第03讲 二次根式的运算（4大知识点+14大考点+过关测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

第03讲 二次根式的运算（4大知识点+14大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握二次根式的乘除法； 2．掌握二次根式的加减法； 3．掌握最简二次根式与同类二次根式。 知识点1. 二次根式的乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 特别提醒： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 知识点2.二次根式的加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 特别提醒： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 知识点3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 特别提醒：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 知识点4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别提醒：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 考点一：二次根式的乘法 例1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可 ． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1-1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，二次根式，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用平方差公式直接计算． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式1-2】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式乘法运算，由二次根式乘法运算法则求解即可得到答案，熟记二次根式乘法运算公式是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】计算∶ ． 【答案】6 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：； 故答案为： 【变式1-4】计算：． 【答案】5 【分析】按照分配律进行二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟记二次根式的乘法的运算法则是解本题的关键． 考点二：二次根式的除法 例2.计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的除法运算法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式2-1】计算÷的结果是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的除法运算法则即可求出答案． 根据二次根式的除法运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 故答案为：2． 【变式2-2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法运算法则解题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-3】 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算．直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-4】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键． 考点三：二次根式的乘除混合运算 例3.计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序． 【变式3-1】计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根数的混合运算，掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式混合运算法则计算即可； 【详解】解： 故选：B 【变式3-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则． 根据二次根式的乘除法则进行计算，然后化简二次根式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3-3】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，根据法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3-4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)27； (2)． 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可； 【详解】（1） ； （2） ． 考点四：最简二次根式的判断 例4.下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式．对原式进行化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、是最简二次根式，本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意， 故选：D． 【变式4-2】二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【答案】、 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：、是最简二次根式， 被开方数含有分母，被开方数含有能开得尽方的因式，都不是最简二次根式． 故答案为：、． 【变式4-3】下列二次根式中：①；②；③；④，是最简二次根式的是 （填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了最简二次根式及分母有理化，根据最简二次根式的定义及分母有理化逐一判断即可求解，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②是最简二次根式； ③是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 故答案为：②③． 【变式4-4】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 考点五：化为最简二次根式 例5.将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件找出隐含条件，即，再根据对原式进行化简即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 即：， 解得：， 原式， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，不等式的性质，解一元一次不等式，化为最简二次根式等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键． 【变式5-1】设实数，则x的整数部分为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，判定出无理数在某两个连续整数之间是解题的关键． 估算出，即可得出的整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3， 故选：B． 【变式5-2】将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 【详解】解：和是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 故答案为：，． 【变式5-3】已知，，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 【变式5-4】下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是，； (2)是； (3)不是，． 【分析】本题考查最简二次根式的定义．解决此题的关键，是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． （1）含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，然后化简即可； （2）根据定义判断是最简二次根式； （3）被开方数中含有分母，不是最简二次根式，化简即可． 【详解】（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，； （2），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式． （3），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式， ． 考点六：已知最简二次根式求参数 例6.与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 【变式6-1】已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 【变式6-2】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴不能开方，不含分母， ∴的值可以为2，此时； 故答案为：10（答案不唯一）． 【变式6-3】写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 【变式6-4】已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 考点七：同类二次根式 例7.下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，将各式化成最简二次根式，被开方数相同的即可以合并，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴能与合并的是， 故选：． 【变式7-1】下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与不是同类二次根式，符合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 故选：． 【变式7-2】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，根据同类二次根式的定义（　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．）进行解题即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式7-3】若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得，因为与最简二次根式可以合并，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式7-4】已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式： （1）被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，据此得到，则； （2）根据（1）所求得到，据此化简二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 考点八：二次根式的加减运算 例8.下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的除法运算，掌握以上知识是解题关键． 由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D． 【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、正确，该选项符合题意； D、，原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式8-2】计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的减法运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是掌握以上运算法则． