(讲本)18.2.1 矩形-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

18.2特殊的平行四边形 18.2.1矩形 第1课时 矩形的性质 A知识梳理 (2)求证：OE=FE. 1.矩形的定义 有一个角是 的平行四边形叫做矩 形，也就是长方形 注意：矩形定义的两个要素：①是平行四 边形：②有一个角是直角. 2.矩形的性质包括四个方面： (1)矩形具有平行四边形的所有性质； (2)矩形的对角线 (3)矩形的四个角都是 (4)矩形是轴对称图形，它有 条对 称轴。 3.直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于 B例题导学 【方法点拨】因为矩形的对角线相等且互相 平分，所以矩形的对角线将矩形分成了四个 知识点①矩形的定义及性质 等腰三角形，再由特殊角(30°或45°或60°) 【例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD 得到特殊三角形，利用特殊三角形的性质即 相交于点O,AE平分∠BAD,交BC于点E,交 可求解. BD于点F.已知∠CAE=15°，AB=2. 【变式练习】 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,下列说法错误的是( A.AB∥DC B.AC=BD (1)求矩形ABCD的面积： C.AC⊥BD D.OA=OB () (第1题图) (第2题图)》 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,BC=5√3，∠BOC=120°，则 △ABC的面积为 A.25v3 B53 2 2 C.55 D.10√3 ·33· 3.如图，在矩形ABCD中，点M在DC上， 【方法点拨】若题中出现一边的中点，往往需 AM=AB,BN⊥AM,垂足为N. 要用到中线；若还有直角（或垂直）的条件， (1)求证：△ABN≌△MAD: 往往需要用到直角三角形斜边上的中线等 (2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN 于斜边的一半这个性质。 的面积 【变式练习】 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为 △ABC的中线，延长CB至点E,使得 BE=BC,连接DE,F为DE的中点，连接 BF若AC=8,BC=6,则BF的长为 A.2 B.2.5 C.3 D.4 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB 知识点2 直角三角形斜边上的中线 =30°，以线段AB为边向外作等边三角形 的性质 ABD,点E是线段AB的中点，连接CE 【例2】如图，E是矩形ABCD的边CB延长 并延长交线段AD于点F.若AB=6,则 线上的一点，CE=CA,F是AE的中点. 四边形BCFD的面积为 求证：BF⊥FD. ·34· 第2课时 矩形的判定 A知识梳理 行四边形，再根据等腰三角形的“三线合一” 1.根据矩形的定义判定 得到∠ADC=90°，即可得到结论 有一个角是 的平行四边形是矩形. 2.矩形的判定定理 (1)对角线 的平行四边形是矩形， 或者说对角线 的四 边形是矩形： (2)有 是直角的四边形是矩形 B例题导学 知识点1) 有一个角是直角的平行四 边形是矩形 【例1】如图，在四边形ABCD中，M,N,P,Q 分别是AB,BC,CD,DA的中点，且对角线 AC⊥BD.若AC=8,BD=6,则四边形 MNPQ的面积是 【变式练习】 1.添加下列一个条件，能使□ABCD成为矩 形的是 ( 【方法点拨】本题考查的是中点四边形知识， A.AB=CD B.ACI BD 掌握三角形中位线定理和矩形的判定定理 C.∠BAD=90 D.AB=BC 是关键 2.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分 【例2】如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分 别是AB,BC,CD,DA的中点，请添加 别是线段BC,AD的中点，过点A作BC的 个与四边形ABCD对角线有关的条件： 平行线交BE的延长线于点F,连接CF ,使四边形EFGH是矩形 (1)求证：△BDE≌△FAE: (2)求证：四边形ADCF为矩形 知识点2 对角线相等的平行四边形 D 是矩形 【方法点拨】(1)首先根据平行线的性质得到 【例3】如图，在四边形ABCD中，对角线 ∠AFE=∠DBE,再根据线段中点的定义 AC,BD相交于点O,且O是AC,BD的中 得到AE=DE,根据全等三角形的判定定理 点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC= 即可得到结论；(2)先证四边形ADCF是平 ∠BED=90°.