(讲本)17.2 勾股定理的逆定理-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

17.2勾股定理的逆定理 第1课时勾股定理的逆定理 A知识梳理 分别为a,b):②计算c2与a2十的值，若c2 1.互逆命题与互逆定理 a2+形，则△ABC是以∠C为直角的直角三 (1)互逆命题：一般地，如果两个命题的题设 角形 和结论正好 ,那么这两个命题叫 做互逆命题.如果把其中一个叫做原命 题，那么另一个叫做它的 (2)互逆定理：一般地，如果一个定理的逆 命题经过证明是 的，那么它也 是一个定理，称这两个定理互为逆 定理. 注意：任何一个命题都有逆命题，但不是 任何一个定理都有逆定理. 2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足 那么这个三角形是直角三角形 3.判定一个三角形是直角三角形的方法 (1)通过边来判定 勾股定理的逆定理： 证明一个角是 (2)通过角来判定 证明两个锐角 4.勾股数 满足a2+=c2的三个 称为勾 【变式练习】 股数. 1.以下列各组线段为边长，不能构成直角三 B例题导学 角形的是 ( 知识点① 勾股定理的逆定理 A.6,8,10 B.2,3,4 【例1】已知a,b,c是△ABC的三边长，根据 C.1,5,√26 D.2,2,2√2 下列条件，判断△ABC是不是直角三角形： 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别 (1)a=1.5,b=2,c=2.5: 为a,b,c.下列条件中，不能说明△ABC (2)a=11,b=26,c=20: 是直角三角形的是 (3)a:b:c=25:7;24. A.∠A=∠B=∠C 【方法点拨】利用勾股定理的逆定理判断三 B.a2=b2+2 角形是否为直角三角形的一般步骤是：①确 C.∠A+∠B=∠C 定最大边（不妨设最大边长为℃，另两条边长 D.a:b:c=3:4:5 ·19· 3.如图，在正方形ABCD中，E是边AD的 C.直角三角形两直角边的平方和等于斜 中点，点F在边DC上，且DF=DC.试 边的平方 D.全等三角形的对应角相等 判断△BEF的形状，并说明理由。 5.写出下列定理的逆命题，并判断两者是否 互为逆定理 (1)等腰三角形的两底角相等； (2)对顶角相等. 知识点3 勾股数 【例3】下列各组数中，是勾股数的是 (填序号) ①a=7,b=24,c=25; ②a=5,b=13,c=12; 知识点2 互逆命题与互逆定理 ③a=4,b=5,c=6; 【例2】写出下列各命题的逆命题，并判断逆 ④a=0.5,b=0.3,c=0.4. 命题的真假： 【变式】本例中的各组数能作为直角三角形 (1)同位角相等； 的三边长的是 .(填序号) (2)如果a=|b,那么a=b: 【方法点拨】常见的勾股数：(1)3,4,5：(2)6， (3)等边三角形的三个角都是60° 8,10;(3)5,12,13;(4)7,24,25:(5)8,15, 【方法点拨】逆命题的题设和结论分别是原 17:(6)9,12,15. 命题的结论和题设，在书写逆命题的时候， 注意：勾股数是一组能满足a十b=c2的正 不能生硬的对调题设和结论，要注意语言的 整数，而能作为直角三角形三边长的数只满 通顺性。 足a2十b=c2,不一定是正整数. 【变式练习】 6.下列各组数是勾股数的是 A.4,5,6 B.0.3,0.4,0.5 C.7,24,25 n含号 7.将勾股数3,4,5扩大2倍，3倍，4倍，…， 【变式练习】 可以得到勾股数6,8,10：9,12,15：12,16， 4.下列命题的逆命题错误的是 20:…,则我们把3,4,5这样的勾股数称 A.两个数的绝对值相等，则它们的平方 为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股 相等 数： B.同旁内角互补，两直线平行 ·20· 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用 A知识梳理 逆定理可判断△ABC的形状，进而求出 1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长 △ABC的面积，最后由面积差法求出绿化 分别为a.b,斜边长为c,那么 面积. 2.逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足 a2+十b=c2,那么这个三角形是 三 角形. B例题导学 知识点① 勾股定理逆定理的应用 【例1】如图，在△ABC中， AB=AC,BC=20,D为AB 【变式练习】 上一点，且CD=16,BD= 2.如图，在平面直角坐标系 12,求AC的长 中，点P的坐标为（一2， 【方法点拨】由勾股定理的逆定理确定 3),以点O为圆心，以 △BCD的形状，设AD为x,然后根据勾股 OP的长为半径画弧，交 定理列方程解答。 x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介 于 ( A.一4和一3之间 B.3和4之间 C.一5和一4之间D.4和5之间 3.“三农”问题是关系国计民生的根本问题， 实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关 键举措.