第09讲 菱形的性质与判定（3个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

第09讲 菱形的性质与判定（3个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 利用菱形的性质求角度 题型二 利用菱形的性质求线段长 题型三 利用菱形的性质求面积 题型四 利用菱形的性质证明 题型五 添一个条件使四边形是菱形 题型六 证明四边形是菱形 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 知识点01： 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02： 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点03：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【核心考点一 利用菱形的性质求角度】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【例2】 （23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（    ） A．3 B．4 C． D． 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在菱形中，，点E为对角线上一点，且，连接，则的度数为 ． 【例4】（2024·广东·模拟预测）如图所示，在菱形中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点Q．若，则 ． 【例5】（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，点E是菱形ABCD的边BC延长线上一点，AC是对角线，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度数． 【例6】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，是菱形的对角线，． (1)请用尺规作图法，在上找点；使(不要求写作法，保留作图痕迹)； (2)在（1）条件下，连接，求的度数． 【核心考点二 利用菱形的性质求线段长】 【例1】（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在菱形中，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在菱形中，，．点为边中点，连接，过点作，且，连接，则四边形的面积为(   ) A． B． C． D．18 【例3】（23-24八年级下·辽宁锦州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，点在轴上，在平面直角坐标系内存在点，使、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ． 【例4】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，菱形的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为，顶点B的坐标为 ． 【例5】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）有一块三角形的铁片． 求作：以为一个内角的菱形，使其余三个顶点在的三条边上． 【例6】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，菱形的对角线与交于点，于点，交于点，于点． (1)判断四边形的形状，并写出证明过程． (2)若，，则的长为 ． 【核心考点三 利用菱形的性质求面积】 【例1】（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（   ） A．48 B．32 C．12 D．24 【例2】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线与相交于，菱形的周长是，．则菱形的高的长为 ．    【例4】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【例5】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，若，．求菱形的面积．                                                           【例6】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【核心考点四 利用菱形的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·贵州毕节·期中）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．若，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形是矩形，那么这个条件可以是（） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，是菱形的一条对角线，若，则 度． 【例4】（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，平移到的位置，且点在边的延长线上，连接，若，那么在以下四个结论：①四边形是平行四边形；②四边形是菱形；③；④平分，正确的有 ． 【例5】（24-25八年级下·河南焦作·期中）规定：一组邻边相等，另两边也相等的四边形叫筝形． 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且，求证：四边形为筝形． 【例6】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，菱形中，点E，F分别是，边上的点，．求证：． 【核心考点五 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，将沿方向平移得到，连接，下列条件能够判定四边形为菱形的是（   ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 【例5】（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，点，分别是的边，的中点，，交的延长线于点，连接，．当与满足什么条件时，四边形是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明． 【例6】（24-25八年级下·江苏南通·开学考试）已知：如图，在中，点、在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，四边形应满足什么条件？（不需要说明理由） 【核心考点六 证明四边形是菱形】 【例1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出________，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（   ） A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如下图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D．   【例3】（23-24八年级下·广西梧州·阶段练习）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，如果直尺的宽度是2，两把直尺所夹的锐角为，那么这个四边形的周长为 ． 【例4】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点是的中点，点，分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③．从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是 (只填写序号)． 【例5】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，求证：四边形是菱形． 【例6】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 【核心考点七 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（2024·四川自贡·模拟预测）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，等边的边长为，将向右平移到的位置，连接，，则的长为 ． 【例4】（2024·河北唐山·一模）如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为 °． 【例5】（2024·陕西商洛·三模）如图，在锐角中，为边上的一点，且满是，请用尺规作图法，在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【例6】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图所示，四边形是矩形，过其两对角线的交点且与、的延长线分别交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，那么四边形能是菱形吗？若能，请求出此时的大小；若不能，请说明理由． 【核心考点八 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（23-24八年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图，点O既是的中点，又是的中点，且，连接，，，．若，则四边形的周长是（   ） A．6 B．8 C．10 D．不能确定 【例2】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B、F为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（    ） A．平分 B．是等边三角形 C． D． 【例3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 ． 【例4】（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ． 【例5】（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小． 【例6】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【核心考点九 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（　　） A．6 B． C． D．12 【例2】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，，以点为圆心，为半径画弧交，于点，；分别以点，为圆心大于为半径画弧，两弧交于点；以点为顶点作，射线与交于点，连接；则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·福建龙岩·期中）如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．则菱形的面积为 ．    【例4】（2024·福建福州·二模）如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，O为矩形的对角线的交点，过O作分别交、于点F、E，若，，求四边形的面积． 【例6】（23-24八年级下·吉林·期末）如图是某数学教材中的部分内容． 平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图  的对角线和相交于点． 求证：；．   观察图形，与、与分别属于哪两个三角形？    (1)请根据教材中的分析和图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质定理的证明过程； (2)如图②，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形； (3)如图②，若，的周长是，的周长是，且比的长多，比的长多，则四边形的面积是________． 【变式训练1 利用菱形的性质求角度】 1．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为（    ）      A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，菱形中，连接，若，则的度数为 ．    