(讲本)18.2.2 菱形-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

∠ACB=90°，D是边AB的中点，CD=7.5,,.AD=DB 18.2.2菱形 CD=7.5,AB=15,由勾股定理，得BC=√AB-AC= 第1课时菱形的性质 V15-可=12.5aw=7AC·BC=ABCF,号 知识梳理 1.邻边2.(2)相等(3)垂直平分 ×9X12-号×15×CR,CF-5.:将△BCD沿直线 例题导学 CD翻折得到△ECD,.BC=CE,BD=DE,∴CH⊥BE, 【例1】解：(1)E为AB的中点，DE⊥AB,.DE垂直平分 BH=HE.:AD=DB=DE,易得△ABE为直角三角形， AB,∴.AD=DB.,四边形ABCD是菱形，.AB=AD, ∠AEB=90°，.∠CHB=∠AEB=90°，.AE∥CH, AD=DB=AB,.△ABD为等边三角形，.∠DAB= 60°.：AD∥BC..∠ABC=180°-∠DAB=180°-60°= Sm=S8m合DC·HE=2AD.CR.:D= 120,(2):四边形ABCD是菱形，BDLAC,A0=号AC ADHE=CF=9BE=2HE=得在R△AEB中， =号×6，原=3.由(1D可知DB,A0都是等边三角形 由勾股定理，得AE-AB-E-√15-（号）- ABD的高，.DE=AO=3√5.【例2】证明：”四边形 专题突破（四）矩形中的折叠问题 ABCD是菱形..∠B=∠D,AB=AD=BC=CD.,CE= 例题导学 CF,∴.BC-CE=CD-CF,∴.BE=DF,∴.△ABE≌ 【例1】解：：E是AD的中点，.AE=DE.在矩形ABCD △ADF(SAS),.AE=AF.【例3】解：1)四边形 中，∠A=∠D=∠C=90°，：△ABE沿BE折叠后得到 ABCD是菱形，∴.AD=AB,∠DCB=2∠ACD=2×30°= △GBE,AE=GE,AB=BG,∠EGB=∠A=90°，∴.DE= 60°，∴.∠DAB=∠DCB=60°，.△ABD是等边三角形： GE,∠EGF=9O°.在Rt△EDF和Rt△EGF中，EF-EF, (2):四边形ABCD是菱形，△ABD是等边三角形，BD= DE=GE.∴.Rt△EDF≌Rt△EGF(HL).∴.DF=GF.设 6,OD=号BD=3AD=BD=6,ACLBD,即∠AOD= DF=x,则BF=4+x,CF=4一x,在Rt△BCF中，根据勾 90°，.根据勾股定理，得AO=√AD-OD=√6-3 股定理，得BC+CF=BF,即62+(4一x)2=(4+x), 解得x=是.∴DF的长是号【例2】解：1)重叠部分 35.AC-2A0-6v8:3)Ssm-2BD·AC-2× 6×63=183. △BDF为等腰三角形.理由如下：由折叠及矩形的性质可 【变式练习】 知∠CBD=∠FBD,AD∥BC,·.∠FDB=∠CBD, 1.D2.83.解：(2)图②：BE=EF.图③：BE=EF.图② ∴·∠FBD=∠FDB,.BF=DF,.重合部分△BDF为等 证明如下：如图①，过点E作EG∥BC,交AB于点G.:四 腰三角形.设AF=x,则BF=DF=8一T,在Rt△ABF中， 边形ABCD为菱形，.AB=BC.又，∠ABC=60, 根据勾股定理，得AB十AF=BF,即4十x2=(8一x)2, ∴.△ABC是等边三角形.∴.AB=AC,∠ACB=∠BAC 解得x=3,∴.AF=3:(2)由折叠的性质可知BE=BC= 60°.：EG∥BC,∴.∠AGE=∠ABC=60°，∠AEG=∠ACB 10.又：AB=6,.在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AE =60°..△AGE是等边三角形，AG=AE=GE,∴.BG= =√BE-AB=√10一6=8.设DF=y,由折叠的性质 CE.义，CF=AE,∴.GE=CF.:∠AGE=∠ACB=60°， 可知EF=FC=6-y,DE=AD-AE=2.在Rt△DEF中， .∠BGE=∠ECF=120°，.△BGE≌△ECF(SAS),,.BE 根据勾股定理，得DE十DF2=EF2,即22+y2=(6一y), EF. 解得y=号DF=受 【变式练习】 L.A2.解：(1)△AED≌△CEB.证明如下：，四边形 ABCD是矩形，.BC=DA,∠B=∠D.