(讲本)17.1 勾股定理-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

第十七章 勾股定理 17.1勾股定理 第1课时 勾股定理 A知识梳理 方形、梯形)的面积之和等于另一些特殊图 形的面积，从而达到验证的目的。 1.勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为α， b,斜边长为c,那么 ,即直角三 角形两直角边的平方和等于 用符号语言表示为：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，则有AC+BC=AB. 2.证明勾股定理 【变式练习】 (1)通过测量进行验证： 1.课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾 (2)用直角三角形和正方形通过拼图进行 股定理，同学们经过讨论，给出下列两种图 验证（利用图形整体的面积等于各部 形，其中能证明勾股定理的是 分面积之和，如图) 方法 方法二 方法三 ① ② A.①行，②不行 B.①不行，②行 B例题导学 C.①，②都行 D.①，②都不行 2.边长为1的正方形网格如图所示，下面是 知识点1勾股定理的认识 勾股定理的探索与验证过程，请补充 【例1】如图，△ADE≌△BEC,∠A=∠B 完整： 90°，A,E,B三点在同一条直线上.借助这个 图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？ E bB SI= ,S2=,S3= 【方法点拨】用面积法验证勾股定理的关键 ∴.S1+S2=S3,即 2 是要找到一些特殊图形（如直角三角形、正 ·14· 知识点2利用勾股定理进行计算 知识点3 直角三角形外接图形的面积 【例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B, 关系 ∠C的对边分别是a,b,c. 【例3】如图，分别以直角三角形的三边为直 (1)已知a=12,c=13,求b的值： 径作半圆，其中两个半圆的面积分别为S= (2)已知a:b=2:1,c=5,求b的值 2 8元，S2=2元，则S的值为 【方法点拨】分清已知量和待求量.因为在 Rt△ABC中，a,b,c分别是Rt△ABC的三 边，且c为∠C的对边，即c为斜边，所以可 以利用勾股定理解决问题。 A品 B. 9 【方法点拨】掌握在任何一个直角三角形中， 两条直角边长的平方之和一定等于斜边长 的平方是解题的关键.此模型题目可推出一 【变式练习】 般结论：斜边所接图形面积等于两直角边所 接图形面积之和， 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9,AB= 【变式练习】 15,则点C到AB的距离是 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以 4.已知直角三角形的两边长分别为15和17， Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面 则这个直角三角形面积为 积分别为S1,S2,S3,且S1=8,S2=25,则 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平 S3= 分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB于点 E.已知CD=6,AD=10. (1)求线段AE的长； (2)求△ABC的面积. (第6题图) (第7题图) 7.如图，分别以Rt△ABC的三边为斜边向 外作等腰直角三角形，若AD=4,则阴影 部分的面积为 8.如图，在R△ABC中，∠ACB=90°，AB=6, 若以AC边和BC边为边分别向外作等腰 直角三角形AFC和等腰直角三角形 BEC.若△BEC的面积为S1,△AFC的 面积为S2,则S1十S2= ·15· 第2课时利用勾股定理解决实际问题 处.若两只松鼠经过的路程相等，则树 EF的高为 知识梳理 勾股定理是直角三角形的重要性质之 一，它把直角三角形的“形”的特征转化为两 直角边的平方和等于斜边的平方的“数”的 A.6.5m B.7m 关系.