4．（23-24八年级下·山西临汾·期末）“福”字象征着中华民族的历史文化与精神．如图①是小红家大门上的“福”字，如图②是抽离出来的菱形，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是 ． 5．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，四边形中，，平分，交于．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是的中点，试判断的形状，并说明理由． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1 cm/s．图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图像． (1)AB = cm，a = ； (2)P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为； (3)在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练2 利用菱形的性质求线段长】 1．（23-24八年级下·吉林白山·期中）若菱形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东河源·阶段练习）如图，菱形中，，则以为边长的正方形的周长为（　　）    A．12 B．16 C．20 D．24 3．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）菱形的一边长为，则这个菱形的周长为 ． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点C在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是 ． 5．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）用圆规、直尺作图，保留作图痕迹．已知，求作一个以C点为顶点的菱形，并使两邻边在、上．    6．（23-24八年级下·陕西汉中·阶段练习）四边形是菱形，点是两条对角线的交点，，，求两条对角线和的长．    【变式训练3 利用菱形的性质求面积】 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·江苏淮安·一模）如图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（　　） A．48 B．40 C．24 D．20 3．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知菱形的对角线，则菱形的面积为 ． 4．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积等于 ．    5．（2024·福建泉州·二模）如图，在菱形中，与相交于点，，已知，．    (1)求菱形的面积． (2)求的长． 6．（2024·浙江温州·三模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中以AB为对角线画一个四边形ADBC，使得AB=CD． (2)在图2中以点E为顶点画一个菱形EFGH，使得． 【变式训练4 利用菱形的性质证明】 1．（23-24八年级下·广东茂名·期末）菱形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）菱形对角线不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 3．（2024八年级下·全国·专题练习）菱形是 图形，它的 就是它的对称轴．它有 对称轴，两条对称轴互相垂直． 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是 ． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，在菱形中，点为对角线与的交点，且在中，，求菱形两对边之间的距离． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是菱形的对角线，为边上的点，过点作，交于点，交边于点．求证：． 【变式训练5 添一个条件使四边形是菱形】 1．（2024·陕西商洛·三模）在中，添加下列条件，能判定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 3．（2024·山东济宁·二模）菱形定义：一组 相等的平行四边形叫菱形． 4．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，要使平行四边形ABCD为菱形，还需添加的一个条件是 ．（写出一个即可）． 5．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，请你在图示的网格中，画出顶点在格点上，边长为的菱形ABCD，并说明这样画的道理． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，平分． （1）给出下列四个条件：①；②；③；④，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是______（填写一个序号即可）； （2）根据你所选择的条件，证明四边形是菱形． 【变式训练6 证明四边形是菱形】 1．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（    ） A．任选两个角，测量它们的角度 B．测量四条边的长度 C．测量两条对角线的长度 D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）△ABC中，延长BA至D使得AB=AD，延长CA至E使得AC=AE，当△ABC满足条件 时，四边形BCDE是菱形． 4．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的（如图所示）：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 形． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，在中，平分．求证：四边形是菱形． 6．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，在中，对角线相交于点，，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【变式训练7 根据菱形的性质与判定求角度】 1．（2024·河北唐山·二模）如图，在菱形中，相交于，，是线段上一点，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为 ．    4．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则∠AD'B= °．    5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）． （2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角 为 【变式训练8 根据菱形的性质与判定求线段长】 1．（23-24八年级下·甘肃白银·期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF＝（　　） A．50° B．40° C．30° D．15° 2．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点. 若，则点到边的距离为 . 4．（23-24八年级·四川·阶段练习）如图，O点是矩形ABCD的对角线的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ． 5．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）尺规作图，在三角形中，以点为顶点作菱形，使点、、分别在边、和上． 6．（23-24八年级下·广东湛江·期中）已知四边形ABCD为菱形，周长为32cm， ∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O． (1)求AC， BD的长 (2)求菱形ABCD的面积 【变式训练9 根据菱形的性质与判定求面积】 1．（23-24八年级下·江西鹰潭·期末）菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（    ） A．60cm2 B．120cm2 C．130cm2 D．240cm2 2．（2024·山西晋城·一模）如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏·周测）已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为 ． 4．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在的两边上分别截取，使；再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接．若，．则四边形的面积是 ． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 6．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点，，，点是延长线上一点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为3，B，D之间的距离为4，则线段的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 2．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，．则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，则线段和（   ） A．相等且互相平分 B．相等且互相垂直 C．互相平分且垂直 D．只是互相垂直 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将沿直线AE翻折，使点B落在上，连接，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为 ． 7．（2024·西藏·模拟预测）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形． 8．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则 ． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，分别是的中点，满足条件 时，四边形是菱形． 10．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 11．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 12．（2024·贵州·模拟预测）下面是多媒体上的一道试题： 如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形． 下面是两位同学的对话： (1)请你选择一位同学的说法，并证明； (2)若，求菱形的周长． 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）一张矩形纸片，将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点，折叠出四边形．  (1)求证：； (2)当时，四边形是菱形． 14．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知：如图，在平行四边形中，M，N分别是，的中点，，连接交于点O． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)过点C作 于点E， 交于点P， 若 ，求的长． 15．