由折叠的性质可知 图① 图③ BC=B'C,∠B=∠B'..B'C=DA,∠B'=∠D.在△AED 图③证明如下：如图③，过点E作EG∥BC,交AB的延长 ∠DEA=∠BEC. 线于点G,:四边形ABCD为菱形，∴.AB=BC,又 和△CEB中， ∠D=∠B, ,.△AED≌△CEB(AAS): :∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形，·AB=AC, DA=BC. ∠ACB=∠BAC=60°.：EG∥BC,.∠AGE=∠ABC (2)4 60°，∠AEG=∠ACB=60°..△AGE是等边三角形，，∴.AG 参考答案第8页（共55页） =AE=GE,,.BG=CE.又，CF=AE,,.GE=CF.又 =BF,,.BO⊥EF,∠ABO=∠FBO,,∴.∠ABO=∠BAC :∠BGE=∠ECF=60°，，△BGE≌△ECF(SAS),∴.BE ∠FBO,设∠ABO=x°，，∠BEF=2∠BAC,∴∠BEF= =EF. 4.B 5.A6 2x,∴.2x+x=90°，解得x=30°，.∠ABF=60°，∴.∠FBC =30°，CF=2,.BF=BE=2CF=4,.AB=BE+AE= 第2课时 菱形的判定 6们【例2】D[解析：连接AC,则AC必过点O.,四边形 知识梳理 ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴.∠BAD=60°，AC⊥BD, (1)邻边(2)互相垂直(3)相等 例题导学 ∴∠OAB=之∠BAD=30.在R△AOB中.则有B0 【例1】16【例2】解：当AB=AC时，四边形AEDF是菱 之AB,即AB=2B0,“A0+B0=AB,即A0+BC= 形.理由如下：，'AD⊥BC,AB=AC,.∠DAE=∠DAF. :DE∥AC,DF∥AB,∴.四边形AEDF是平行四边形， (2BO)2,∴.AO=√3OB.易得AC=2AO,BD=2BO,∴.AC ∠ADE=∠DAF,,∠DAE=∠ADE,.AE=ED,.四边 =√5BD,即BD=AC.:菱形ABCD的面积为243， 3 形AEDF是菱形.【例3】证明：(1)在口ABCD中，AD∥ BC,AD=BC,∴∠EAM=∠FCV.:E,F分别为AD,BC 六2ACBD-243,7×9AC-215.∴AC=12. 3 的中点，∴.AE=DE=BF=CF,在△AEM和△CFN中， AE=CF. :在R△ABC中，OE是斜边上的中线，∴OE=号AC=6] ∠EAM=∠FCN,∴.△AEM≌△CFN(SAS),∴.EM= 【例3】D[解析：连接DE,DF,BD.:在□ABCD中，AB AM=CN. =AD=6,平行四边形ABCD为菱形.点D与点B关 FN,∠AME=∠CNF,∴.∠EMN=∠FNM,.EM∥FN. 于AC对称.BF=DF.EF+BF=EF+DF,当点D, :EM=FN,∴.四边形EMFN是平行四边形：(2)连接 F,E共线时，EF十BF有最小值，最小值为DE的长.E EF,交AC于点O.由(1)得AE∥BF,AE=BF,∴.四边形 为AB中点，∴.AE=3.又∠DAB=60,AD=AB AEFB是平行四边形，∴.AB∥EF.,AB⊥AC,∴EF⊥ .△ADB是等边三角形.E为AB中点，.DE LAB. MN,.四边形EMFN是菱形， ∴.DE=√AD-A=√6-3=3√3J 【变式练习】 【变式练习】 L.D2.AD=BC3.证明：(1)在□ABCD中，AB∥CD, 1.A2.30°3.C AB=CD.:E,F分别是AB,CD的中点BE=号AB, 18.2.3正方形 知识梳理 DF=CD,BE=DF.BE∥DF,四边形DEBF是 2.相等直角相等互相垂直平分 平行四边形，∴DE∥BF:(2):∠G=90°，AG∥BD,AD∥ 例题导学 CG,∴.四边形AGBD是矩形，∠ADB=90°.在R△ADB 【例1】3√10【例2】3【例3】解：(1)在☐ABCD中，OA 中，，E为AB的中点，BE=DE,,四边形DEBF是平 =OC,OB=OD.∠OBC=∠OCB,.OB=OC,∴.AC 行四边形，∴.四边形DEBF是菱形.4.C5.解：(1)四 BD,□ABCD是矩形：(2)AB=AD.理由如下：，四边形 边形ABCD为平行四边形，AB∥DF,AD∥BC,AB= ABCD是矩形，且AB=AD,∴.