如图，某村有一块三角形空地进 行新的规划，点D是BC边上的一点，过 点D作垂直于AC的小路DE.经测量， 【变式练习】 AB=13 m,AD=12 m,AC=15 m,BD= 1.已知三角形的三边之比是5：12：13，如 5m. 果它的周长是60cm,那么这个三角形的 (1)求DC的长； 面积是 cm2. (2)求小路DE的长. 知识点2 勾股定理及逆定理的综合 应用 【例2】有一块空地如图所 示，∠ADC=90°，CD= 6 m,AD=8 m,AB 26m,BC=24m.现计划在该空地上进行绿 化，若平均每平方米投资100元，则该空地 绿化需要投入多少元？ 【方法点拨】连接AC,得Rt△ACD,由勾股 定理可以求得AC的长，然后由勾股定理的 ·21·≥0，r=,y=3.原式=(2xE+2)-(x匠+ 第2课时利用勾股定理解决实际问题 例题导学 5√xy=2xWE+2√y-xF-5y=xE-3xy 【例1】解：根据题意可知AB=50m,AC=(BC十10)m.设 -7√T-3√×8-名-5,4解：已知等式整 BC=xm,由勾股定理，得AC=AB十BC,即(x十10)= 50十x2,解得x=120.答：该河的宽度BC为120m. 理，得(x-2)十√y-3=0.(x-2)≥0，y-3≥0， 【例2】解：由折叠的性质，得AF=AD=10cm,DE=EF.在 ∴.(x-2)”=0,√y-3=0,.x-2=0,y-3=0.解得x Rt△ABF中，由勾股定理，得BF=√AF-AB= 2,y=3..(3x+y)-3(3x-y)(x+y)-(x-3y)(x+ √I0-8=6(cm.:四边形ABCD是长方形，.BC= 3y)=9x2+6xy+y-3(3x+2xy-y)-(x2-9y2)= AD=10cm.∴.CF=BC-BF=10-6=4(cm).设EC= 9x2+6xy+y2-9x-6xy+3y2-x2+9y=-x+13y. xcm,则EF=DE=(8一x)cm.在Rt△CEF中，由勾股定 当x=2,y=3时，原式=-2+13×3=-4+117=113. 理，得CF十EC=EF,即42十x2=(8一x),解得x=3. 第十六章整合与提升 .EC的长是3cm 考点突破 【变式练习】 【例1】(1)A(2)a≥-1且a≠2(3)2【例2】解：(1)原 L.C2.解：设PD=xcm,则PA=CP=(8-x)cm.在 式=(6厅-9+4同÷25-8÷2万-号2原 R1△PDC中，由勾股定理，得PC=PD十CD,即(8-x) =x2十4，解得x=3..当点P距离点D3cm时，PA= 式=5-55+(15-12)=5-55+3=8-5√5：(3)原式 PC.3. 4.解：(1)由折叠的性质，得DE=CD=√7， =(8匠-2)÷3√x=6(÷3√=2.【例3】解： ∠AED=∠C=90°.在R1△BDE中，由勾股定理，得BE= -a2”-号当a=2-5.6=2+时 2a+2b 2(a+b) √BD=DE区-√4-(W7)=3:(2)由折叠的性质，得AC 原式=2B,2-E=一2E=-B【例4A =AE.设AC=AE=x.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 2 AB=AC+BC,即(x+3)2=x2+(4十V万)，解得x= 第十七章勾股定理 4y7+1.AC=47+2 3 17.1勾股定理 3 第3课时勾股定理的作图与计算 第1课时勾股定理 例题导学 知识梳理 【例】解：如图所示。 【例2C 1.a2+6=c2 斜边的平方 例题导学 -101 【例I】解：由题意，得SD=S△DE十S△Da十S△Br, 【变式练习】 ∠DBC=90,(a+ba+b)=之ab+之c+号ah,整 1.B2.C3.5-14.D5.B6.解：(1)(-1,3) 理，得(a十b)2=2ab+c2.∴.a+6+2ab=2ab十c2.∴，a十 (2.0)(-3,-1D(2)5e=4X5-号×4X2-号× =2.【例2】解：(1)∠C=90°，a=12,c=13,∴.由勾 股定理，得b=√/C一a=√13-12=5：(2)设a=2x,b 3×3- ×5×1=9:(3)如图，点P即为所求. =x.,∠C=90°，.(2x)2十x2=25,解得x=5(负值已舍 根据两点间线段最短可知，点P到 去)..b=√5.【例3】B 【变式练习】 LA2.4913 AC BC AB394127.5或60 5.解：(1)，BD平分∠ABC,DE⊥AB∠C=90°，∴.DE= 点A,C的距离之和的最小值为A'C的长度，由勾股定理，得 CD=6.在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AE= A'C=④+4=42. √AD-DE=√/10-6=8：(2)设BC=x,则BE=x, 17.2勾股定理的逆定理 AB=8十x.在R1△ABC中，AC十BC=AB,即162十x 第1课时勾股定理的逆定理 =(8+x,解得x=12.BC=12.Sax=AC·BC 知识梳理 L.(1)相反逆命题(2)正确2.a十6=c3.(2)直角 =号×16×12=96.6.337.168.18 互余4.正整数 参考答案第3页（共55页） 例题导学 专题突破（二）利用勾股定理求几何最值 【例1】解：(1)，a°+=1.52+22=6.25.c2=2.52=6.25 例题导学 ∴a2十6=c2,∴.