专题研究三 数列的应用问题（人教A版2019选必二）-2024-2025学年寒假高二数学同步练习（全国通用）

专题研究三 数列的应用问题 1．某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C.－1 D.－1 2．某地为了保护水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕还林a万亩，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕还林(　　) A．10a(1.18－1)万亩 B．a(1.18－1)万亩 C．10a(1.17－1)万亩 D．a(1.17－1)万亩 3．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●….若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 4．某企业在2023年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为(　　) A. B. C. D. 5．核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上．核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月24日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电．但核电造福人类时，核电站的核泄漏、核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩(参考数据：lg 0.975 3≈－0.010 86)(　　) A.% B.% C. D. 6．【多选题】如图所示，作边长为3的正三角形ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去．则下列说法正确的是(　　) A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形的面积为 B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形的面积为 C．由大到小，n个内切圆的面积和为π D．由大到小，n个内切圆的面积和为3π 7. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成的，且从第二层开始，每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一层正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn，则(　　) A．Sn无限大 B．Sn<3(3＋)m C．Sn＝3(3＋)m D．Sn可以取100m 8．小明用数列{an}记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝－1(1≤k≤31)，他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝－1.记录完毕后，小明计算出a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的总天数为________． 9．如图所示，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，其中横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项，按如此规律，则a2 017＋a2 018＋a2 019＋a2 020＝________． 10．如图所示的三角形数阵(第一行有一个2n－1，第二行有两个2n－2，…，最下面一行有n个20，n∈N*)中所有数的和为________． 2n－1 2n－2　2n－2 …　…　… 22　22　…　22　22 21　21　21　…　21　21 20　20　20　20　…　20　20 11．某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2022年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为新产品赢利．(参考数据：1.257≈4.8，1.258≈6.0，1.259≈7.5，1.2510≈9.3) (1)试求f(n)的表达式； (2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由． 12．习近平主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2022年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加. (1)设n年内(2022年为第一年)该地旅游业的总投入为Sn万元，总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式； (2)至少到哪一年，该地旅游业的总收入才能超过总投入？ (取lg 2＝0.301 0，lg 5＝0.699 0) 13．某地牧场牧草深受病害困扰，某科研团队研制了治疗牧草病害的新药，为测试新药的效果，进行了如下的喷洒试验：隔离选取1 000平方米牧草，在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草，200平方米为病害牧草，每三天给病害牧草喷药一次．试验的结论为：每次喷药前的病害牧草有80%的面积会在下一次喷药前变为正常牧草，每次喷药前的正常牧草有t%(0<t<20)的面积会在下一次喷药前被感染为病害牧草．假设试验过程牧草的总面积不变，记第n次喷药前正常牧草的面积为an平方米． (1)求使得a2≥900成立的t的最大整数值； (2)证明：在t取(1)中最大整数值的情况下，如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920平方米． 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题研究三 数列的应用问题 1．某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C.－1 D.－1 答案　C 解析　设月平均增长率为p，则(1＋p)11＝m，∴p＝－1. 2．某地为了保护水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕还林a万亩，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕还林(　　) A．10a(1.18－1)万亩 B．a(1.18－1)万亩 C．10a(1.17－1)万亩 D．a(1.17－1)万亩 答案　A 解析　记2018年为第一年，第n年退耕还林an万亩，则{an}为等比数列，且a1＝a，公比q＝1＋10%＝1.1，则数列{an}的前8项和为＝＝10a(1.18－1)，所以到2025年一共退耕还林10a(1.18－1)万亩． 3．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●….若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案　C 解析　构造数列{an}，其中an表示第n个黑圈及前面所有圆圈的个数，观察排列规律易得an＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝n(n＋3)(或an＝2＋3＋4＋…＋n＋1＝n(n＋3))． 令an＝n(n＋3)≤120，解得n≤14.故选C. 4．某企业在2023年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知条件和分期付款公式，可得a[(1＋m)9＋(1＋m)8＋…＋(1＋m)＋1]＝M(1＋m)10， ∴a＝.故选C. 5．核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上．核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向，2021年10月24日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电．但核电造福人类时，核电站的核泄漏、核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩(参考数据：lg 0.975 3≈－0.010 86)(　　) A.% B.% C. D. 答案　B 解析　由题意，设一开始锶90质量为1， 则每年的剩余量构成以1－2.47%＝97.53%为公比的等比数列， 则经过800年锶90剩余质量为a＝1×(97.53%)800＝(97.53%)800， 两边取常用对数可得lg a＝lg (97.53%)800＝800lg 0.975 3≈800×(－0.010 86)＝－8.688， 所以a≈10－8.688＝＝%≈%. 故选B. 6．