精品解析：福建省南平市建瓯市2024—2025学年八年级上学期期中质量监测数学试卷

福建省南平市建瓯市2024—2025学年八年级上学期期中质量监测数学试卷 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 4，4，8 D. 8，8，8 3. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A B. C. D. 4. 三角形三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（　　） A 75° B. 90° C. 105° D. 120° 5. 六边形内角和的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A. 线段是边上的高 B. 线段是边上的高 C. 线段是边上的高 D. 线段是边上的高 7. 如图，为等腰三角形，，，连接，，只需添加一个条件即可证明，下列符合的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是重心，连接并延长交于点．连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是的高 B. 是的角平分线 C. 是的中线 D. 与的面积相等 9. 如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若的长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，斜钉上一块木条用来修理一条摇晃的凳子是利用三角形的______． 12. 如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝2，则点P到OB的距离为_____． 13. 如图，，则______． 14. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为______． 15. 如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为______． 16. 如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，且与全等，点的坐标是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点C、F、E、A在一条直线上，，，，求证：． 18. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 19. 如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 20. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由． 21. 如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接． （1）依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的大小． 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，求的长． 23. 阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： （1）当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． （2）当为多少时，直角三角形？请说明理由． 24. 【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； （3）如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知，在轴、轴的正半轴上． （1）如图，若、满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，求点的坐标； （2）如图，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图，若，分交于点，点为线段上的中点，过点作交轴负半轴于点，交轴于点，求点的坐标，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省南平市建瓯市2024—2025学年八年级上学期期中质量监测数学试卷 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可得：选项A、B、D不是轴对称图形，选项C是轴对称图形， 故选∶C． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 4，4，8 D. 8，8，8 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、3+4＜8，不能构成三角形； B、5+6=11，不能构成三角形； C、4+4=8，不能构成三角形； D、8+8＞8，能构成三角形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 3. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为， 故选：A． 4. 三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（　　） A. 75° B. 90° C. 105° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的最大的角的度数． 【详解】设三个内角的度数分别为2k，3k，7k. 则2k+3k+7k=180， 解得k=15， ∴2k=30,3k=45,7k=105， ∴这个三角形最大的角等于105. 故答案选：C 【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理. 5. 六边形内角和度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据六边形内角和的度数为，计算求解，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，六边形内角和的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形内角和．解题的关键在于熟练掌握：边形内角和的度数为． 6. 如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A. 线段是边上的高 B. 线段是边上的高 C. 线段是边上的高 D. 线段是边上的高 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：于点， 中，是边上的高，故A不符合题意， ，线段是边上的高，B选项符合题意； 于点， 是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 7. 如图，为等腰三角形，，，连接，，只需添加一个条件即可证明，下列符合的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，利用全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即，故B不符合题意； 在和中，，故，符A合题意； 利用，，不能推出，故C不符合题意； 利用，，能推出，故D不符合题意； 故选：A． 8. 如图，点是的重心，连接并延长交于点．连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（ ） A. 是的高 B. 是的角平分线 C. 是的中线 D. 与的面积相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的重心的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵三角形的重心是三角形三边中线的交点， ∴是的中线，是的中线，故ABC不符合题意； ∴， ∴与的面积相等，故D符合题意； 故选：D． 9. 如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若的长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图——基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．由作图过程可得：，是的垂直平分线，然后证明，，进而可以解决问题． 【详解】解：由作图过程可知：，是的垂直平分线， ， ， ， ， ，即， ，， 的周长为， 故选：C． 10. 如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断④；由全等三角形的性质可得，，进而可判断③． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴，故④正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故③不正确； 综上，正确的有①②④，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线与三角形内角和定理、角平分线的定义．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，斜钉上一块木条用来修理一条摇晃的凳子是利用三角形的______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形性质，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的稳定性是解此题的关键． 【详解】解：斜钉上一块木条用来修理一条摇晃的凳子是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 12. 如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝2，则点P到OB的距离为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质解答． 【详解】解：作PE⊥OB于E， ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PD＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 13. 如图，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； 根据全等三角形性质即可求解； 【详解】解：， ， 和是对应角，则和是对应边， ； 故答案为： 14. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故答案为：17． 15. 如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，设，则，进而得到，即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠可得：， 设，则， ， ， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，且与全等，点的坐标是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，再分两种情况：当点在第一象限时，当点在第四象限时，分别画出图形，结合图形即可得解． 【详解】解：∵与全等， ∴，， 如图，当点在第一象限时， ， 由图可得，， 当点在第四象限时， 由图可得，，， 综上所述，点的坐标是或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点C、F、E、A在一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，再利用证明即可得证． 【详解】证： ， 在和中， ， ． 18. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握三角形的内角和为是解此题的关键． 【详解】解：在中，是高 ， ∵， ， 平分，， ， ， 平分， ． 19. 如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论． 【详解】证明： D是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 20. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由． 【答案】CF⊥DE，理由见解析 【解析】 【分析】根据平行线性质得出∠A＝∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC＝CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可． 【详解】解：CF⊥DE，CF平分DE，理由是： ∵AD∥BE， ∴∠A＝∠B， 在△ACD和△BEC中， ， ∵△ACD≌△BEC（SAS）， ∴DC＝CE， ∵CF平分∠DCE， ∴CF⊥DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题关键是求出DC＝CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力． 21. 如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接． （1）依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2）20° 【解析】 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）根据A，D关于对称，得到垂直平分，从而得到，进而得到，再根据是等边三角形，得到，利用等边等对角，以及三角形的内角和，即可求出的大小． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 解：∵A，D关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，以及三角形的内角和定理．根据对称得到垂直平分是解决本题的关键． 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， 【小问2详解】 解：设 由（1）知，在和中， ， 解得 23. 阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： （1）当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． （2）当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）或时，是等腰三角形，见解析 （2）或时，是直角三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）由题知，，，再分两种情况：①当点，点在线段，上运动时，即时；②当点，点在线段，延长线上运动时，即时；分别根据等腰三角形的性质列出方程，求解即可； （2）分情况讨论，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：，， ， 由题知，， ①当点，点在线段，上运动时，即时 是等腰三角形 是等边三角形 ， 解得， ②当点，点在线段，延长线上运动时，即时 是等腰三角形 ， 解得， 综上所述，或时，是等腰三角形 【小问2详解】 解：当点，点在线段，上运动时，即时 ①当时 ， ， 解得， ②当时 ， ∴， 解得， 当点，点在线段，延长线上运动时，是钝角三角形，不符合题意，舍去. 综上所述，或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 24. 【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； （3）如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】（1） （2），，见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． 【小问1详解】 解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． 【小问2详解】 解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． 【小问3详解】 解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知，在轴、轴的正半轴上． （1）如图，若、满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，求点的坐标； （2）如图，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：； （3）如图，若，分交于点，点为线段上的中点，过点作交轴负半轴于点，交轴于点，求点的坐标，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键； (1)由偶次方和绝对值的非负性得出，，则，，证明，得到，，，即可得解； (2)过作轴于，则，证明，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由三角形外角的性质即可得出结论； （3）延长至点，使得，连接，设，可得,明，将用和表示出来，可得，求解即可得到点的坐标； 小问1详解】 ）解：，，， ，， ，， ，， 如图1，过点作轴于， 则， ， ，， ， ，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2，过作轴于，则 ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，，， ， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：延长至点，使得，连接，如图3所示： 设， 平分， ， ， ，， ， ， 为中点， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， 点在轴的负半轴上，且， 点的坐标为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$