专题10 概率与统计（5大考点）-【中职专用】2025年技能高考数学二轮复习专项突破（湖北专用）

专题10 概率与统计 考纲解析 · 随机事件（不可能事件、必然事件等） · 古典概型的概率计算 · 互斥事件的概率加法公式 考点预测 · 互斥事件，对立事件的辨析 · 古典概型的概率计算 · 互斥事件的概率加法公式 · 联系实际求事件发生的概率 要点自测 考点01 样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母 ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 考点突破 1．下列三个命题：①任何事件的概率均满足；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】利用频率估算概率，命题与定理，由题意对给出的各个选项进行逐一判定并分析即可. 【详解】任何事件的概率均满足为假命题， 因为必然事件的概率，故①错误； 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是为假命题， 因为是出现正面的频率，故②错误； 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率为假命题， 因为大量重复试验，随机事件频率的稳定值才可以作为概率的估计值，故③错误. 因此正确的说法是0个， 故选：A. 2．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 3．对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．与同时发生 B．与不能同时发生 C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生 【答案】D 【分析】理解和事件的是至少有一个发生即可判断． 【详解】解：两个事件， 则事件表示的含义是事件至少有一个发生， 故选：D． 考点02 事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件与事件至少有一个发生，称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) (或) 交事件 事件与事件同时发生，称这样一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) (或) 考点突破 4．如果事件与事件互斥，那么（    ）条件. A． B． C．与一定互斥 D．与一定独立 【答案】B 【分析】根据题意，结合实例，利用互斥事件的定义，独立事件的定义，以及概率的意义，逐项判定，即可求解. 【详解】例如：口袋中由3个红球、2个白球和1个黄球，从而任取一个球， 事件“表示取到的是红球”，事件“表示取到得是白球”，事件“表示取到的是黄球”， 此时，事件，事件和事件是互斥事件，所以事件不可能同时发生， 且， 对于A中，由，所以A不正确； 对于B中，由事件与事件不可能同时发生，可得，所以B正确； 对于C中，由事件；“取得一个球不是红球”，事件：“取得一个球不是白球”， 当取得到的一个球为黄球时，此时事件和事件同时发生， 所以与事件不一定互斥，所以C不正确； 对于D中，由，，可得， 此时事件和事件不独立事件，所以D错误. 故选：B. 5．已知事件相互独立，，，则（    ） A．0.88 B．0.9 C．0.7 D．0.72 【答案】C 【分析】根据事件相互独立得到，结合求出答案. 【详解】因为事件相互独立，故， 又，， 所以. 故选：C 6．已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（   ） A．0.06 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】根据对立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】因为B与C互为对立，， 所以， 因为A与B互斥， 所以. 故选：D. 考点03 事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件发生，事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件) (或) 互斥事件 如果事件与事件不能同时发生，称事件与事件互斥(或互不相容) 若，则与互斥 对立事件 如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为 ，且，则与对立 考点突破 7．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】A 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是. 故选：A 8．从一箱奖券中随机地抽取一件，设事件“抽到一等奖”，事件“抽到二等奖”，事件“抽到三等奖”.已知，则事件“抽到的不是一等奖”的概率为（    ） A．0.20 B．0.39 C．0.35 D．0.45 【答案】D 【分析】由“抽到的不是一等奖”的概率与“抽到一等奖”的概率和为1求解即可. 【详解】由“抽到的不是一等奖”的概率与“抽到一等奖”的概率和为1可得事件“抽到的不是一等奖”的概率为. 故选：D 9．从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 【答案】C 【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在之间的频率，用频率估计概率，可得结果. 【详解】在所给的数据中，在之间的数据有498,501,500,501,499共5个， 所以数据在之间的频率为：. 用频率估计概率，则所求概率为. 故选：C 考点04 概率与频率 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率来估计概率. 考点突破 10．下列说法一定正确的是（   ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．随机事件发生的概率与试验次数无关 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 【答案】B 【分析】根据频率与概率的关系得到ACD错误，B正确. 【详解】A选项，一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，也可能出现三投都不中的情况，A错误； B选项，随机事件发生的概率是一个固定的值，与试验次数无关，B正确； C选项，若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票不一定会中奖一元，C错误； D选项，一个骰子掷一次得到2的概率是，掷6次出现2的次数不确定，可能是1次，也可能是2次或者其他次数，D错误. 故选：B 11．某口袋中有大小、质地均相同的红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红、黄、蓝球的频率依次为35%、25%和40%，试估计口袋中三种玻璃球的数目是（    ） A．35个、25个、12个； B．15个、18个、39个； C．25个、18个、29个； D．29个、25个、18个． 【答案】C 【分析】用72乘以每一种球对应的频率可得答案. 【详解】由题意得口袋中红球的数目为个， 黄球的数目为个， 蓝球的数目为个. 故选：C 12．在一次志愿者活动中，某居民小区有2男2女报名，活动方需从中选取2人，则选中1男1女的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任选人、男女的方法数，以及古典概型概率计算公式来求得正确答案. 【详解】设事件为“选中1男1女”， 由题知活动方需从报名的2男2女中选取2人， 则共有种不同的选法， 其中选取的2人中为1男1女的有种不同的选法， 故． 故选：C 考点05 古典概型 1．古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 考点突破 13．抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上的数字是6的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率特点直接得出结果即可. 