专题6.3 向量的数量积【七大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.3 向量的数量积【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 向量数量积的计算】 3 【题型2 求投影向量】 3 【题型3 向量夹角（夹角余弦值）的计算】 4 【题型4 垂直关系的向量表示】 4 【题型5 求向量的模】 5 【题型6 已知模求参数】 6 【题型7 向量数量积的几何应用】 6 【知识点1 向量的数量积】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 【题型1 向量数量积的计算】 【例1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·河南周口·阶段练习）设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 【变式1-2】（23-24高一下·河南漯河·期末）已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 求投影向量】 【例2】（23-24高一下·河南漯河·阶段练习）已知，且满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型3 向量夹角（夹角余弦值）的计算】 【例3】（23-24高一下·四川眉山·期末）向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·河南新乡·期末）已知平面向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·湖北·期末）已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 垂直关系的向量表示】 【例4】（23-24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）在四边形中，若，且，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰形 【变式4-2】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知向量，满足，，. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与垂直，求实数的值. 【变式4-3】（23-24高一下·云南·阶段练习）如图，在中，，点分别是的中点．设． (1)用表示； (2)如果，用向量方法证明：． 【题型5 求向量的模】 【例5】（23-24高一下·河南开封·期末）已知，，且与的夹角，则（    ） A．13 B． C．37 D． 【变式5-1】（23-24高一下·福建宁德·期末）若平面向量两两的夹角相等，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5-2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）在中，，，，（），则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【变式5-3】（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（    ） A．2 B． C． D．6 【题型6 已知模求参数】 【例6】（2024高三·全国·专题练习）若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（    ） A． B．－ C． D．－ 【变式6-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式6-3】（23-24高一·安徽·期末）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 向量数量积的几何应用】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-1】（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【变式7-3】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点. (1)求向量与向量的夹角； (2)若O是线段上任意一点，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3 向量的数量积【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 向量数量积的计算】 3 【题型2 求投影向量】 4 【题型3 向量夹角（夹角余弦值）的计算】 6 【题型4 垂直关系的向量表示】 7 【题型5 求向量的模】 9 【题型6 已知模求参数】 11 【题型7 向量数量积的几何应用】 13 【知识点1 向量的数量积】 1．向量的数量积 (1)向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功W=||||，其中是与的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量. (2)向量的夹角 已知两个非零向量,，如图所示，O是平面上的任意一点，作=，=，则∠AOB= (0≤≤ π)叫做向量与的夹角，也常用表示. (3)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量||||叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即=||||. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0=0. (4)向量的投影 如图，设，是两个非零向量，=，=，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B， 分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①==. ②=0. ③当与同向时，=；当与反向时，=-. 特别地，==或=. ④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立. ⑤=. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量，，和实数，有 ①交换律：=； ②数乘结合律：()= ()=()； ③分配律：(+)=+. 3．向量数量积的常用结论 (1)=； (2)； (3) ； (4) ； (5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等 号成立. 以上结论可作为公式使用. 4．向量数量积的两大应用 (1)夹角与垂直 根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)向量的模的求解方法： ①公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 【题型1 向量数量积的计算】 【例1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由条件根据数量积的定义求，再结合数量积的运算律求. 【解答过程】因为，，向量与的夹角为， 所以， 所以. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高一下·河南周口·阶段练习）设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 【解答过程】由数量积的定义以及运算律直接计算即可求解. 【解答过程】设与的夹角为，则， 又，，所以， 所以． 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·河南漯河·期末）已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据向量的数量积运算律运算即可. 【解答过程】由题得， 所以. 故选：A. 【变式1-3】（23-24高一下·江苏连云港·期末）已知点A，B，C均位于单位圆（圆心为O，半径为1）上，且的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】设为圆心，由，可得，利用，计算可求最大值. 【解答过程】设为圆心，则，因为， 所以，所以， 所以 ， 因为，所以. 故选：C. 【题型2 求投影向量】 【例2】（23-24高一下·河南漯河·阶段练习）已知，且满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】运用投影向量的概念，结合数量积运算计算即可. 