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． (1)求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：四边形是菱形． (3)在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 菱形的性质与判定（3个知识点+9大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 利用菱形的性质求角度 题型二 利用菱形的性质求线段长 题型三 利用菱形的性质求面积 题型四 利用菱形的性质证明 题型五 添一个条件使四边形是菱形 题型六 证明四边形是菱形 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 知识点01： 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02： 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点03：菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【核心考点一 利用菱形的性质求角度】 【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】B 【分析】本题查了菱形的性质，直角三角形的两个锐角互余．根据菱形的性质，可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线与相交于点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵，即， ∴． 故选：B 【例2】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质可得，，，由垂线的性质可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据可得，于是得解． 【详解】解：四边形是菱形，，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 是菱形的高， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，垂线的性质，勾股定理，利用菱形的性质求面积，等式的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质与菱形面积的计算方法是解题的关键． 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）在菱形中，，点E为对角线上一点，且，连接，则的度数为 ． 【答案】70 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据题意画出图形，由菱形的性质可求得的度数，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】解：如图，在菱形中，， 则； ∵， ∴； 故答案为：70． 【例4】（2024·广东·模拟预测）如图所示，在菱形中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点Q．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，作角平分线，由作图步骤可得平分，由菱形的性质求出的度数，最后根据三角形的外角求即可． 【详解】∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由作图步骤可得平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·江苏常州·期中）如图，点E是菱形ABCD的边BC延长线上一点，AC是对角线，∠BAC：∠ACE＝2：7，求∠B的度数． 【答案】 【分析】设，则，先根据菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据邻补角的定义可得，建立方程求出值，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：由题意，设，则， 四边形是菱形， ， ， 又， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 【例6】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，是菱形的对角线，． (1)请用尺规作图法，在上找点；使(不要求写作法，保留作图痕迹)； (2)在（1）条件下，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)30° 【分析】本题考查垂直平分线的画法和判定，菱形的性质等性质，掌握菱形的性质和垂直平分线的画法是解题的关键． （1）只需做的垂直平分线交于点F即可； （2）根据菱形的性质求出，继而求出，最后运用等边对等角即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∴，， ∴，     ∵， ∴． 【核心考点二 利用菱形的性质求线段长】 【例1】（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，在菱形中，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的定义，根据菱形的定义得，进而得，再根据三角形的内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴, ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在菱形中，，．点为边中点，连接，过点作，且，连接，则四边形的面积为(   ) A． B． C． D．18 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理；连接，，过作于，由菱形的性质推出，，，判定是等边三角形，得到，由勾股定理求出，得到的面积，于是的面积的面积，判定四边形是平行四边形，得到四边形的面积． 【详解】解：连接，，过作于， 四边形是菱形， ，，， 是等边三角形， ， ， ， 的面积， ， 的面积的面积， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积． 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·辽宁锦州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，点在轴上，在平面直角坐标系内存在点，使、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ． 【答案】或或或． 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系内求坐标， 根据题意画出图形，根据勾股定理求出，再以为边和对角线，结合菱形的性质求出坐标即可． 【详解】如图所示，根据题意可知， 根据勾股定理，得． 以为边，可得四边形，，是菱形， ∴点，，． 以为对角线，设边长，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴． 故答案为：或或或． 【例4】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，菱形的顶点C在x轴的正半轴上，顶点A的坐标为，顶点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点A作于点D，过点B作于点E，利用矩形的性质，菱形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点D，过点B作于点E， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴, ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）有一块三角形的铁片． 求作：以为一个内角的菱形，使其余三个顶点在的三条边上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，尺规作线段垂直平分线，先作的角平分线，交于点F，再作的垂直平分线，交于点E，交于点G，则四边形即为所求作． 【详解】解：如图所示． 【例6】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，菱形的对角线与交于点，于点，交于点，于点． (1)判断四边形的形状，并写出证明过程． (2)若，，则的长为 ． 【答案】(1)矩形，见解析 (2) 【分析】此题考查菱形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键． 根据菱形的性质和矩形的判定解答即可； 根据菱形的性质和矩形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 证明：，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是矩形， （2）如图，连接， 四边形是菱形， 垂直平分， ， 由知，四边形是矩形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． 故答案为：． 【核心考点三 利用菱形的性质求面积】 【例1】（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（   ） A．48 B．32 C．12 D．24 【答案】D 【分析】本题考查菱形面积的计算．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长为6和8， ∴菱形的面积为：． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质．直接根据菱形的面积公式计算即可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线相交于点O，， ∴这个菱形的面积是． 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线与相交于，菱形的周长是，．则菱形的高的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．首先利用勾股定理求得菱形的对角线，然后由菱形的两个面积计算方法求得边上的高的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，菱形的周长是，， ∴，，，， ∴在中，， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴菱形的面积． 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、相交于点O，若，．求菱形的面积． 【答案】24 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理求出，进而得出，最后根据菱形的面积求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，                 ∴，                     ∴．                                     ∴菱形的面积． 【例6】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，从而得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 【核心考点四 利用菱形的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·贵州毕节·期中）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．若，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键．根据勾股定理求出，得出，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故选A． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，如果添加一个条件，可推出平行四边形是矩形，那么这个条件可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了矩形与菱形的判定、平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的判定定理．根据对角线相等的平行四边形是矩形可得答案． 【详解】解：A、平行四边形中，，不能判定平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、平行四边形中，， 平行四边形是矩形，故选项B符合题意； C、平行四边形中，，能判定平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、平行四边形中，，不能判定平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，是菱形的一条对角线，若，则 度． 