【详解】由骰子的质地均匀知，骰子的个点数朝上的概率相等，都为， 故选：D. 14．三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有庐山未被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出从四大名山中任选一个旅游的方法，再求四大名山中仅有庐山未被选中的方法数，则两者相除的概率. 【详解】三名同学均从四大名山中任选一个旅游的方法数为，其中仅有庐山未被选中的方法数为，所以仅有庐山未被选中的概率. 故答案选：C． 模拟演练 一、单选题 1．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，，则“”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出基本事件的总数和随机事件“”中含有的基本事件的个数，利用对立事件的概率公式可求“”的概率. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有种基本事件， 设为抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，，则“”， 则中共有基本事件3种：，， 所以，故“”的概率为. 故选：D. 2．已知事件与事件互斥，且，则（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 【答案】C 【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算可得. 【详解】因为事件与事件互斥，所以. 故选：C 3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】由题意，抛掷一枚质地均匀的骰子一次，有6种结果，并且每种结果等可能出现， 其中“出现的点数为偶数”的情况有3种， 故所求概率为. 故选:A 4．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（    ） A．55石 B．65石 C．75石 D．85石 【答案】B 【分析】根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详解】由杯里200粒米内夹谷13粒，得米内夹谷的频率为， 所以1000石米内夹谷约（石）. 故选：B 5．从两名男生（记为和），一名女生（记为）中任意抽取两人参加志愿者活动，则抽到的两人都是男生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，通过列举，得到从人中抽取人共有种情况，全是男生只有种情况，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】从两名男生（记为和），一名女生（记为）中任意抽取两人，有，共种， 全是男生有：，所以抽到的两人都是男生的概率为， 故选：A. 6．已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 【答案】C 【分析】由条件概率公式、相互独立事件概率乘法公式与对立事件的概率关系可得. 【详解】因为事件与独立，且， 所以，故， 所以. 故选：C. 7．近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，即可得到总的方案，甲、乙都去北京，则丙丁只能在成都和贵阳各自选一个有2种选法，根据古典概型即可求解. 【详解】四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，总共有（种）方案．因为甲、乙都去北京，则丙、丁分别去成都或贵阳，所以有2种方案，故甲、乙都去北京的概率为. 故选：B． 8．已知随机事件，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得． 【详解】∵， ∴， 故选：B. 二、多选题 9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是(    ). A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，由A与B互斥，得，B正确； 对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确； 对于D，由A与B相互独立，得，相互独立，则，D错误. 故选：BC 10．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是对立的事件是(    ). A．“恰有一名女生”和“全是女生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至多有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】CD 【分析】利用对立事件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A选项，“恰有一名女生”和“全是女生”不能同时发生，但可以同时不发生，所以A不是对立事件； 对于B选项，“至少有一名男生”和“至少有一名女生” 可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，所以B不是对立事件； 对于C，“至多有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但必有一个发生，C是对立事件； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D是对立事件. 故选：CD. 三、填空题 11．在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 【答案】/0.75 【分析】利用条件概率公式和古典概率模型即可求解. 【详解】设样本空间为事件，第一张是偶数为事件，第二张是奇数为事件， 则由题可得，， 共有20个样本点， 共有8个样本点， 共有6个样本点， 所以, 故答案为: . 12．设A，B是一次随机试验中的两个相互独立事件，且，则 ． 【答案】 【分析】由对立事件的概率公式和相互独立事件的概率乘法公式计算. 【详解】由已知得， 因为A，B相互独立，所以． 故答案为：. 13．甲乙两人进行乒乓球比赛，若甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为 . 【答案】/ 【分析】由对立事件的概率和为计算即可. 【详解】因为甲获胜的概率为，所以乙获胜的概率为. 故答案为：. 14．从这个数中随机选择一个数，这个数平方的个位数字为的概率 . 【答案】/0.2 【分析】利用列举法求解出古典概型的概率. 【详解】， 其中个位数字是的有，共个， 所以所求概率为， 故答案为： 四、解答题 15．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛. (1)求抽取的2个项目都是趣味项目的概率； (2)若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】利用列举法写出样本空间，结合古典概型的计算公式对（1）（2）进行求解即可. 【详解】（1）设3个趣味项目分别为（跳绳），（踢毽子），（篮球投篮），2个弹跳项目分别为（跳高），（跳远）. 从5个项目中随机抽取2个，其样本空间，共10个样本点， 设事件为“抽取到的这2个项目都是趣味项目”， 则，共3个样本点， 故所求概率为. （2）从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个， 其样本空间，共6个样本点， 其中，抽取到的这2个项目包括（跳绳）但不包括（跳高）的基本事件为，共1个样本点， 故所求概率为. 16．2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动． (1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； (2)求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）写出试验包含的所有可能发生的情况组成样本空间； （2）写出所求事件包含的情况数，根据古典概型即可计算概率． 