4.3.2等比数列的前n 项和公式（第1课时）(人教A选必二）-2024-2025学年寒假高二数学同步练习（全国通用）

4.3.2等比数列的前n 项和公式（第1课时） 1．设公比为3的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，则a5＋a6＋a7等于(　　) A．3　　　　　　　　　 B．9 C．27 D．81 答案　C 解析　根据题意，等比数列{an}的公比为3，且S3＝，即a1＋a2＋a3＝，则a5＋a6＋a7＝q4(a1＋a2＋a3)＝33＝27. 2．等比数列{an}各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和S5＝(　　) A．179 B．211 C．248 D．275 答案　B 解析　∵a5＝a1q4，∴16＝81q4.∴q＝±. 又∵数列{an}的各项都是正数，∴q＝. ∴S5＝＝＝211. 3．在公比为正数的等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则它的前8项和S8＝(　　) A．21 B．42 C．135 D．170 答案　D 解析　q2＝＝4，又q>0，∴q＝2. ∴a1(1＋q)＝a1(1＋2)＝2，∴a1＝. ∴S8＝＝170. 4．数列{an}的前n项和为Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．4 答案　A 解析　由题意知等比数列{an}中，q≠1， Sn＝＝·qn－＝4n＋b，可得b＝－1. 5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且公比大于1.若S2＝4，28S8＝5S4S6，则S6＝(　　) A．28 B．21 C．7 D．7或28 答案　A 解析　设等比数列{an}的公比为q(q>1)． 因为S2＝4，28S8＝5S4S6， 所以7S2S8＝5S4S6， 即7··＝5··， 化简，得7(1＋q4)＝5(1＋q2＋q4)， 即2q4－5q2＋2＝0. 因为q>1，所以q2＝2， 所以S6＝＝·(1＋q2＋q4)＝4×(1＋2＋22)＝28.故选A. 6．在14与之间插入n个数组成等比数列，若这n＋2项的总和为，则此数列的项数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　B 解析　由题知组成的等比数列的公比q≠1， ∴＝，解得q＝－，则＝14×. ∴n＝3，故该数列共5项． 7．在等比数列{an}中，a1＋an＝82，a3an－2＝81，且前n项和Sn＝121，则此数列的项数n等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q， 依题意，a1＋an＝82，a3an－2＝a1an＝81， 所以或 若则Sn＝＝＝121，解得q＝3， 所以an＝1×3n－1＝81＝34，n＝5. 若则Sn＝＝＝121，解得q＝， 所以an＝81×＝34×31－n＝35－n＝1，n＝5. 综上所述，n的值为5. 8．已知等比数列{an}中，an＝3×2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1＝(　　) A．4k－1 B．3(2k－1) C．2(4k－1) D．3(4k－1) 答案　A 解析　由题知{an}是首项为3，公比为2的等比数列，∴{a2k－1}是首项为3，公比为4的等比数列，∴a1＋a3＋…＋a2k－1＝＝4k－1.故选A. 9．等比数列{an}中，若前n项的和为Sn＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2＝________． 答案　(4n－1) 解析　∵a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝3－1＝2，∴公比q＝2.又∵数列{an2}也是等比数列，首项为a12＝1，公比为q2＝4，∴a12＋a22＋…＋an2＝＝(4n－1)． 10．在等比数列{an}中，a2＋a4＝60，a1·a3＝36，Sn＞400，求正整数n的取值范围． 解析　由a1a3＝a22＝36，得a2＝±6. 再由a2＋a4＝60，得a4＝54或a4＝66. 因为a2与a4同号，所以a2＝6，a4＝54. 再由q2＝＝9，得q＝±3. 当q＝3时，a1＝＝2. 此时Sn＝＞400，即3n＞401，所以n≥6(n∈N*)． 当q＝－3时，a1＝－2， 此时Sn＝＞400， 即(－3)n＞801，所以n≥8(n∈N*且n为偶数)． 综上，当a1＝2，q＝3时，n≥6(n∈N*)． 当a1＝－2，q＝－3时，n≥8(n∈N*且n为偶数)． 11．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5＝(　　) A．12 B．20 C．11 D．21 答案　C 解析　an＋2＋an＋1＝2an等价于anq2＋anq＝2an. 因为an≠0，故q2＋q－2＝0，即(q＋2)(q－1)＝0. 因为q≠1，所以q＝－2， 故S5＝＝11.故选C. 12．等比数列{an}中，a6－a5＝324，a2－a1＝4，则其前n项和Sn＝________． 答案　3n－1或 解析　设数列{an}的公比为q，∵a6－a5＝(a2－a1)q4， ∴q4＝＝81， ∴q＝±3. 当q＝3时，由a2－a1＝a1(q－1)＝(3－1)a1＝4，得a1＝2. ∴Sn＝＝3n－1. 当q＝－3时，由a2－a1＝(－3－1)a1＝4，得a1＝－1. ∴Sn＝＝. 13．两个等比数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则＝________． 答案　 解析　设数列{an}，{bn}的公比分别为q1，q2， 则n＝1时，＝＝4，即a1＝4b1， 当n＝2时，＝＝＝＝，即2q2－3q1＝1， 当n＝3时，＝＝＝＝，即3q2＋3q22－7q1－7q12＝4， 联立 解得或 当时，＝＝，符合题意； 当时，＝＝·，不符合题意．所以＝＝＝. 14．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－r，n∈N*，若命题“∀n∈N*，λan≤an2＋128”为真命题，则实数λ的最大值为________． 答案　24 解析　由{an}是等比数列，Sn＝2n＋1－r＝2·2n－r，得q＝2，r＝2，an＝2n.由λan≤an2＋128对n∈N*恒成立，得λ2n≤(2n)2＋128⇒λ≤2n＋(n∈N*)恒成立．令t＝2n，y＝t＋，而∈(11，12)，当t＝23＝8时，y＝24；当t＝24＝16时，y＝24，则ymin＝24⇒λ≤24，则λmax＝24. 15．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和． 解析　(1)由已知得a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，则a1＝2. 所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列， 其通项公式为an＝3n－1. (2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.2等比数列的前n 项和公式（第1课时） 1．设公比为3的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，则a5＋a6＋a7等于(　　) A．3　　　　　　　　　 B．9 C．27 D．81 2．等比数列{an}各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和S5＝(　　) A．179 B．211 C．248 D．275 3．在公比为正数的等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则它的前8项和S8＝(　　) A．21 B．42 C．135 D．170 4．数列{an}的前n项和为Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．4 5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且公比大于1.若S2＝4，28S8＝5S4S6，则S6＝(　　) A．28 B．21 C．7 D．7或28 6．在14与之间插入n个数组成等比数列，若这n＋2项的总和为，则此数列的项数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 7．在等比数列{an}中，a1＋an＝82，a3an－2＝81，且前n项和Sn＝121，则此数列的项数n等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知等比数列{an}中，an＝3×2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a2k－1＝(　　) A．4k－1 B．3(2k－1) C．2(4k－1) D．3(4k－1) 9．等比数列{an}中，若前n项的和为Sn＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2＝________． 10．在等比数列{an}中，a2＋a4＝60，a1·a3＝36，Sn＞400，求正整数n的取值范围． 11．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q≠1.若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1＝2an，则S5＝(　　) A．12 B．20 C．11 D．21 12．等比数列{an}中，a6－a5＝324，a2－a1＝4，则其前n项和Sn＝________． 13．两个等比数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则＝________． 14．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－r，n∈N*，若命题“∀n∈N*，λan≤an2＋128”为真命题，则实数λ的最大值为________． 15．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$