求证：四边形ABCD是矩形 ·35 知识点3 有三个角是直角的四边形 是矩形 【例4】如图，在△ABC中，AC=6,AB=8, 【方法点拨】证明四边形是矩形，可以先证明 BC=10,P为BC边上一动点，PG⊥AC于 四边形是平行四边形，再证明四边形有一个 点G,PH⊥AB于点H, 内角是直角或对角线相等 (1)求证：四边形AGPH是矩形； (2)在点P的运动过程中，GH的长度是否 存在最小值？若存在，请求出最小值：若 不存在，请说明理由。 f 【方法点拨】(1)当题目中已知两个角是直角 时，可寻找第三个直角，根据“有三个角是直 角的四边形是矩形”证明；(2)由矩形的对角 线相等将未知线段转化到已知线段长的三 角形中，利用“垂线段最短”，根据三角形的 面积求其最值. 【变式练习】 3.如图，为了检查平行四边形书架ABCD 的侧边是否与上、下底都垂直，工人师傅 用一根绳子比较其对角线AC,BD的长 度，若二者长度相等，则该书架的侧边与 上、下底都垂直.请你说出其中的数学原 理： 【变式练习】 (第3题图) (第4题图) 5.平行四边形的内角平分线能够围成的四 边形是 () 4.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O, 且OA=OB=OC=OD,则它是 形 A.三角形 B.矩形 若∠AOB=60°，则AB:AC= C.正方形 D.不是平行四边形 ·36·第2课时 平行四边形的判定(2 ABM,BG 1AM.. ABG= MBG.$AGB= MGB 知识梳理 -90{*}又BG=BG..'$△ABG2△MBG(A$A)..'$AG= 1.平行且相等 GM,AB=BM同理可得AH=HN,AC=CN..'.GH/ 例题导学 MN.即GH/BC;(2)由(1)知.AB-BM-9cm,AC-CN 【例1】证明:'.AE AD,CF 1BC,.EAD= FCB 90*}..AD//BC...ADE三CBF,在△AED和△CFB 乙ADE-CBF. 18-14-4(cm),.'.MN=BM-BN=9-4-5(cm),.'*GH 中, EAD=乙FCB..△AED△CFB(AAS)..AD= AE-CF. 【变式练习】 BC.·AD/BC..'四边形ABCD是平行四边形。 【例2】 1.证明:在□ABCD中,AB=DC,AB/DC,DA=DC 解:AC与EF互相平分,证明如下:连接AF,CE.在 .CE=DC.AB=DC...AB=CE .'AB//DC.. BAE ABCD中,DC//AB,DC=AB.'.DF=BE..'DF+DC =E,ABF=ECF..'△ABF△ECF(ASA),.'$BF BE+AB,即CF-AE.又·.CF/AE,.'四边形AECF是 平行四边形,'.线段AC与EF互相平分 【变式练习】 *.AB-20F. 2.20* 3.6 4.28 1.解:(1)在ABCD中,AD//BC,AD=BC.ADF 18.2 特殊的平行四边形 BEF。.F是AB的中点,..AF-BF.在△ADF和 18.2.1矩形 ADF- BEF: 第1课时 矩形的性质 △BEF中, AFD= BFE.'△ADF△BEF(AAS). AF-BF, 知识梳理 '.AD-BE.又·AD//BE,.'四边形AEBD是平行四边 1.直角 2.(2)相等(3)直角(4)两 3.斜边的一半 形;(2)过点D作DG1BC于点G,过点B作BHICD于 例题导学 点H.·BD=BC=5.CD=6..CH=DH=1CD=3. 【例1】解;(1).四边形ABCD是矩形,'.AO=BO=OC OD.BAD= ABC=90{.AE平分 BAD.. BAE$$ '.BH=BC-CH=5-3=4..Snc= -1BC· = BAD=45{CAE=15*BAO=BAE+ CAE=60{}.'△ABO是等边三角形,.AO=AB-2, BC 四边形AEBD是平行四边形,..BE-AD...BE-BC-5. 'AC=2AO=4.'BC=AC-AB= 4-2=23 '.矩形ABCD的面积为AB·BC=2X23=43; (2).△ABO是等边三角形,.BO-AB, ABO=60{。 直线EF即为所求; (2)AD//BC : BAE-45*, ABC-90{*,.'$ AEB-90{*- BAE $$ *= BAE.'$AB=BE,.$BO=BE. OBE- ABC- $75 *} .OFE=OBE+ BEF=30{}+45*=75^*,$ DOE一 BOF OE一OF 对角线互相平分的四边形是 ·.OFE一BOE...OE=FE. 【例2】证明:连接BD. 平行四边形 CF.BD与AC交于点O..CE=CA,F是AE的中点 第3课时 三角形的中位线 '.CF ]AE.即 AFC-90*在矩形ABCD中,AC=BD 知识梳理 ABC= ABE=90$$OA=OB.'$$CAB= DBA..F$$ # 1.两边中点的线段 2.