识，等边三角形的判定及性质，30度直角三角形的性质，解题关键是把点的横坐标的用底数为的幂表示出来．分别求出的横坐标，总结规律，进而得到的横坐标即可． 【详解】解：延长交轴于点，交轴于点，作轴于点， ∵轴，，轴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ， ∴点的横坐标为：． ∴点的横坐标为：． 故答案为：． 19．(1)为等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合为等边三角形，以及平行线的性质得，，即可证明为等边三角形，进行作答． （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质得，再由等角对等边，得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：为等边三角形， 理由如下： 为等边三角形， ， ，， ，， 为等边三角形； （2）解：平分，， ，， ， ， 同理， 的周长． 20．2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，找出全等三角形是解题关键．证明，得到，，进而得出，由等角对等边，得到，即可求出的长． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 21．(1)见解析 (2)7.5 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据三线合一性质得到，然后推出，然后利用三角形外角的性质和等边对等角得到，得到，然后利用三线合一证明即可； （2）首先根据等边三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形，是中线， ， 又， ， ，而， ， ， ， ， ， ． （2）解：为等边三角形， ， 又， ， ． 22．(1)，； (2)点P的坐标为或； (3)存在，或4或3 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识， （1）把代入求得点A的坐标，把代入求得点的坐标即可； （2）过点作轴，垂足为，由的面积为6，求的长度，从而得到点的坐标； （3）由条件分，，，再通过全等三角形的判定和性质求出边的长度，从而得到的值； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：把代入，解得， 点的坐标为， 把代入，解得， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴，垂足为E， 的面积为6， ，即， 解得， 点，, 点的坐标为或； （3）解：存在以为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下， ①当时，如图，过点C作轴，垂足为M，交直线l于点N， 轴，直线轴， 直线， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ②当时，如图，过点C作轴，垂足为M，过点Q作轴，垂足为N， 同理可证， ，， ， ， 当时，如图，过点作直线，垂足为，过点作直线，垂足为， 同理可证， ，， 设， ，， ， ， ，解得， ， 综上所述，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，或4或3． 23．(1)证明见解析 (2) (3)10 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的判定即可得证； （2）连接，交于点，设，先根据等腰三角形的性质可得的度数，从而可得的度数，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据求解即可得； （3）连接，在取一点，使得，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，设，则，，根据含30度角的直角三角形的性质可得，建立方程求出的值，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，交于点， 设． ∵，， ∴， ， ∴， ∵，平分， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，在取一点，使得， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键． 23.【答案】（1）是等腰直角三角形，理由见解析（2）点C的坐标是或或 【分析】（1）证，得，再证，即可得出结论； （2）分三种情况，构造全等三角形，由全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下： 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）分三种情况： 时，， 如图3，过C作轴于D，过B作轴于E，则：，     ∴， ∴， ， ， ， ∵， ， ， ； 时，， 如图4，过B作轴于E，过C作轴于G，作于F，    则， 同①得：， ， ， ， ； 时，， 如图5，过B作轴于E，过C作轴于D，过B作于F，过A作于G，    则， 同①得：， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，点C的坐标是或或 【点睛】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定和性质、以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 24．(1)图见解析；，(2)(3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）按要求补全图形，由已知易得，从而可，再利用同角（或等角）的余角相等，对顶角相等证明，即可得出； （2）过点作交延长线于点，先利用等腰三角形的性质和判定证明，再利用同角或等角的余角相等倒角证明证明得到，即可证明； （3）过点作交延长线于点，类似（2）的过程即可证明. 【详解】（1）如图，结论： 证明：∵为等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）结论：， 证明：过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴ ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）结论： 证明：过点作交延长线于点， 同理（1）可得：，， 同理（2）可得，，， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴，即， ∴ ∴， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$