四边形ABCD是正方形. CD.,CF=CD,.CF=AB..四边形ABFC为平行四边 (答案不唯一)》 形.：AD∥BC,AF⊥AD.AF⊥BC..四边形ABFC为 【变式练习】 菱形：(2)：AD∥BC,∠ADC=25,.∠BCF=∠ADC= 1.C2.153.√134.√345.D6.证明：(1)：四边 25°.：四边形ABFC为菱形，.FB=FC..∠CBF= 形ABCD是菱形，∴.AB=AD,∠B=∠D,∠BAC= ∠BCF=25°.∴.∠DFG=∠CBF+∠BCF=50°.：DG⊥ AB-AD. BG,∴∠DGF=90°..∠FDG=90°-∠DFG=90°-50 ∠DAC.在△ABE和△ADF中，∠B=∠D,·△ABE≌ =40° BE=DF. 专题突破（五）特殊平行四边形与60度角 △ADF(SAS),∴.AE=AF,∠BAE=∠DAF,.∠EAG= 例题导学 ∠FAG.FG∥AE,.∠EAG=∠FGA,∴.∠FAG= 【例1】D[解析：连接OB,四边形ABCD是矩形，.AE ∠FGA,,,FG=AF=AE.,FG∥AE,∴.四边形AEGF是 ∥CF,∠ABC=∠BCF=90°.∴.∠EAO=∠FCO,∠AEO 平行四边形.又，AF=AE,.四边形AEGF是菱形：(2)在 =∠CFO,,AE=CF,.△AOE≌△COF(ASA),.OE= 菱形ABCD中，BC∥AD,.∠B+∠BAD=180°， OF,OA=OC.∴.OA=OB=OC,∴.∠ABO=∠BAC.:BE∴.∠BAD=180°-∠B=150°.由(1)知△ABE≌△ADF, 参考答案第9页（共55页）18.2.2菱形 第1课时 菱形的性质 A知识梳理 (2)若AC=6√3，求DE的长 1.菱形的定义 有一组 相等的平行四边形叫做 菱形. 2.菱形的性质 (1)具有平行四边形的一切性质； (2)菱形的四条边都 (3)菱形的两条对角线互相 ,并且 每一条对角线 组对角： (4)菱形是轴对称图形，它的对角线所在 的直线就是它的对称轴.菱形也是中 心对称图形，对称中心是对角线的 交点 3.菱形的面积 (1)菱形的面积=底X高： (2)菱形的面积=对角线乘积的一半. B例题导学 知识点①利用菱形的性质进行计算 【方法点拨】菱形的两条对角线将菱形分成 四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问 【例1】如图，在菱形ABCD中，AC,BD相交 题中求相关线段的长转化为求直角三角形 于点O,E为AB的中点，DE⊥AB. (1)求∠ABC的度数； D 中相关线段的长，再利用勾股定理来计算 【变式练习】 L.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线， 点E在BC的延长线上.若∠ADB=25°， ∠DCE的度数为 B A.40° B.45° C.60° D.509 2.已知菱形的边长为5，较短的一条对角线 的长为6，则该菱形较长的一条对角线的 长为 ·40。 知识点2利用菱形的性质进行证明 【例2】如图，在菱形ABCD中，E,F分别是 CB,CD上的点，且CE=CF.求证：AE=AF 图① 图② 【方法点拨】菱形具有平行四边形的一切性 质，可得对角相等，再由菱形的四条边相等 图③ 及已知线段相等，可得一组边相等，进而通 过证明三角形全等得出结论 【变式练习】 3.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角 线AC上一点，F是线段BC延长线上一 知识点3 菱形的面积 点，且CF=AE,连接BE,EF 【例3】如图，四边形ABCD是菱形，对角线 (1)若E是线段AC的中点，如图①，易 AC,BD相交于点O,BD=6,∠ACD=30°. 证：BE=EF(不需证明)： (1)求证：△ABD是等边三角形； (2)若E是线段AC或AC延长线上的任 (2)求AC的长； 意一点，其他条件不变，如图②，图③， (3)求菱形ABCD的面积. 线段BE,EF有怎样的数量关系？