【详解】（1）将2位男教师记为，3位女教师记为， 则样本空间，共有10个样本点． （2）设事件表示“选出的2名教师中至少有1名女教师”， 则， 中包含9个样本点，故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 概率与统计 考纲解析 · 随机事件（不可能事件、必然事件等） · 古典概型的概率计算 · 互斥事件的概率加法公式 考点预测 · 互斥事件，对立事件的辨析 · 古典概型的概率计算 · 互斥事件的概率加法公式 · 联系实际求事件发生的概率 要点自测 考点01 样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． (2)随机事件 ①定义：将样本空间的子集称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母 ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 考点突破 1．下列三个命题：①任何事件的概率均满足；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 3．对于两个事件，则事件表示的含义是（    ） A．与同时发生 B．与不能同时发生 C．与有且仅有一个发生 D．与至少有一个发生 考点02 事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件与事件至少有一个发生，称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) (或) 交事件 事件与事件同时发生，称这样一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) (或) 考点突破 4．如果事件与事件互斥，那么（    ）条件. A． B． C．与一定互斥 D．与一定独立 5．已知事件相互独立，，，则（    ） A．0.88 B．0.9 C．0.7 D．0.72 6．已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（   ） A．0.06 B．0.5 C．0.6 D．0.7 考点03 事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件发生，事件一定发生，称事件包含事件(或事件包含于事件) (或) 互斥事件 如果事件与事件不能同时发生，称事件与事件互斥(或互不相容) 若，则与互斥 对立事件 如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为 ，且，则与对立 考点突破 7．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 8．从一箱奖券中随机地抽取一件，设事件“抽到一等奖”，事件“抽到二等奖”，事件“抽到三等奖”.已知，则事件“抽到的不是一等奖”的概率为（    ） A．0.20 B．0.39 C．0.35 D．0.45 9．从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在之间的概率约为（    ） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5 考点04 概率与频率 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率来估计概率. 考点突破 10．下列说法一定正确的是（   ） A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B．随机事件发生的概率与试验次数无关 C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D．一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 11．某口袋中有大小、质地均相同的红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红、黄、蓝球的频率依次为35%、25%和40%，试估计口袋中三种玻璃球的数目是（    ） A．35个、25个、12个； B．15个、18个、39个； C．25个、18个、29个； D．29个、25个、18个． 12．在一次志愿者活动中，某居民小区有2男2女报名，活动方需从中选取2人，则选中1男1女的概率是（    ） A． B． C． D． 考点05 古典概型 1．古典概型 具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2．古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 考点突破 13．抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上的数字是6的概率为（   ） A． B． C． D． 14．三名同学每人均从江西井冈山、庐山、三清山和龙虎山四大名山中任选一个旅游，则这四大名山中仅有庐山未被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、单选题 1．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为，，则“”的概率为（   ） A． B． C． D． 2．已知事件与事件互斥，且，则（    ） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 3．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 4．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”问题.现有米铺收米，一农民来卖米1000石，验收发现米内夹谷，随机取出一杯，数得杯里200粒米内夹谷13粒，估计这批米内夹谷约为（    ） A．55石 B．65石 C．75石 D．85石 5．从两名男生（记为和），一名女生（记为）中任意抽取两人参加志愿者活动，则抽到的两人都是男生的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 7．近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知随机事件，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知事件，满足，，则下列结论正确的是(    ). A．若，则 B．若与互斥，则 C．若，则与相互独立 D．若与相互独立，则 10．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是对立的事件是(    ). A．“恰有一名女生”和“全是女生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至多有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 三、填空题 11．在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是 ． 12．设A，B是一次随机试验中的两个相互独立事件，且，则 ． 13．甲乙两人进行乒乓球比赛，若甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为 . 14．从这个数中随机选择一个数，这个数平方的个位数字为的概率 . 四、解答题 15．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛. (1)求抽取的2个项目都是趣味项目的概率； (2)若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率. 16．2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动． (1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间； (2)求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$