【答案】50 【分析】此题主要考查了菱形的性质、等腰的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握菱形的性质． 根据菱形的性质得，根据等边对等角和三角形的内角和公式即可求得的度数． 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：50． 【例4】（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，平移到的位置，且点在边的延长线上，连接，若，那么在以下四个结论：①四边形是平行四边形；②四边形是菱形；③；④平分，正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质，根据平移的性质可得，，据此根据平行四边形的判定定理，菱形的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∵平移到的位置， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴，平分，故④正确 ∵， ，故③正确； 故答案为：①②③④。 【例5】（24-25八年级下·河南焦作·期中）规定：一组邻边相等，另两边也相等的四边形叫筝形． 如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且，求证：四边形为筝形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的全等的判定和性质，先判断出，再得到，然后判断出即可． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为筝形． 【例6】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，菱形中，点E，F分别是，边上的点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．先证明，根据性质得出即可证明结论． 【详解】证明：在菱形中，， 又， ， ， ． 【核心考点五 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．根据矩形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； B．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意； C．添加，可判断平行四边形为矩形，符合题意； D．添加，可判断平行四边形为菱形，不符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，将沿方向平移得到，连接，下列条件能够判定四边形为菱形的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，首先根据平移的性质得出，得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，平行四边形是菱形． 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，可使平行四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 【答案】添加的条件为：（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解∶添加的条件为∶（答案不唯一） 证明∶∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【例5】（23-24八年级下·山东威海·期中）如图，点，分别是的边，的中点，，交的延长线于点，连接，．当与满足什么条件时，四边形是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的斜边中线性质，先证明，得出，结合，即可证明四边形是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； 【详解】解：． 理由如下： ，        ，． 点是的中点，． ． ． ， 四边形是平行四边形． ，点是的中点， ． 四边形是菱形． 【例6】（24-25八年级下·江苏南通·开学考试）已知：如图，在中，点、在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当四边形是菱形时，四边形应满足什么条件？（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定．注意掌握数形结合思想的应用． （1）由平行四边形的性质得出，，由证得，继而证得结论； （2）由菱形的判定定理容易得出结论． 【详解】（1）证明：连接交于，如图所示： 四边形是平行四边形， ∴，．，， ． 在和中，， ． ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：当四边形是菱形时，四边形应满足；理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【核心考点六 证明四边形是菱形】 【例1】（24-25八年级下·福建漳州·期中）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出________，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（   ） A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此可得答案． 【详解】解：∵甲测量出两组对边分别相等， ∴该地板砖是平行四边形， ∴当一组邻边相等时，该地板砖是菱形， ∴乙测量出一组邻边相等， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如下图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的数据，下列四边形不一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的定义和判定定理，勾股定理的逆定理，结合已知，先判定是否是平行四边形，再判定是否为菱形即可． 【详解】解：A：如图1，和交于点O     ∴四边形是平行四边形， ∵，     ， ∴是直角三角形，且， ∴，     ∴四边形是菱形， 故A不符合题意；     B：∵， ∴四边形是菱形， 故B不符合题意； C：∵， ，         ，     ∴四边形是平行四边形，     ∵， ， ∴四边形是菱形， 故C不符合题意； D：根据已知，四边形不一定是菱形， 故D符合题意， 故选∶D． 【例3】（23-24八年级下·广西梧州·阶段练习）如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，如果直尺的宽度是2，两把直尺所夹的锐角为，那么这个四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定，四边形的面积的计算，解题关键是学会添加常用辅助线，求出AE．由题意可知，，再证明，得出四边形是菱形，再根据，求出，即可求解． 【详解】解：过点A作于E，于F， 两把完全一样的直尺叠放在一起，直尺的宽度是2， ∴，，， 四边形是平行四边形， 又平行四边形的面积， 平行四边形是菱形， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， 这个四边形的周长为， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点是的中点，点，分别在线段及其延长线上，且，给出下列条件：①；②；③．从中选择一个条件使四边形是菱形，你认为这个条件是 (只填写序号)． 【答案】③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据菱形及平行四边形的判定即可判断添加③，不可添加①②． 【详解】解：需添加条件③，理由： ∵点是的中点， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵，是的中点， ∴． ∴平行四边形为菱形． 添加①②无法判定四边形为菱形， 故答案为：③． 【例5】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△中，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了菱形的判定．菱形的判定定理有：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形． 首先根据等腰三角形的三线合一定理可证且，再根据可证四边形是菱形． 【详解】证明：在中，平分， ，， 又， 故四边形是菱形． 【例6】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查菱形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．根据线段垂直平分线的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和菱形的判定解答即可． 【详解】证明：垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， ， 是菱形． 【核心考点七 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（2024·四川自贡·模拟预测）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 故选：A． 【例2】（2024·湖北武汉·模拟预测）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，等边的边长为，将向右平移到的位置，连接，，则的长为 ． 【答案】 【分析】证明四边形是菱形，进而求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：等边的边长为，将向右平移到的位置， cm，, 四边形是菱形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，求得是解题的关键． 【例4】（2024·河北唐山·一模）如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的对角线平分一组对角且菱形的对角相等是解题的关键；先根据作图方法证明四边形ABCD是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的对角相等进行求解即可； 【详解】解：由作图方法可知，， ∴四边形是菱形， ， ， 故答案为：30． 【例5】（2024·陕西商洛·三模）如图，在锐角中，为边上的一点，且满是，请用尺规作图法，在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】分别以为圆心，长为半径作弧交于点F，连接,交于点，则，点即为所作． 【详解】解：如图，点即为所求．    理由：根据作法得：， ∴四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握已知线段的垂直平分线的作法，菱形的判定和性质是解题的关键． 【例6】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图所示，四边形是矩形，过其两对角线的交点且与、的延长线分别交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，那么四边形能是菱形吗？若能，请求出此时的大小；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）能， 【分析】（1）根据四边形是矩形，可得，即可得，，根据题意，点是矩形对角线的交点，则，进而证明，可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求得，进而求得，根据菱形的性质即可求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得，进而求得的长． 【详解】（1）连接，如图， 四边形是矩形， ， ， 点是矩形对角线的交点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形能是菱形， 连接，如图， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 若四边形是菱形， 则， ， ， ， 当时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质的与判定，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，运用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【核心考点八 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（23-24八年级下·内蒙古包头·阶段练习）如图，点O既是的中点，又是的中点，且，连接，，，．