直 接写出你的猜想，并选择一种情况给 予证明. ·41· 【方法点拨】菱形是特殊的平行四边形，所以 第2课时 菱形的判定 菱形的面积可以用平行四边形的面积公式 求解，也可以根据菱形的面积等于两条对角 A知识梳理 线乘积的一半求解 菱形的判定定理 (1)有一组 相等的平行四边形是 菱形； (2)对角线 的平行四边形是菱形： (3)四条边 的四边形是菱形， B例题导学 知识点① 有一组邻边相等的平行四 边形是菱形 【例1】如图，在四边形ABCD中，AC=BD=4, E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中 点，则EG+FHP的值为 【方法点拨】添加常用辅助线，构造中点四边 【变式练习】 形，结合已知条件判断该中点四边形的形 4.如图，在面积为S的菱形ABCD中，O为 状，利用勾股定理求解」 对角线的交点，E是线段BC的中点，过点 【例2】如图，在△ABC中，AD E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G, BC于点D,E,F分别是AB,AC 则四边形EFOG的面积为 上的点，且DE∥AC,DF∥AB. A.iS B.gS C.12S 3 D.165 当△ABC满足什么条件时，四 边形AEDF是菱形？请说明理由. 【方法点拨】证明四边形是菱形，可先证明四 边形是平行四边形，再证明一组邻边相等 即可. (第4题图) (第5题图) 5.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交 于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连 接OH.若OA=6,S菱形ABD=48,则OH 的长为 ( A.4 B.8 C.√13 D.6 6.在菱形ABCD中，对角线AC=10,BD= 24,则菱形的高为 ·42· 【变式练习】 知识点2对角线互相垂直的平行四 1.在数学活动课上，为探究四边形瓷砖是 边形是菱形 否为菱形，以下拟定的测量方案，正确 【例3】如图，在□ABCD中，E,F分别为边 的是 ( AD,BC的中点，点M,N在对角线AC上， A.测量一组对边是否平行且相等 且AM=CN,连接EM,EN,FM,FN. B.测量四个内角是否相等 (1)求证：四边形EMFN是平行四边形； C.测量两条对角线是否互相垂直 (2)若AB⊥AC,求证：四边形EMFN是 D.测量四条边是否相等 菱形 2.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分 别是AB,BD,CD,AC的中点，要使四边 形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满 足的一个条件是 【方法点拨】由(1)得到四边形是平行四边形 后，证明对角线互相垂直即可. 3.如图，在□ABCD中，E,F分别为边AB, CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥ DB交CB的延长线于点G (1)求证：DE∥BF; (2)若∠G=90°，求证：四边形DEBF是 菱形 ·43· 【变式练习】 (2)若∠ADC=25°，求∠FDG的度数. 4.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,添加下列条件后不能判定 □ABCD是菱形的是 A.AC⊥BD B.AB=BC C.AC=BD D.∠1=∠2 5.如图，四边形ABCD为平行四边形，过点 A作AF⊥AD,交BC边于点E,交DC的 延长线于点F.连接AC,BF,过点D作 DG⊥BF,交BF的延长线于点G.已知 CF-CD. (1)求证：四边形ABFC为菱形： 专题突破（五） 特殊平行四边形与60度角 A专题概逃 形全等的判定和性质，熟练掌握矩形的性质 特殊平行四边形分为矩形和菱形，两种 和直角三角形的性质是解题的关键， 图形都可以被对角线分为等腰三角形，而等 腰三角形遇到60度角又可以得到等边三角 形，那么就可以用到许多等边三角形的性质 来解决问题， B例题导学 类型1)矩形与60度角 【例1】如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边 AB,CD上的点，AE=CF,连接EF,BF,EF与 对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF= 2∠BAC,CF=2,则AB的长为 A.23 B.43 C.4 D.6 【方法点拨】本题考查了矩形的性质，等腰三 角形的三线合一，直角三角形的性质，三角 ·44·