△ABC是直角三角形：(2)a十c=11 【例1】解：(1)如答图①，根据题意，得AQ=BQ,设CQ +202=521.b=26=676,.a2+c2≠b..△ABC不是直 xm,则DQ=(800-x)m,.200°十x2=400+(800-x)2, 角三角形：(3)ab:c=25:7:24,∴.设a=25k(k>0), 解得x=475.即CQ的长为475m:(2)如答图②，作点A关 则b=7k,c=24k,∴a2=(25k)2=625k2,6+c2=(7k)+ 于直线I的对称点A',连接AB,交直线l于点P.则PA= (24k)2=49k+576k2=625k.∴.+c2=a.∴.△ABC是 A'P,∴PA+PB=A'P+PB=AB,∴PA十PB的最小值 直角三角形.【例2】解：(1)逆命题：相等的角是同位角， 为A'B.过点A'作A'E⊥BE于点E.在R1△A'BE中，A'E 逆命题是假命题：(2)逆命题：如果a=b,那么|a=|b.逆 =CD=8O0m,BE=BD+DE=BD十CA'=BD十AC= 命题是真命题：(3)逆命题：三个角都是60°的三角形是等 400+200=600(m),.A'B=W√AE+BE= 边三角形.逆命题是真命题.【例3】①②【变式】①②① 【变式练习】 √800+600=1000(m).∴.PA+PB的最小值为1000m L.B2.A3.解：△BEF是直角三角形.理由如下：设正 方形ABCD的边长为4x,,E是边AD的中点，DF= 子DC,AE=DE=2,DF=x,CF=3,在R△EDF 中，由勾股定理，得EF=DE十DF=(2x)十x2=5x, 答图① 答图② 在R1△AEB中，由勾股定理，得BE=AE十AB=(2x) 【例2B【例3】A 十(4x)”=20x,在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF= 【变式练习】 BC+CF=(4x)+(3x)2=25x2,:EF+BE=25.x2= 1.252.9 3.C4.C BF,△BEF是直角三角形.4.D5.解：(1)逆命题： 两个角相等的三角形是等腰三角形：是互逆定理：(2)逆命 第十七章整合与提升 题：相等的角是对顶角：不是互逆定理.6.C7.5,12, 考点突破 138,15,179,40,41 【例1】解：连接BE.在R1△ABC中，∠C=90°，AC=16,BC 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 =12,由勾股定理，得AB=√AC十BC=√16+12= 知识梳理 20.DE垂直平分AB,.AE=BE.设EC=x,则BE= 1,a2十b=c22.直角 AE=16-x,在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE=BC+ 例题导学 BC,即(16-x)=1十，解得r=子BC=子 7 【例1】解：：CD=16,BD=12,BC=20,且12+16=20， 【例2】解：圆柱的侧面展开图如图所示，根据“两点之间线 .△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，.△ACD是直 段最短”可知AB最短 角三角形.设AD=x,则AC=AB=BD十AD=12十x.在 由题意，知AC Rt△ACD中，由勾股定理，得CD十AD=AC,即162+ r=12+,解得=兰AC=12+号-婴【例2】 =3X16÷2=24(cm),BC=18cm.在Rt△ABC中，由勾股 解：连接AC,得Rt△ACD,所以根据勾股定理，得AC= 定理，得AB=√AC十BC=24+18=30(cm).∴.小虫 AD+CD=8+6=10,即AC=10m.又10+242= 所爬的最短路径长为30cm【例3】解：，√c一a-6+ 26,即AC+BC=AB,△ABC是直角三角形，∴.S空 la-b=0.√e-a2-F≥0，la-bl≥0，∴.e-a-F=0,】 =Sae-5aew=号×10X24-号×6X8=96(m).96X a-b1=0.:/-a2-6=0, a+6=C·:.△ABC为 100=9600(元).答：该空地绿化需要投入9600元. a-b=0, la=b. 【变式练习】 等腰直角三角形.【例4】解：(1)在R1△BCD中，∠C= 1.1202.A3.解：(1)AB=13m,AD=12m,BD= 90°，BC=7m,CD=24m,由勾股定理，得BD= 5m,.AD+BD=12+5=169=132=AB,∠ADB √CD+BC=√24+7T=25(m).∴.BD的长为25m: =∠ADC=90°.在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC= (2).'AB=20 m.AD=15 m,BD=25 m..AB:+AD= √AC-AD=√15-12=9(m):(2)∠ADC=90°， 400十225=625=BD,..△ABD是直角三角形，∠A DELAC,SAD.DC-AC.DE.DE- 90,“口袋公园”的面积为Sa十San=之×ABX AD·DC_12x9_36(m). AC 15 5 AD+号×BC×CD=号×20X15+号×7×24= 参考答案第4页（共55页）