平行 等于 AB 是AE的中点..BF三AF...FAB三 FBA.. FAE 十CAB= FBA十DBA,'FAC=FBD, 例题导学 '.△AFC △BFD(SAS),.. BFD= AFC-90{,即BF 【例1】证明:连接BD..E,H分别是AB,AD的中点, 1FD. $EH/BD,EH-BD.同理FG/BD,FG=BD.$ 【变式练习】 '.EH/FG,.',四边形EFGH是平行四边形.【例2】解: 1.C 2. A 3.解:(1)在矩形ABCD中.D=90{*,DC/ (1)分别延长AG,AH交BC于点M,N.·BG平分 AB..'.BAN-AMD'.'BNAM..'$BNA-90*= 参考答案第6页(共55页) BAN- AMD, '. DBG+$BDG= $CDF+$$BDG= BDC=90*,即 D. 在△ABN 和△MAD 中,BNA- D. BEI DF,·'F是CE的中点,D是AC的中点,DF=3. AB-MA. '$AE//DF,AE-2DF=6..'BE AE.在 Rt△ABE中. '.△ABN△MAD(AAS);(2).△ABN△MAD. BE= AB-AE=(52) -6=14. 【例2】解:如 '.BN-AD-2.又':AN=4..'AB=AN+BN 答图,延长CB,DG交于点H,连接CF,C .四 4+2-25.$$-=AD·AB=225-45$ AG -S-S-S=45-84.B 5.93 第2课时 矩形的判定 知识梳理 边形ABCD是平行四边形,.'AD//BC,AD=BC.CD 1.直角 2.(1)相等 互相平分且相等 (2)三个角 AB=3③,..A= HBG..G为AB的中点,.'AG= 例题导学 [A-乙HBG, BG.在△ADG和△BHG中,AG=BG, 【例1】12【例2】证明:(1):AF/BC,'.AFE .△ADG DBE.E是AD的中点,.AE三DE.又:'AEF AGD- BGH, DEB...BDE△FAE(AAS);(2).AB=AC,D为 △BHG(ASA).'.AD=BH..△BFE由△BCE沿着 B$C的中点,..BD=DC,AD1BC,即ADC=90{$ BE所在的直线折叠得到,..BF一BC,EF-CE,..BF .△BDE△FAE,.'.AF=BD..'.AF=DC..AF//BC BC=BH. BFC= BCF. BFH= H... CFH '.四边形ADCF是平行四边形,又' ADC一90{,.四边 BFC+ BFH- BCF+ H=90*,.$CFD=90{,$$ 形ADCF是矩形.【例3】证明:连接EO..O是AC,BD * EDF+ECF=90,EFD+EFC=90*.'EF 的中点...AO-CO,BO=DO.*.四边形ABCD是平行四 CE.ECF= EFC.. EDF= EFD...ED=EF EF-C-3# 边形,在Rt△EBD中,BED=90{,O为BD的中点 【例3】解:(1)连接CE.易证 .EO-BD.在Rt△AEC中,乙AEC=90”.'O为AC △ABD△ACE,可得△DCE是直角三角形,利用勾股定 的中点..EO=AC...AC=BD,.四边形ABCD是矩 理求得DE-4V2,则CF--DE-22;(2)AM1BE,且 形。【例4】解:(1).AC=6,AB-8,BC=10..'AC*+ AM--BE.证明如下:延长DA到点G,使得AG-AD, AB=6+8-10,B[C=10{,*'AC$+AB=BC$ $$$ .'AD-AE. DAE-90{}..'AG-AE. GAE-90*$ ·M '.△ABC是直角三角形,A-90{*}又·PG1AC,PH AB...A= AGP= PHA-90*}...四边形AGPH是 矩形;(2)存在.连接AP.在矩形AGPH中,GH三AP.当 -AC, BAC- DAE-90*,AD-AE,'BAE-90*+$$$$ APIBC时,AP最短,此时AC·AB-BC·AP.即 (AB-AC. CAE=CAG.在△BAE和△CAG中,BAE=CAG. AE-AG, 为2 *.△BAE△CAG(SAS)... ABE= ACG,BE=CG 4.AM--BE.设AC.BE的交点为F.CG,BE的交点为 【变式练习】 H.. BAC-90*,.ABF+ AFB-90{,. ACG+$ 1.C 2.AC1BD 3.对角线相等的平行四边形是矩形,矩 CFH=90{.' BHG=90..'$BE1$CG..AM/ CG.$$ 形的四个角都是直角 4.矩 1:2 5.B $AMIBE,故AMLBE,且AM-BE. 专题突破(三) 利用中位线与 “斜中半”定理处理中点问题 【变式练习】 例题导学 2.解:如图,连接BE,延长CD交BE于点H,过点 【例1】解:连接AE,延长BE交DF于点G,在Rt△ABC C作CF1AB,垂足为F. 在Rt△ABC中. 中,ABC=90*,AB=BC,D是AC的中点...BD1AC .CD-5...BD=AD=CD=5,在Rt△ABD中,AB BD+AD=+5=5②. DBE= CDF.$$ 参考答案第7页(共55页)