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式8-3】计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法，关键是利用二次根式的性质化为最简二次根式；先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式8-4】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 利用二次根式的性质先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 考点九：二次根式的混合运算 例9.下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的运算法则计算各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A. ，计算错误，故不符合题意； B. ，计算错误，故不符合题意； C. ，计算正确，故符合题意； D. ，计算错误，故不符合题意； 故选：C． 【变式9-1】化简得（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先利用二次根式的性质化简第一项，然后按照二次根式的混合运算法则进行计算，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故选：． 【变式9-2】计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方差公式，熟练运用平方差公式是解题的关键． 运用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为： ． 【变式9-3】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，逆用积的乘方公式是解题的关键．逆用积的乘方公式进行化简，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 【变式9-4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式的减法运算，以及二次根式的混合运算，解题的关键在于掌握相关运算法则． （1）利用二次根式性质化简各项，再利用二次根式的减法运算法则计算，即可解题； （2）利用二次根式性质化简各项，再根据先乘除，后加减，有括号的先算括号的运算顺序计算，即可解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点十：分母有理化 例10.化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，先根据二次根式的性质化简，然后分母有理化即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式10-1】如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分母有理数化，先把分母有理数化即可得出答案. 【详解】解：。 ∵， ∴， 故选：B. 【变式10-2】分母有理化： ； 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的分母有理化．利用了平方差公式分母有理化即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式10-3】分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，分子分母同时乘以，然后化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式10-4】阅读材料： 黑白双堆，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如，．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题： (1)的有理化因式可以是_____________，分母有理化得_____________． (2)①已知，，求的值． ②求的值． 【答案】(1)，； (2)①，② 【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可； （2）①将与分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果． ②原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式可以是， ， 故答案为：，； （2）解：依题意，①， ， 则 ． ②依题意， ． 考点十一：已知字母的值化简求值 例11.若，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x的值直接代入计算．先将代数式变形为，再代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式11-1】已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先将分解因式为，再把x，y值代入计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ . 故选：A． 【变式11-2】已知，，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，先根据完全平方公式将原式整理成，再代入求解即可． 【详解】解： 故答案为：10． 【变式11-3】已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据完全平方公式把所求式子变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【变式11-4】计算：已知：，，求． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则． 先根据二次根式的运算法则求出和的值，再把变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 考点十二：已知条件式化简求值 例12.已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 【变式12-1】已知，则的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】C 【分析】根据非负性求出x、y的值，代入求解即可． 【详解】解：∵（x﹣1）2+＝0， ∴x﹣1＝0，y+4＝0， 解得：x＝1，y＝﹣4， ∴＝＝＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查二次方根的求值、偶次方和算术平方根的非负性、解一元一次方程，熟知偶次方和算术平方根的非负性是解答的关键． 【变式12-2】已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．利用平方差公式把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】已知，则 ． 【答案】7 【分析】对已知等式两边平方，展开计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，分式的运算，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【变式12-4】已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为正数数， ∴ ． 考点十三：比较二次根式的大小 例13.比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解：， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 【变式13-1】已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2021×2023-2021×2022 =2021（2023-2022） =2021； ∵20242-4×2023 =（2023+1）2-4×2023 =20232+2×2023+1-4×2023 =20232-2×2023+1 =（2023-1）2 =20222， ∴b=2022； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 【变式13-2】比较大小： （请用<， >或=填空） 【答案】> 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，根据得出，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， 故答案为：>． 【变式13-3】比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，第一空直接根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可；第二空两数平方，平方大的数大；第三空利用作差法求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ，由于，则， ∴ 故答案为：；；． 【变式13-4】比较与的大小． 【答案】 【详解】． 因为， 所以，即． 考点十四：二次根式的应用 例14.一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为（   ） A．42 B．27 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．先根据2个正方形的面积求出两个正方形的边长，再分别求出长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， 剩余木板的面积为：． 故选：C． 【变式14-1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 【变式14-2】如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示：由题意可得：， ， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 【变式14-3】小明同学从一张面积为的正方形I中剪出一个面积为的小正方形II，并按如图所示摆放，其中，，三点共线，线段 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，掌握正方形的性质是解题的关键．先求出，，由勾股定理可求解． 【详解】解：由题意，得：，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式14-4】如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 【答案】(1) (2)585千克 【分析】本题考查二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据长方形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由大长方形的面积减去养鸡场的面积得到种植蔬菜的面积，进而乘以每平方米的产量即可求解． 【详解】（1）解：由题意，大长方形空地的周长为 ， 答：大长方形空地的周长为； （2）解：由题意，种植蔬菜的面积为 ， ∴（千克）， ∴张大伯种植蔬菜的总产量为585千克． 1．估计的值应在（   ）之间． A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，再算加减，然后再估算出的值的范围，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在到之间， 故选：C． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键； 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B 3．估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算二次根式的除法与乘法，然后计算二次根式的加法与减法，最后根据无理数的估算方法求解即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， 即估计的运算结果应在7到8之间， 故选：D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的相关运算，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类二次根式的法则，二次根式的乘除法法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 5．已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点．由题干中数据总结规律求得，再根据有理化因式计算即可． 