1.3.1函数的单调性与导数（教学课件）数学湘教版选择性必修第二册

1.3导数在研究函数中的应用 1.3.1函数的单调性与导数 湘教版选择性必修第二册 第1章导数及其应用 学习目标 目标 1 理解探索函数的单调性与导数的关系的过程 掌握函数的单调性与导数的关系 会利用导数求函数的单调区间 重点 2 难点 3 探索函数的单调性与导数的关系的过程 掌握函数的单调性与导数的关系 会利用导数求函数的单调区间 两函数之和差的求导法则： 两函数乘积的求导法则： 函数常数倍的求导法则： 两函数之商的求导法则： 温故知新 3 温故知新 交流与讨论 如何判断证明函数单调性？ 请你判断函数 的单调性。 x y O 定义法 图象法 新课导入 以往我们是从单调性的定义或者图像出发去判断一个函数在区间(a，b)上的单调性，但当函数的解析式较复杂时，图像并不好画，对于x1 ≠ x2，要想对 f (x1)与 f (x2)的大小关系或对平均变化率 的正负作出一个明确的判断，不是一件容易的事情． 现在，导数给我们提供了一种解决此类问题的有效方法． 新课讲授 我们继续研究函数 的单调性。 1.请求出函数 的导数 2.请在同一坐标系下画出函数 和其导函数y=2x的图像. 3.结合图像请观察原函数的单调性 与导函数的正负之间的关系？ 新课讲授 观察图象可以发现： 在y轴的右边，f (x) = x²单调递增，其导数为正； 在 y轴的左边，f (x) = x²单调递减，其导数为负． 这个结论对其他函数是否成立？请大家观察下面函数图像，探究函数单调性与导函数正负是否也有一样的结果。 7 观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系. 新课讲授 原函数的单调递增 导函数为正 原函数的单调递减 导函数为负 函数f (x) = sinx和它的导函数 f′ (x) = cosx在 的图象如下． 如图，过这段导函数曲线和x轴的两个交点分别作平行于y轴的直线，则这两条直线把f (x) = sinx及其导函数的图象分成了左、中、右三部分． 新课讲授 函数f (x) = sinx和它的导函数 f′ (x) = cosx在 的图象如下． 分别观察每部分中的两段曲线，可以发现函数和它的导函数的符号之间有如下关联： 新课讲授 左边，函数单调递增，导数为正 中间，函数单调递减，导数为负 右边，函数单调递增，导数还是为正 是不是函数的单调性和它的导数的正负之间有确定的联系呢?让我们观察更多的例子． 图（1）是函数f (x) = ex－x和它的导函数 f′ (x) = ex－1的图象． 新课讲授 图（2）是函数 和它的导函数 的图象． 新课讲授 通过对这些例子的观察，我们发现，对于一般函数，其单调性与其导数的正负之间有如下法则： 若在区间(a，b)内， f ′ (x) > 0，则函数 f (x) 在此区间内单调递增， (a，b)为 f (x) 的单调递增区间； 若在区间(a，b)内， f ′ (x) < 0，则函数 f (x) 在此区间内单调递减， (a，b)为 f (x) 的单调递减区间． 新课讲授 导数的几何意义是切点处切线的斜率，你能从几何意义的角度，解释上面函数单调性与其导数的关系吗？ 直观地看，导数为正表明切线的斜率为正，这是增函数曲线的几何特征，从代数方面看，导数是平均变化率的极限，导数为正，说明在很小的区间上平均变化率为正，任意的有限区间可以分成很多小区间，每个小区间上的平均变化率为正，合起来的平均变化率也为正，因而递增． 新课讲授 例1利用导数研究二次函数的f (x) =ax2＋bx＋c单调性． 典例分析 15 例2 求下列函数的单调区间． 典例分析 典例分析 例2 求下列函数的单调区间． 17 利用导数确定函数的单调性步骤： （1）确定函数 f (x)的定义域． （2）求出函数的导数 f′ (x) ． （3）在定义域内 解不等式 f′ (x)>0，得函数单增区间； 解不等式 f′ (x)<0，得函数单减区间． 注：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 感悟提升 根据上面例题总结利用导数求函数单调区间的方法步骤 (-∞，2) ， (2，+∞) . (0，+∞) ，无单调递减区间. (-2，1) ， (-∞，-2) ， (1，+∞) . 学以致用 新课讲授 思考：导数的正负对应于函数的增减，导数的绝对值大小和函数的性态又有什么关系呢? 位移对时间的导数是瞬时速度．瞬时速度的绝对值大说明跑得快，绝对值小说明跑得慢，函数的导数就是函数值关于自变量的瞬时变化率，变化率的绝对值大说明函数值变得快，绝对值小说明函数值变得慢． 从函数的图象上来看，导数是切线的斜率．斜率的绝对值大说明切线陡，曲线也就陡；斜率的绝对值小说明切线较平，曲线也就平缓一些． 例3 如图，圆C和直角三角形AOB的两边相切，射线OP从OA处开始，绕点O匀速旋转（到OB处为止）时，所扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致为 解：当直线匀速转动时，若某时刻直线被圆所截得的弦较长，则S的瞬时变化率就较大，此处的导数也较大，图象中这里的切线较陡，曲线就较陡．所以曲线开始由平缓变陡；待过程进行到一半时，截得的弦最大，曲线最陡；以后弦又渐渐变短，曲线由陡变缓．只有选项（D）中的图象具有上述特点，所以选（D）． 典例分析 学以致用 课本43页练习1 若在区间(a，b)内， f ′ (x) > 0，则函数 f (x) 在此区间内单调递增，(a，b)为 f (x) 的单调递增区间；
 若在区间(a，b)内， f ′ (x) < 0，则函数 f (x) 在此区间内单调递减，(a，b)为 f (x) 的单调递减区间． 函数的导数与函数的单调性的关系： 总结反思 利用导数确定函数的单调性步骤： （1）确定函数 f (x)的定义域． （2）求出函数的导数 f′ (x) ． （3）在定义域内 解不等式 f′ (x)>0，得函数单增区间； 解不等式 f′ (x)<0，得函数单减区间． 注：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 总结反思 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 练习. 用导数判断下列函数的单调性，并求出单调区间. (1) f(x)=x2-4x+5； (2) f(x)=lnx- eq \f(1,x) ； (3) f(x)=2x3+3x2-12x+1. 1. 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的水面高度h与时间t的函数图象. $$