若，则四边形的周长是（   ） A．6 B．8 C．10 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定以及性质，先证明四边形是平行四边形，再由，可得出四边形是菱形，再根据菱形的性质可得出，进而得出菱形的周长． 【详解】解：∵点O既是的中点，又是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴ ∴四边形的周长是， 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B、F为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（    ） A．平分 B．是等边三角形 C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知，平分，证明四边形是菱形，可得结论．本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知， 则平分，故A选项正确， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，故D选项正确， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，故C选项正确． 无法判断是等边三角形， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，，则，两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，根据题意可证明四边形是菱形，则，再证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ． 【答案】10 【分析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故答案为：10． 【例5】（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是利用这些性质和判定解决问题． （1）由题意可得四边形是平行四边形，由平分，可得，则结论可得 （2）连接交于点；则于点．由题意可得，，，可得的长即可求的长． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，即 ， ， ∴四边形为平行四边形， 平分， ， ∵， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点，    ∵四边形为菱形， ∴，， ，， ， ∵菱形的周长为， ， 在中， ， 由勾股定理可得：， ． 【例6】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据已知条件且结合勾股定理得到，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴ ∴ 平分， ∴ ∴ 四边形是菱形； （2）解：在菱形中，，， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 【核心考点九 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的边长为4， ，则菱形的面积为（　　） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质定理应用，由于本题存在特殊角度，故而需根据其特殊形结合菱形的性质求解出菱形的面积．关键在于对菱形的性质定理的熟练掌握并对特殊角度准确利用． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵菱形的边长为4，即， ∴在中，， ∴， ∴菱形的面积是． 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，，以点为圆心，为半径画弧交，于点，；分别以点，为圆心大于为半径画弧，两弧交于点；以点为顶点作，射线与交于点，连接；则四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得是的角平分线，可判定四边形是菱形，如图所示，过点作于点，可求出的长，根据即可求解． 【详解】解：根据作图可知，是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形， 如图所示，过点作于点，    ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∴在中，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，菱形的判定和菱形的综合，勾股定理，含30度直角三角形的性质，掌握角平分线画法，菱形的判定方法，几何图形面积的计算方法等知识的综合是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·福建龙岩·期中）如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．则菱形的面积为 ．    【答案】 【分析】首先根据菱形的性质可得，，，然后再根据勾股定理计算出长，进而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，   ，，， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分． 【例4】（2024·福建福州·二模）如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】证明四边形是菱形，连接，得到是等边三角形，过点作交于点，利用等边三角形的性质和勾股定理，求出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C在上， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，过点作交于点， 则：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握菱形的判定方法以及等边三角形的判定方法，是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，O为矩形的对角线的交点，过O作分别交、于点F、E，若，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】根据题意可证，则有，可得四边形为菱形，设，可得和，利用勾股定理即可求得，进一步得到菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， 即与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴． 设，则，． 在中，，即，解得． ∴． 即四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟知菱形的判定和性质． 【例6】（23-24八年级下·吉林·期末）如图是某数学教材中的部分内容． 平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图  的对角线和相交于点． 求证：；．   观察图形，与、与分别属于哪两个三角形？    (1)请根据教材中的分析和图①，写出“平行四边形的对角线互相平分”这一性质定理的证明过程； (2)如图②，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形； (3)如图②，若，的周长是，的周长是，且比的长多，比的长多，则四边形的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可求得答案． （2）证明即可求得答案． （3）根据的周长和的周长可求得的长度，根据的周长及其三边的关系，可求得的长度，进而可求得的长度，根据即可求得答案． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴，． 在和中 ∴． ∴，． ∴平行四边形的对角线互相平分． （2）∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴，． 在和中 ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． （3）∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． ∴． 根据题意可知的周长，的周长，， ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，牢记平行四边形的性质、全等三角形的判定方法及性质、菱形的判定方法及性质是解题的关键． 【变式训练1 利用菱形的性质求角度】 1．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键．先根据菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，得，再根据菱形的邻角互补即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，是对角线， ，， ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图—垂直平分线，菱形的性质，根据题意得，点E在的垂直平分线上，则，即可得，根据四边形为菱形得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得，点E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，菱形中，连接，若，则的度数为 ．    【答案】/70度 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 4．（23-24八年级下·山西临汾·期末）“福”字象征着中华民族的历史文化与精神．如图①是小红家大门上的“福”字，如图②是抽离出来的菱形，对角线相交于点O，，E是线段上一点，且，则的度数是 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键．由菱形的性质可得，，可得，由三角形内角和定理求得的度数，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图，四边形中，，平分，交于．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若点是的中点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，在根据角平分线的性质及等腰三角形的判定即可求证结论． （2）利用等角对等边的性质可得，在利用等腰三角形的判定及三角形内角和即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形，， 又∵平分， ， ， ， ∴四边形是菱形．    （2）直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 又三角形内角和为， ， ， 为直角三角形． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质和三角形的内角和，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，对角线AC、BD交于点O，P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，P点运动速度为1 cm/s．图2是点P运动时，△APC的面积y（cm2）随P点运动时间x（s）变化的函数图像． (1)AB = cm，a = ； (2)P点在BD上运动时，x为何值时，四边形ADCP的面积为； (3)在P点运动过程中，是否存在某一时刻使得△APB为直角三角形，若存在，求x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2， (2) (3)存在，的值为或或． 【分析】（1）由图2知，当点P在点A时，y=△ABC的面积==，进而求解； （2）由四边形ADCP的面积，即，即可求解； （3）①当点P和点O重合时，∠APB为直角，则x=BP=；②当∠BAP′为直角时，则PP′=，则x=BP+PP′= ；③当∠BAP″为直角时，则x=BD+DP″=，即可求解． 