【详解】解：第1个数据为， 第2个数据为， 第3个数据为， 第4个数据为， 则第10个数据为， ∴为， ∴与的积为有理数的是， 故选：D． 6．比较大小： ．（填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，掌握二次根式的性质是解题的关键．先把化成，再进行比较即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 7．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 8．已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值以及无理数整数部分的有关计算，先得即，从而求得，，代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵ ∴， ∴即， ∵、是分别是整数部分和小数部分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键． （1）根据材料进行分母有理化即可． （2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用，将代入中结合平方差公式进行运算，即可解题． 【详解】解：第2个数，当时， ， 故答案为：1． 11．（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，绝对值，二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可； （3）根据（2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：， （2）．； 故答案为：， （3）原式 ． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算． （1）利用二次根式性质先化简，先计算二次根式的除法，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式先化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： (1)填空： ； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； (3)延伸拓展：直接判断与的大小． 【答案】(1) (2)①为直角三角形，见解析，② (3) 【分析】（1）利用完全平方公式求解即可； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据三角形三边关系进行判断即可． （3）将，两个式子分别平方后，再进行比较． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； ②三角形任意两边之和大于第三边， ． （3）解：，， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． 14．石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】(1)米 (2)1400元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解： （米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元． 15．南昌某中学八年级数学兴趣小组的小亮同学研究了这样一道在二次根式分母有理化中的问题： 已知，他是这样分析与解答的： ； 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，分子分母同乘以有理化因式是解题的关键． （1）分子分母分别乘以，，即得答案； （2）根据（1）的方法，分别化简，，，，，即得答案． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）解： ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的运算（4大知识点+14大考点+过关测） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握二次根式的乘除法； 2．掌握二次根式的加减法； 3．掌握最简二次根式与同类二次根式。 知识点1. 二次根式的乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 特别提醒： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 知识点2.二次根式的加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 特别提醒： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 知识点3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 特别提醒：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 知识点4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别提醒：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 考点一：二次根式的乘法 例1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】计算 ． 【变式1-3】计算∶ ． 【变式1-4】计算：． 考点二：二次根式的除法 例2.计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【变式2-1】计算÷的结果是（　　） A．4 B．2 C． D． 【变式2-2】计算的结果是 ． 【变式2-3】 ． 【变式2-4】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 考点三：二次根式的乘除混合运算 例3.计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【变式3-1】计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】计算： ． 【变式3-3】计算： ． 【变式3-4】计算： (1)； (2)． 考点四：最简二次根式的判断 例4.下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【变式4-3】下列二次根式中：①；②；③；④，是最简二次根式的是 （填序号）． 【变式4-4】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 考点五：化为最简二次根式 例5.将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】设实数，则x的整数部分为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 【变式5-3】已知，，化简 ． 【变式5-4】下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 考点六：已知最简二次根式求参数 例6.与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【变式6-1】已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【变式6-2】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【变式6-3】写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【变式6-4】已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 考点七：同类二次根式 例7.下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式7-3】若与最简二次根式可以合并，则 ． 【变式7-4】已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 考点八：二次根式的加减运算 例8.下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】计算： ． 【变式8-3】计算：= ． 【变式8-4】计算：． 考点九：二次根式的混合运算 例9.下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】化简得（    ） A． B． C．2 D． 【变式9-2】计算的结果等于 ． 【变式9-3】计算： ． 【变式9-4】计算： (1)； (2)． 考点十：分母有理化 例10.化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】分母有理化： ； 【变式10-3】分母有理化： ． 【变式10-4】阅读材料： 黑白双堆，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解，如，．像这样，通过分子、分母同乘同一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化． 解决问题： (1)的有理化因式可以是_____________，分母有理化得_____________． (2)①已知，，求的值． ②求的值． 考点十一：已知字母的值化简求值 例11.若，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【变式11-1】已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】已知，，则 ． 【变式11-3】已知，则的值为 ． 【变式11-4】计算：已知：，，求． 考点十二：已知条件式化简求值 例12.已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】已知，则的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【变式12-2】已知，，则代数式的值是 ． 【变式12-3】已知，则 ． 【变式12-4】已知，求的值． 考点十三：比较二次根式的大小 例13.比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式13-1】已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【变式13-2】比较大小： （请用<， >或=填空） 【变式13-3】比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 【变式13-4】比较与的大小． 考点十四：二次根式的应用 例14.一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为（   ） A．42 B．27 C．12 D．10 【变式14-1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ． 【变式14-3】小明同学从一张面积为的正方形I中剪出一个面积为的小正方形II，并按如图所示摆放，其中，，三点共线，线段 ． 【变式14-4】如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 1．估计的值应在（   ）之间． A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 6．比较大小： ．（填“”、“”、“”）． 7．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 8．已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 9．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 10．阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ． 11．（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 12．计算： (1) (2) 13．阅读与思考∶请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： (1)填空： ； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； (3)延伸拓展：直接判断与的大小． 14．石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 15．南昌某中学八年级数学兴趣小组的小亮同学研究了这样一道在二次根式分母有理化中的问题： 已知，他是这样分析与解答的： ； 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$