【解答过程】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 【变式2-1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【解答过程】以为基底向量表示，根据数量积结合投影向量的定义运算求解. 【解答过程】由题意可知：，，， 且， 则， ， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据已知条件利用模的平方求出数量积，再结合投影向量的定义即可求解. 【解答过程】由已知，且， 则， 解得， 故在上的投影向量是＝. 故选：B. 【变式2-3】（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】直接利用投影向量的计算公式进行计算即可. 【解答过程】由题意知，在上的投影向量为： . 故选：C. 【题型3 向量夹角（夹角余弦值）的计算】 【例3】（23-24高一下·四川眉山·期末）向量，满足，，，则向量，的夹角是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据平面向量数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【解答过程】由两边平方得，即， 所以，又，所以. 故选：A. 【变式3-1】（23-24高一下·河南新乡·期末）已知平面向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】对两边平方可得，再由向量的夹角公式计算可得答案. 【解答过程】因为， 因为，， 所以，. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】计算出，，，计算出，得到答案. 【解答过程】 ， 其中，故， ，故， 所以， 所以与夹角为. 故选：C. 【变式3-3】（23-24高一下·湖北·期末）已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解. 【解答过程】因为 ， ，， 又与的夹角为， 所以，即， 解得：. 故选：D. 【题型4 垂直关系的向量表示】 【例4】（23-24高一下·山东·期中）已知非零向量，满足，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【解答过程】利用平面向量数量积公式计算即可. 【解答过程】由题意知， 由知. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）在四边形中，若，且，则该四边形一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰形 【解答过程】由，可得∥，，再由可得，从而可判断出四边形的形状. 【解答过程】因为四边形中，， 所以∥，， 所以四边形为平行四边形， 因为，所以，所以， 所以四边形为矩形. 故选：B. 【变式4-2】（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知向量，满足，，. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与垂直，求实数的值. 【解答过程】（1）求出，再利用投影向量的意义求解即得. （2）利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解即得. 【解答过程】（1）， 所以在上的投影向量为. （2）由向量与垂直，得， 整理得，即， 所以. 【变式4-3】（23-24高一下·云南·阶段练习）如图，在中，，点分别是的中点．设． (1)用表示； (2)如果，用向量方法证明：． 【解答过程】（1）根据，结合平面向量基本定理求解即可； （2）根据平面向量数量积运算计算即可. 【解答过程】（1）如图，由，可得． 又点E，F分别是AC，BC的中点， 则， ． （2）由，，可得，， 则， ， 故． 【题型5 求向量的模】 【例5】（23-24高一下·河南开封·期末）已知，，且与的夹角，则（    ） A．13 B． C．37 D． 【解答过程】根据数量积的定义求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【解答过程】因为，，且与的夹角， 所以， 所以. 故选：D. 【变式5-1】（23-24高一下·福建宁德·期末）若平面向量两两的夹角相等，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【解答过程】依题意可得，两两的夹角为或，按照此两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得出结果. 【解答过程】因为平面向量两两的夹角相等， 所以平面向量两两的夹角为或， 又因为 当夹角为时，即向量同向，则； 当夹角为时，即， ， ， 则. 综上所述，等于或. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）在中，，，，（），则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【解答过程】先求，利用向量的运算法则展开后，可以转化为关于的函数，利用函数的观点即可求最小值. 【解答过程】因为 所以 又因为，，， 所以 所以 当时，，即， 故选：B. 【变式5-3】（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（    ） A．2 B． C． D．6 【解答过程】首先由数量积的定义求出，再由平面向量线性运算法则得到，最后根据及数量积的运算律计算可得. 【解答过程】因为向量，的夹角为，，， 所以， 又因为 ， 所以 . 故选：A. 【题型6 已知模求参数】 【例6】（2024高三·全国·专题练习）若单位向量，的夹角为，向量（），且 ，则（    ） A． B．－ C． D．－ 【解答过程】根据，利用向量数量积的计算公式，展开计算求的值. 【解答过程】由题意可得：， ， 化简得，解得. 故选：B. 【变式6-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，的夹角为，，则实数（    ） A． B．1 C． D． 【解答过程】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案. 【解答过程】因为，所以， 即，解得. 故选：A. 【变式6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【解答过程】先由题意结合向量垂直的表示得，再由题设两边平方计算即可得解. 【解答过程】由于与垂直， 所以 ，所以. 又由①，两边平方并化简得， 即，故，即或（不满足①，舍去）， 所以的值为. 故选：D. 【变式6-3】（23-24高一·安徽·期末）设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由题意，非零向量的夹角为，且， 则， 不等式对任意恒成立， 所以，即， 整理得恒成立， 因为，所以，即，可得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【题型7 向量数量积的几何应用】 【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答过程】根据，结合正六边形的性质求解的范围即可. 【解答过程】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D. 【变式7-1】（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】取中点，连接，求出的取值范围，再根据 结合数量积的运算律求解即可. 【解答过程】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B. 【变式7-2】（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【解答过程】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果； （2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果. 【解答过程】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以， 所以 ， 所以 . （2）因为，所以， 因为 ， 所以 ， 所以当时，取得最小值. 【变式7-3】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在边长为2的等边三角形中，D是的中点. (1)求向量与向量的夹角； (2)若O是线段上任意一点，求的最小值. 【解答过程】（1）根据平面向量的夹角公式计算可得结果； （2）将表示为的函数，再根据二次函数知识可求出结果. 【解答过程】（1）由题意可得，， ， . 因为， 故向量与向量的夹角为. （2） . 当时，取得最小值，且最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$