【详解】（1）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则△ABC、△ACD为全等的两个等边三角形， 设△ABC的边长为，则其面积为， 由图2知，当点P在点A时，y=△ABC的面积=， 解得（负值已舍去）， 即菱形的边长为2，则AB=2（cm）， 由题意知，点P与点O重合时，对于图2的a所在的位置， 则AO=1，故． 故答案为2；． （2）解：由（1）知点在段运动时，对于图2第一段直线， 而该直线过点、，， 设其对应的函数表达式为，则，解得， 故该段函数的表达式为， 当点在上运动时，四边形的面积为，则点只能在上， 则四边形的面积，即， 解得． （3）解：存在，理由： 由（1）知，菱形的边长为2，则，， 过点作于点交于点， 、均为等边三角形，则， ①当点和点重合时，为直角，则； ②当为直角时，则同理可得：，则； ③当为直角时，则， 综上，的值为或或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了一次函数的性质、直角三角形和菱形的性质、三角形全等和相似、面积的计算等． 【变式训练2 利用菱形的性质求线段长】 1．（23-24八年级下·吉林白山·期中）若菱形的周长为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的四条边相等结合菱形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的四条边相等是解题的关键． 2．（23-24八年级下·广东河源·阶段练习）如图，菱形中，，则以为边长的正方形的周长为（　　）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得为等边三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴ 为等边三角形 ∴ ∴正方形的周长为： 故选：B 【点睛】本题考查菱形的性质．熟记相关结论即可． 3．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）菱形的一边长为，则这个菱形的周长为 ． 【答案】/8厘米 【分析】 根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为，即可求出菱形的周长． 【详解】解：菱形的四条边都相等，其边长都为， 菱形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，属于基础题，比较简单，掌握莠形的四条边相等是解题关键． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点C在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直平分，可得答案． 【详解】 ∵四边形OACB为菱形， ∴OC⊥AB，OD=CD，BD=AD． ∴OC=4，点B的纵坐标为1， ∴OD=4÷2=2，点A的纵坐标为−1． 故答案为：(2，−1) 【点睛】本题考查了菱形的性质，做题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分． 5．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）用圆规、直尺作图，保留作图痕迹．已知，求作一个以C点为顶点的菱形，并使两邻边在、上．    【答案】见详解 【分析】以C点为圆心，以小于的长为半径画弧，交于点M，交于点N，再分别以M、N为圆心，以为半径画弧，两弧交于点G，四边形即为所求． 【详解】作图如下：    四边形即为所求． 根据作图可知：，即四边形是菱形． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 6．（23-24八年级下·陕西汉中·阶段练习）四边形是菱形，点是两条对角线的交点，，，求两条对角线和的长．    【答案】， 【分析】根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的两条对角线互相垂直平方是解题的关键． 【变式训练3 利用菱形的性质求面积】 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴， 故选：A． 2．（2024·江苏淮安·一模）如图，菱形的对角线，的长分别为6和8，则这个菱形的面积是（　　） A．48 B．40 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题考查菱形的面积．菱形的面积等于对角线长乘积的一半，列式计算即可． 【详解】菱形的对角线，的长分别为6和8 这个菱形的面积为． 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知菱形的对角线，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积等于 ．    【答案】 【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半可得出答案． 【详解】解：在菱形中，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理；注意菱形的面积等于对角线乘积的一半． 5．（2024·福建泉州·二模）如图，在菱形中，与相交于点，，已知，．    (1)求菱形的面积． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理，得，列得，求出x的值，再利用勾股定理求出，即可根据菱形面积公式求出答案； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答． 【详解】（1）解：设． ∵四边形是菱形，， ∴． ∵，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴． （2）∵菱形的面积是，， ∴， 则的长为． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，正确掌握菱形的性质是解题的关键． 6．（2024·浙江温州·三模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中以AB为对角线画一个四边形ADBC，使得AB=CD． (2)在图2中以点E为顶点画一个菱形EFGH，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先作，再顺次连接四条边即可； （2）先求出四边形的面积，再求菱形的对角线，再作出对角线，最后顺次连接四条边． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求；    （2）如图，菱形即为所求．    【点睛】本题考查了作图的设计和应用，掌握四边形的面积公式是解本题的关键． 【变式训练4 利用菱形的性质证明】 1．（23-24八年级下·广东茂名·期末）菱形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对边平行 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的性质，菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质． 【详解】菱形是特殊的平行四边形，具有对角相等、对边平行、四条边相等、对角线互相垂直的性质． 故选：D 2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）菱形对角线不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【分析】根据菱形的对角线的性质，进行判断即可． 【详解】解：菱形的对角线互相垂直且平分，且平分一组对角，菱形的对角线不一定相等． 故选D． 【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分，且平分一组对角，是解题的关键． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）菱形是 图形，它的 就是它的对称轴．它有 对称轴，两条对称轴互相垂直． 【答案】 轴对称 对角线所在的直线 两条 【解析】略 4．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，过点作，交对角线于点，若，则点到的距离是 ． 【答案】． 【分析】直接利用菱形的性质结合全等三角形的判定与性质得出 AE = CE ，即可得出答案． 【详解】 如图所示：连接 EC， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD 平分∠ABC ， AB = BC ， 在△ABE 和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE ( SAS )， ∴∠BAE =∠BCE =90°， 则 AE = CE =． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ABE≌△CBE 是解题关键． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，在菱形中，点为对角线与的交点，且在中，，求菱形两对边之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，因为菱形的对角线互相平分且垂直，得出，，结合勾股定理得出，再根据等面积法列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 在中，， 易得， 又∵菱形两组对边之间的距离相等， 且， ∴． 6．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，是菱形的对角线，为边上的点，过点作，交于点，交边于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质．首先判定四边形是平行四边形，得到，然后利用等角对等边得到，从而证得结论． 【详解】证明：四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 【变式训练5 添一个条件使四边形是菱形】 1．（2024·陕西商洛·三模）在中，添加下列条件，能判定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，再添加，不能判定是菱形；选项A不符合题意； 添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项B不符合题意； 添加，能判定是菱形；选项C符合题意； 添加，不能判定是菱形；选项B不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】当平分时，四边形是菱形，可知先证明四边形是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题． 【详解】解：当平分时，四边形是菱形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形． 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．（2024·山东济宁·二模）菱形定义：一组 相等的平行四边形叫菱形． 【答案】邻边 【分析】根据菱形的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，一组邻边相等的平行四边形叫菱形； 故答案为：邻边． 【点睛】本题考查了菱形的定义．熟记“一组邻边相等的平行四边形叫菱形”是解题的关键． 4．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，要使平行四边形ABCD为菱形，还需添加的一个条件是 ．（写出一个即可）． 【答案】等（答案不唯一） 【分析】根据菱形的判定定理即可． 【详解】解：添加条件， 根据邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键． 5．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，请你在图示的网格中，画出顶点在格点上，边长为的菱形ABCD，并说明这样画的道理． 【答案】图见解析；理由见解析． 【分析】根据四条边相等的四边形是菱形，再根据勾股定理，即可画出边长为的菱形． 【详解】解：如图， 四边形即为所求作的菱形． 因为， 所以四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形）． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图、勾股定理、菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，对角线与相交于点，，平分． （1）给出下列四个条件：①；②；③；④，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是______（填写一个序号即可）； （2）根据你所选择的条件，证明四边形是菱形． 