其主要应用有： C.7.5m D.8 m (1)已知直角三角形的两边长，求第三边的长； 2.如图，在长方形ABCD中，AD=8cm, (2)已知直角三角形的一边长，确定另两边 CD=4cm,点P在边AD上运动.当点P 的关系； 距离点D多远时，PA=PC (3)证明含平方关系的问题时，有时需要构 造直角三角形，以便利用勾股定理 B例题导学 知识点① 勾股定理的简单应用 【例1】如图，某人欲横渡一条河，由于水流的 影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B 50m,他在水中实际游的路程比河的宽度多 10m,求该河的宽度BC为多少米， 知识点2利用勾股定理解决折叠问题 【例2】如图，将长方形的一边AD沿AE折 叠，使点D落在BC边上的点F处，已知 AB=8cm,AD=10cm,求EC的长. 【方法点拨】挖掘实际问题中的隐含条件，找 到直角三角形，把实际问题转化到直角三角 形中，应用勾股定理解决。 【方法点拨】解决折叠问题时，常先设出一条 线段并表示出其他线段长，然后把已知线段 和表示出的线段集中到一个直角三角形中， 最后根据勾股定理列方程求解 【变式练习】 1.如图，已知树EF(垂直于地面)上的点B 处(BE=5m)有两只松鼠，为抢到A处 (点A,E在同一水平地面上，AE=10m) 的坚果，一只松鼠沿B一E一A到达点A 处，另一只松鼠沿B一F一A到达点A ·16· 【变式练习】 第3课时 勾股定理的作图与计算 3.如图，有一张三角形纸片ABC,∠C 90°，AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折 A知识梳理 叠，使点A与点B重合，那么折痕的长 1.勾股定理的应用：用于作图与计算。 为 cm. 2.求圆柱侧面上两点间的最短路线长的方 法：先将圆柱的侧面展开，确定两点的位 置，两点连接的线段即为最短路线，再在直 8 cm 角三角形中，利用勾股定理求其长度即可. B 6cm 3.求长方体（或正方体）表面上两点间的最 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上 短路线长的方法：先将长方体（或正方体） 的一点，将△ACD沿AD折叠，点C恰好落 的表面展开成平面图形，展开时一般要考 在AB上的点E处，且BD=4,CD=√7. 虑各种可能的情况.在各种可能的情况 (1)求BE的长； 中，分别确定两点的位置并连接成线段， (2)求AC的长. 再利用勾股定理分别求其长度，长度最短 的路线即为最短路线 B例题导学 知识点① 利用勾股定理在数轴上表 示实数 【例1】在如图所示的数轴上作出表示√/17 的点。 -101234一 【方法点拨】利用数轴上的单位长度结合勾 股定理，把所求线段作为直角三角形的斜 边，直角三角形的两直角边长分别为数轴上 单位长度的整数倍和数轴上两，点间的线段 长度，将所求线段转化为直角三角形中斜边 长是解决此类问题常用的方法 【变式练习】 1.如图，数轴上点A,B分别对应数1,2，过 点B作PQ⊥AB,以点B为圆心，AB的 长为半径画弧，交PQ于点C;以原点O 17。 为圆心，OC的长为半径画弧，交数轴的正 【变式练习】 半轴于点M,则点M对应的数是( 4.如图，在3×3的正方形网格中，若小正方 A.5 B.√5 C.√6 D.7 形的边长是1，则任意两个格点间的距离 不可能是 A.2 B.2√2 C.5 D.7 -2-1012345 (第1题图) (第2题图) 2.小明学习了在数轴上画出表示无理数的 (第4题图) (第5题图) 点的方法后，进行练习：如图，首先画数 5.如图，正方形网格中小正方形的边长为1， 轴，原点为O,在数轴上找到表示数2的 △ABC的三个顶点都在网格的格点上， 点A,然后过点A作AB⊥OA,使AB 则点C到AB边的距离为 3.以点O为圆心，OB的长为半径作弧， A.5 B713 交数轴的正半轴于点P,则点P所表示的 13 数介于 ( ) C.143 13 A.1和2之间 B.2和3之间 6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三 C.3和4之间 D.4和5之间 个顶点都在边长为1的正方形方格的格 3.