【多选题】如图所示，作边长为3的正三角形ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去．则下列说法正确的是(　　) A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形的面积为 B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形的面积为 C．由大到小，n个内切圆的面积和为π D．由大到小，n个内切圆的面积和为3π 答案　BC 解析　S△ABC＝×32＝，易知下一个正三角形的面积依次为上一个正三角形面积的，所以第三个正三角形的面积为×＝，故A错误，B正确．又根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成首项为π，公比为的等比数列，故由大到小，n个内切圆的面积和为＝π，则C正确，D错误．故选BC. 7. 侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成的，且从第二层开始，每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一层正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度为Sn，则(　　) A．Sn无限大 B．Sn<3(3＋)m C．Sn＝3(3＋)m D．Sn可以取100m 答案　B 解析　由题意，外围第一层正方形的边长是m；则第二层的正方形边长为＝m； 第三层的正方形边长为 ＝m； …； 第n层的正方形边长为m. 故Sn＝4×m＝＜＝(9＋3)m.故选B. 8．小明用数列{an}记录某地区2023年8月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝－1(1≤k≤31)，他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝－1.记录完毕后，小明计算出a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的总天数为________． 答案　28 解析　由题意可知，气象台预报准确时akbk＝1，不准确时akbk＝－1，由a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a31b31＝25，设其中有x天准确，则x－(31－x)＝25，解得x＝28. 9．如图所示，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点A，B，C，D，E，F的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，其中横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项，按如此规律，则a2 017＋a2 018＋a2 019＋a2 020＝________． 答案　2 019 解析　由已知，可得a1＝1，a3＝－1，a5＝2，a7＝－2，a9＝3，a11＝－3，∴a2 017＝＋1＝505，a2 019＝－505. 又a2＝1，a4＝2，a6＝3，a8＝4，a10＝5，a12＝6， ∴a2 018＝＝1 009，a2 020＝＝1 010， ∴a2 017＋a2 018＋a2 019＋a2 020＝505＋1 009－505＋1 010＝2 019. 10．如图所示的三角形数阵(第一行有一个2n－1，第二行有两个2n－2，…，最下面一行有n个20，n∈N*)中所有数的和为________． 2n－1 2n－2　2n－2 …　…　… 22　22　…　22　22 21　21　21　…　21　21 20　20　20　20　…　20　20 答案　2n＋1－n－2 解析　由题意，设数阵中所有数的和为T， 则T＝n＋2(n－1)＋22(n－2)＋23(n－3)＋…＋2n－2×2＋2n－1①， 2T＝2n＋22(n－1)＋23(n－2)＋24(n－3)＋…＋2n－1×2＋2n②， 由①－②，得－T＝n－2－22－23－…－2n－1－2n＝n－(21＋22＋23＋…＋2n)＝n－＝n＋2－2n＋1， 所以T＝2n＋1－n－2. 11．某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2022年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注：含第n年，累计利润＝累计收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认为新产品赢利．(参考数据：1.257≈4.8，1.258≈6.0，1.259≈7.5，1.2510≈9.3) (1)试求f(n)的表达式； (2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由． 解析　(1)由题意知，第1年至此后第n(n∈N*)年的累计投入为4＋(n－1)＝n＋3(千万元)， 设第n年的收入为an，前n年的累计收入为Sn， 由题意得a1＝，an＋1＝an×(1＋25%)＝an， 所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， 则有an＝×n－1， Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝2， 所以f(n)＝Sn－(n＋3)＝2－n－3，即f(n)＝2×－n－5，n∈N*. (2)因为f(n＋1)－f(n)＝×－1， 所以当n≤3时，f(n＋1)－f(n)<0，即{f(n)}为递减数列， 当n≥4时，f(n＋1)－f(n)>0，即{f(n)}为递增数列， 又f(1)＝－<0，f(8)＝2×8－8－5<0，f(9)＝2×9－9－5>0， 所以该新产品将从第9年开始并持续赢利． 所以该新产品将从2030年开始并持续赢利． 12．习近平主席说：“绿水青山就是金山银山”．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2022年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加. (1)设n年内(2022年为第一年)该地旅游业的总投入为Sn万元，总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式； (2)至少到哪一年，该地旅游业的总收入才能超过总投入？ (取lg 2＝0.301 0，lg 5＝0.699 0) 解析　(1)2022年投入为1 000万元，第n年投入为1 000×万元， 所以n年内的总投入为Sn＝1 000＋1 000×＋…＋1 000×＝＝5 000×[1－]， 2022年收入500万元，第n年收入为500×万元． 所以n年内的总收入为Tn＝500＋500×＋…＋500× ＝＝2 000×. (2)设经过n(n∈N*)年旅游业的总收入才能超过总投入，由此Tn－Sn>0， 即2 000×－5 000×>0， 化简得5×＋2×－7>0， 设x＝(0<x<1)，代入上式得5x2－7x＋2>0， 解此不等式，得0<x<或x>1(舍去)． 即<，由此得n＞，又≈4.1，则n≥5. 所以至少到2026年该地旅游业的总收入才能超过总投入． 13．某地牧场牧草深受病害困扰，某科研团队研制了治疗牧草病害的新药，为测试新药的效果，进行了如下的喷洒试验：隔离选取1 000平方米牧草，在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草，200平方米为病害牧草，每三天给病害牧草喷药一次．试验的结论为：每次喷药前的病害牧草有80%的面积会在下一次喷药前变为正常牧草，每次喷药前的正常牧草有t%(0<t<20)的面积会在下一次喷药前被感染为病害牧草．假设试验过程牧草的总面积不变，记第n次喷药前正常牧草的面积为an平方米． (1)求使得a2≥900成立的t的最大整数值； (2)证明：在t取(1)中最大整数值的情况下，如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920平方米． 解析　(1)由题意，在第一次喷药前，正常牧草面积a1＝800平方米． an＋1＝(1 000－an)×80%＋an×(1－t%)＝800＋an.① 所以a2＝800＋×800＝960－8t. 要使得a2≥900成立，即960－8t≥900成立，则t≤7.5. 所以使得a2≥900成立的t的最大整数值为7. (2)证明：由题设得t＝7，代入①式， 可得an＋1＝0.13an＋800.② 用待定系数法，设实数λ满足an＋1＋λ＝0.13(an＋λ)．③ ③－②，可得－0.87λ＝800，λ＝－. 则数列{an＋λ}是公比为0.13的等比数列，通项公式为an＋λ＝(a1＋λ)×0.13n－1， 解得an＝(a1＋λ)×0.13n－1－λ. 又因为a1＋λ＝800－<800－＝0. 故an<－λ. 又因为87×920＝80 040>80 000. 所以an<－λ＝<＝920， 即如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920平方米． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$