【答案】（1）②或④；（2）见解析 【分析】（1）根据题目中的条件即可得到结论； （2）根据菱形的判定定理即可得到结论；． 【详解】解:（1）②或④； （2）选② 证明：， ，，∠ AOB=∠AOD=90° 平分 又 是菱形 选④ 证明： 平分 又 又 又 四边形是平行四边形 又 是菱形 【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【变式训练6 证明四边形是菱形】 1．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定．根据题意，先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可． 【详解】解：如图，过点作于,过点作于 四边形是平行四边形 两张等宽的纸条交叉叠放在一起 四边形是菱形． 故选：A． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（    ） A．任选两个角，测量它们的角度 B．测量四条边的长度 C．测量两条对角线的长度 D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，四条边相等的四边形是菱形． 【详解】A.任选两个角，测量它们的角度，不能判定，此选项错误； B.测量四条边的长度，可以判定，此选项正确； C.测量两条对角线的长度，不能判定，此选项错误； D.测量两条对角线交点到四个顶点的长度，不能判定，此选项错误． 故选：B． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）△ABC中，延长BA至D使得AB=AD，延长CA至E使得AC=AE，当△ABC满足条件 时，四边形BCDE是菱形． 【答案】∠BAC=90° 【分析】首先利用平行四边形的判定得出四边形BCDE是平行四边形，进而利用菱形的判定求出即可． 【详解】解：如图所示：∵AB=AD，EA=AC， ∴四边形EBCD是平行四边形； 当BD⊥EC时，四边形BCDE是菱形， 此时∠BAC=90°． 故答案为：∠BAC=90°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟记“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是解题的关键． 4．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的（如图所示）：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 形． 【答案】菱 【分析】根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD， ∴四边形ADBC是菱形． 故答案为：菱． 【点睛】本题考查作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，在中，平分．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与平行四边形的判定与性质，先证明，再结合，得出四边形是平行四边形，又因为平分以及角的等量代换、等角对等边，即，可证明四边形是菱形． 【详解】证明： ． 又 ， ． 又， 四边形是平行四边形． 平分 ． 又 ， ． 平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 6．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，在中，对角线相交于点，，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质． （1）先证明为等边三角形，得到，再结合四边形是平行四边形即可； （2）利用菱形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：，， 为等边三角形， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ，，，， ． 在中，， ， 菱形的面积为． 【变式训练7 根据菱形的性质与判定求角度】 1．（2024·河北唐山·二模）如图，在菱形中，相交于，，是线段上一点，则的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的性质，得∠AOB=90°，∠ABO=，从而得：∠BAO=55°，进而可得：55°＜＜90°，即可得到答案． 【详解】∵在菱形中， ∴，即：∠AOB=90°， ∴＜90°， ∵， ∴∠ABO=， ∴∠BAO=55°， ∵=∠BAO+∠ABE， ∴＞55°， 即：55°＜＜90°． 故选B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，得到，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转，得到四边形，连接，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 【点睛】本题考查旋转及菱形的性质．推出是解题的关键． 4．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）如图，菱形ABCD中，∠D=120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连结BD'，则∠AD'B= °．    【答案】75 【分析】根据菱形的性质先求出∠BAC，再由折叠知AD'=AB，从而求出∠AD'B的度数. 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=CD=AD，CD∥AB， ∵∠D=120°， ∴∠DAB=60°， ∵AC为菱形ABCD的对角线， ∴∠BAC=30°， ∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上， ∴AD'=AD， ∴AD'=AB， ∴∠AD'B=， 故答案为：75. 【点睛】本题是对菱形知识的考查，熟练掌握菱形的性质定理是解决本题的关键. 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法与性质． （1）证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （2）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ， ． 四边形是平行四边形， ． （2）解：四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形． ． ， 四边形是平行四边形， ∴． ． 6．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，点是的方格纸中的三个格点，按下列要求作出格点四边形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出一个以为顶点的菱形，使点在该图形内部（不包括在边界上）． （2）在图2中画出一个以为顶点的平行四边形，使该图形的一边所在直线与夹角 为 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用菱形的性质得出符合题意的图形； （2）直接利用平行四边形的性质得出符合题意的图形． 【详解】（1）满足条件的菱形ABCD如图1所示； （2）满足条件的平行四边形ABCD如图2所示． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定的和性质，平行四边形的判定和性质等知识，正确把握平行四边形以及菱形的性质是解题关键． 【变式训练8 根据菱形的性质与判定求线段长】 1．（23-24八年级下·甘肃白银·期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF＝（　　） A．50° B．40° C．30° D．15° 【答案】C 【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF＝∠CDF，根据已知可求得∠CBF的度数，故可得到∠CDF． 【详解】如图，连接BF， 在△BCF和△DCF中， ∵CD＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF ∴△BCF≌△DCF（SAS） ∴∠CBF＝∠CDF ∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50° ∴∠ABF＝∠BAF＝50° ∵∠ABC＝180°−100°＝80°，∠CBF＝80°−50°＝30° ∴∠CDF＝30°． 故选C． 【点睛】本题考查角度的求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定条件，菱形的性质，垂直平分线的性质． 2．（23-24八年级下·北京朝阳·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得到OD=OC=，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形OCED为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形OCED为菱形，即可求出其周长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD=2， ∴OA=OB=OC=OD==1， ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵OD=OC， ∴四边形OCED为菱形， ∴OD=DE=EC=OC=1， 则四边形OCED的周长为1+1+1+1=4． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，是菱形的对角线上一点，过点作于点. 若，则点到边的距离为 . 【答案】4 【分析】首先根据菱形的性质，可得出∠ABD=∠CBD，然后根据角平分线的性质，即可得解. 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，BD为其对角线 ∴∠ABD=∠CBD，即BD为角平分线 ∴点E到边AB的距离等于EF，即为4. 【点睛】此题主要考查菱形和角平分线的性质，熟练运用，即可解题. 4．（23-24八年级·四川·阶段练习）如图，O点是矩形ABCD的对角线的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ． 【答案】2 【分析】根据矩形的性质得到AC=4，再根据菱形的性质得到AB=2，再根据勾股定理即可求解. 【详解】∵菱形的边长为2，∴AB=AO=2， ∵O点是矩形ABCD的对角线的中点， ∴AC=2AO=4， ∴BC= 故填：2 【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的四边相等. 5．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期中）尺规作图，在三角形中，以点为顶点作菱形，使点、、分别在边、和上． 【答案】如下图 【分析】根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可． 【详解】如下图： 作出的角平分线，交于点，连接； 作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，，得到菱形． ∵是的垂直平分线 ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质和判定． 6．（23-24八年级下·广东湛江·期中）已知四边形ABCD为菱形，周长为32cm， ∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O． (1)求AC， BD的长 (2)求菱形ABCD的面积 【答案】(1)AC=8cm，BD=8cm； (2)菱形ABCD的面积为32． 【分析】（1）由题意易得△ABC是等边三角形从而可得到AC的长，再根据菱形的性质及勾股定理即可求得OB的长，得出BD的长； （2）菱形的面积等于两条对角线长积的一半，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵菱形ABCD的周长为32cm，∠ABC=60°， ∴AB=BC=8cm，△ABC是等边三角形，AC、BD互相垂直平分， ∴AC=AB=8cm，OA=AC=4cm，OB=OD， ∴OB=（cm）， ∴BD=8cm； （2）解：菱形ABCD的面积=AC•BD=×8×8=32（）． 