如图，数轴上点A表示的实数是 点上 202 知识点2 勾股定理在网格中的应用 【例2】如图，网格中的每个小正方形的边 长均为1，△ABC的顶点A,B,C均在网 格的格点上，BD⊥AC于点D,则BD的 (1)写出点A,B,C的坐标：A 长为 B ,C (2)求△ABC的面积； (3)在y轴上确定一点P,使得点P到点 A,C的距离之和最小，并求出最小值 (画出示意图，并标明点P的位置) A.2⑤ C.45 3 B35 4 5 D.3 5 【方法点拨】先根据图形和三角形的面积公 式求出△ABC的面积，再根据勾股定理求 出AC,然后根据三角形的面积公式计算 即可. ·18-.r--3.原式-(2x+21y)-(x+ 第2课时 利用勾股定理解决实际问题 例题导学 $ y)=2x+2 y---5=-3y 【例1】解:根据题意可知AB-50m,AC-(BC+10)m.设 #4#-3# 4.解:已知等式整 BC=xm,由勾股定理,得AC=AB+BC,即(x十10) 50{}+-*,解得x-120.答:该河的宽度BC为120m 理,得(x-2)+ y-3=0..(x-2)0,y-3. 【例2】解:由折叠的性质,得AF=AD-10cm,DE-EF.在 '(-2)-0,y-3-0,,x-2=0,y-3-0.解得= Rt△ABF中,由勾股定理,得BF= AF*一AB{=$$$ 2.y-3. .(3x+y)-3(3x-y)(x十y)-(x-3y)(十 10-8=6(cm).·四边形ABCD是长方形,:BC= 3 y)=9r+6xy+y-3(3r{+2xy-y)-(r-9y)= AD=10cm. '$CF=BC-BF=10-6=4(cm).设EC= 9r+6xy+y-9r-6xy+3y{-r+9y=-x+13y}. rcm,则EF=DE=(8一x)cm.在Rt△CEF中,由勾股定 当x-2,y-3时,原式--2^+13$3=-4+117-113 理,得CF^{}+EC}=EF^{,即4+x^}=(8-x),解得$=3. 第十六章整合与提升 .EC的长是3cm. 考点突破 【变式练习】 【例1】(1)A(2)a二-1且a≠2(3)2【例2】解:(1)原 1.C 2.解:设PD=xcm,则PA=CP=(8一x)cm.在 Rt△PDC中,由勾股定理,得PC-PD+CD,即(8-x) -r^{}+4^{,解得x=3.'当点P距离点D3cm时,PA 式=5-53+(15-12)-5-53+3-8-53;(3)原式 4.解:(1)由折叠的性质,得DE一CD一/7, =(8-2)+3=6-3 -2.【例3】解: AED=C=90{*在Rt△BDE中,由勾股定理,得BE= 2a+2- 2(a十b) BD-DE=4-(7)-3;(2)由折叠的性质,得AC 原武2--2--2-3.【4】A AE.设AC三AE三x.在Rt△ABC中,由勾股定理,得 2 AB{=AC}+BC^{*,即(x十3){}-r*+(4+\7),解得x= 第十七章 勾股定理 477..AC-477. 17.1 勾股定理 第3课时 勾股定理的作图与计算 第1课时 勾股定理 例题导学 知识梳理 【例1】解:如图所示. 【例2】C 1.a{十b- 斜边的平方 例题导学 【例1】解:由题意,得Sarcp=SApr+S△pr+Sar. 【变式练习】 1.B 2.C 3.5-1 4.D 5.B 6.解:(1)(-1,3) 理,得(a+b)-2ab+c,',a+b+2ab-2ab+c*..十 =.【例2】解;(1)C-90,a=12,c-13,.由勾 股定理,得b- c-a- 13{-12^-5;(2)设a=2$,$$$$ 3X3一 -x..C-90.(2x)+-25,解得x-/5(负值已舍 根据两点间线段最短可知,点P到 去).6-. 【例3】B 【变式练习】 4.127.5或60 5.解:(1):BD平分 ABC,DE1AB. C-90*}。..DE= 点A,C的距离之和的最小值为AC的长度,由勾股定理,得 CD=6. 在 Rt△ADE 中,AED=90*,..AE= A'C-4+4-4/② AD-DE= 10-6-8;(2)设BC=x.则BE-$$$ 17.2 勾股定理的逆定理 AB-8+x.在Rt△ABC中,AC*+BC$=AB*,即16*+$ 第1课时 勾股定理的逆定理 =(8+x),解得x=12.:.BC=12..SAcAC·BC 知识梳理 1.(1)相反 逆命题 (2)正确 2.a十=3.(2)直角 互余 4.正整数 参考答案 第3页(共55页)