【点睛】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式训练9 根据菱形的性质与判定求面积】 1．（23-24八年级下·江西鹰潭·期末）菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（    ） A．60cm2 B．120cm2 C．130cm2 D．240cm2 【答案】B 【分析】由菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得AE或CE的长，从而求得AC的长；利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积． 【详解】解：如图，设AC，BD的交点为E ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，BE＝DE＝5，AE＝CE 在Rt△ABE中，AE＝＝＝12 ∴AC＝24cm ∴S菱形ABCD＝AC×BD＝120cm2 故选：B． 【点睛】主要考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用菱形的性质进行求解． 2．（2024·山西晋城·一模）如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故选：B． 3．（23-24八年级下·江苏·周测）已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半求得其面积． 【详解】解：如图： 在菱形中，，， 对角线互相垂直平分， ，， 在中，， ． ， 故答案为：24． 【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，主要考查了学生的计算和推理能力． 4．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在的两边上分别截取，使；再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；再连接．若，．则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】由尺规作图可知，四边形为菱形，根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，根据作图得出四边形为菱形是解题的关键． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分． （1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论． （2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 6．（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点，，，点是延长线上一点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再通过证明对角线垂直即可证明为菱形； （2）根据菱形的性质得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵，， 由（1）知， 在中． ∵四边形是菱形， ∴， ，． ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质综合，解题的关键是熟知平行四边形的判定与性质、菱形的判定定理及勾股定理的应用． 1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为3，B，D之间的距离为4，则线段的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作于R，于S，连接交于点O， 由题意知，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． 在中，，， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键；由菱形的性质可得，，，进而由勾股定理得，再根据解答，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级下·吉林长春·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，．则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，根据菱形的性质，作轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标． 【详解】解：作轴于点D， ∵四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则点C的坐标为， 又∵， ∴B的横坐标为，纵坐标为， 则点B的坐标为． 故选：C． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，则线段和（   ） A．相等且互相平分 B．相等且互相垂直 C．互相平分且垂直 D．只是互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质，根据三角形中位线定理可得，，，，结合题意得出，即可得解． 【详解】解：∵点、分别为、的中点， ∴，， 同理可得：，，，，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴线段和互相平分且垂直， 故选：C． 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将沿直线AE翻折，使点B落在上，连接，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的度数，证明出，即可利用等边对等角，以及三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 将沿直线翻折，使点落在上，， ，， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弄清题意，灵活运用相关图形的性质是解题的关键． 6．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的面积，根据菱形的性质解答即可求解，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， 故答案为：． 7．（2024·西藏·模拟预测）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定定理，由题干的已知条件可得出四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：添加（答案不唯一）， ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查直角坐标系中点与特殊四边形的判定和性质，以及勾股定理的应用，根据题意得点，，结合，，即可判定四边形为菱形，有，利用勾股定理求得，则有，再次利用勾股定理即可求得． 【详解】解：根据题意得点，， ∵，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵顶点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，分别是的中点，满足条件 时，四边形是菱形． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，中位线性质定理，连接，由分别是的中点，得，，则四边形是平行四边形，故当 时，四边形是菱形，菱形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，， ∴四边形是菱形， ∴满足条件时，四边形是菱形， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 11．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是： （）由三角形中位线的性质可得，，即可得四边形为平行四边形，又由中点定义可得，即可求证； （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 12．（2024·贵州·模拟预测）下面是多媒体上的一道试题： 如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，．求证：四边形是矩形． 下面是两位同学的对话： (1)请你选择一位同学的说法，并证明； (2)若，求菱形的周长． 【答案】(1)选择小星的说法，证明见解析； (2)16． 【分析】（1）根据菱形的性质，求出，进而证明，四边形是平行四边形．利用有一个角是的平行四边形是矩形即可得证； （2）利用勾股定理求出，再证明为等边三角形，得，即可得解． 【详解】（1）解：若选择小星的说法，证明如下： 四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形． （2）解：， ． 在中，， ． ． 四边形是菱形， ， 为等边三角形， ， 菱形的周长为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，证明矩形及垂线定义，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）一张矩形纸片，将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点，折叠出四边形．  (1)求证：； (2)当时，四边形是菱形． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，全等三角形的判定 （1）根据矩形的性质得出则，进而根据折叠的性质可得，，即可证明； （2）证出四边形是平行四边形，再证出，即可得出四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴，即 由翻折知，, ∴，，则， ∴ ∴ （2）解：当时四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ，， 四边形为矩形， ， ， 由翻折知，，， ， ； 四边形是平行四边形， ， ． ， 由折叠的性质得， ， ， 四边形是菱形； 故答案为：． 14．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知：如图，在平行四边形中，M，N分别是，的中点，，连接交于点O． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)过点C作 于点E， 交于点P， 若 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，，求出，，利用证得； （2）首先证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质求出，可得平行四边形是菱形，然后根据菱形的性质可得答案； （3）证明，可求出，然后由含角的直角三角形的性质求出，再证明，进而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵M是的中点，， ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴； （3）解：由（2）得， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 15．（23-24八年级下·甘肃武威·期末）如图是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上，连接． (1)求作：菱形，使点，落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)证明：四边形是菱形． (3)在（1）的条件下，，交于点，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、； （2）根据垂直平分线的性质得，，由，得，，证明，得，推出四边形为平行四边形，即可得证； （3）先根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得，然后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点，，连接、， 则四边形即为所作； （2）证明：设，交于点， 根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （3）解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 学科网（北京）股份有限公司 $$