7.2.3 平行线的性质（第2课时 平行线的判定和性质）（分层作业）-【上好课】七年级数学下册同步高效课堂（人教版2024）

7.2.3 平行线的性质（第2课时 平行线的判定和性质） 分层作业 基础训练 1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　） A．60° B．120° C．130° D．80° 2．如图所示，下列结论成立的是（　　） A．若∠1＝∠4，则BC∥AD B．若∠5＝∠C，则BC∥AD C．若∠2＝∠3，则BC∥AD D．若AB∥CD，则∠C+∠ADC＝180° 3．如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（　　） A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2 第1题图 第2题图 第3题图 4．下列说法中正确的个数为（　　） ①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直； ②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠2＝30°，∠3＝55°，∠1的度数为（　　） A．145° B．150° C．155° D．160° 6．如图，已知∠BAC≠90°，AD∥BC，∠ADC＝∠B，点E是线段BA延长线上一点，且∠ACB＝∠ADE．以下结论错误的是（　　） A．ED∥AC B．BE∥CD C．CA平分∠BCE D．∠BED＝∠ACD 第5题图 第6题图 7．如图，若∠1＝∠D，∠C＝78°，则∠B＝　 　°． 8．如图，已知a∥b，直线c分别与a，b相交于D，A两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠3＝106°，∠2＝∠1+2°，则∠2的度数为 　 　． 第7题图 第8题图 9．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ ）， ∴EF∥AD（ 　）， ∴　 　+∠2＝180°（　 　）． 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3（　 　）， ∴AB∥　 　（　 　）， ∴∠GDC＝∠B（　 　）． 10.已知：如图，C、D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，FE∥DC （1）求证：CE∥DF； （2）若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数． 能力提升 11．如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　） A．58° B．68° C．32° D．22° 12．如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论正确的有（　　） ①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D＝90°；④∠DBF＝2∠ABC；⑤∠ABE＝2∠ACB． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第11题图 第12题图 13．如图，∠A＝∠1，∠2+∠3＝180°，∠BDE＝65°，求∠ACB的度数． 14．如图，已知∠FEA＝∠EAF，AE平分∠CAF． （1）求证：EF∥AC； （2）若AC平分∠DAB，∠BAF与∠BAD互补，∠FEA﹣∠DAC＝50°，求∠F． 拔高拓展 15．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点． （1）猜想论证：如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD． 证明：过点P作PM∥l1． ∵l1∥l2， ∴　 　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又∵PM∥l1，PM∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，　 　＝∠PBD（　 　）． ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（　 　）． （2）类比探究： ①如图2，当点P在线段CD的延长线上运动时，上述（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P在线段DC的延长线上运动时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.3 平行线的性质（第2课时 平行线的判定和性质）分层作业 基础训练 1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　） A．60° B．120° C．130° D．80° 【答案】B 【分析】先由∠1＝∠2得到a∥b，从而得到∠3+∠4＝180°，进而得到∠4的度数． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， ∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠3＝60°， ∴∠4＝120°， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 2．如图所示，下列结论成立的是（　　） A．若∠1＝∠4，则BC∥AD B．若∠5＝∠C，则BC∥AD C．若∠2＝∠3，则BC∥AD D．若AB∥CD，则∠C+∠ADC＝180° 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故本选项错误； B、∵∠5＝∠C，∴AB∥CD，故本选项错误； C、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故本选项正确； D、∵AB∥CD，∴∠C+∠ABC＝180°，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 3．如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，还需要添加条件（　　） A．∠B＝∠1 B．∠1＝∠3 C．∠B＝∠3 D．∠B＝∠2 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，得出∠1＝∠B，再根据平行线的判定定理，找出符合要求的答案． 【解答】解：A、∵∠B＝∠1，可由EF∥AB得出，不用添加，不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意； B、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠1＝∠3，则∠B＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意； C、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠3，则∠1＝∠3，还是不能得出EF∥AB，故此选项不符合题意； D、∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，若添加∠B＝∠2，则∠1＝∠2，∴DF∥BC，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 4．下列说法中正确的个数为（　　） ①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直； ②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可． 【解答】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①错误； ②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误； ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故④正确； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤错误． 故正确的是②④，共2个． 故选：A． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠2＝30°，∠3＝55°，∠1的度数为（　　） A．145° B．150° C．155° D．160° 【答案】C 【分析】由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠PFO的度数，由平行线的性质求出∠1的度数即可． 【解答】解：∵∠2＝30°， ∴∠POF＝∠2＝30°， ∵∠3＝55°， ∴∠PFO＝55°﹣30°＝25°， ∵一束平行于主光轴的光线， ∴∠1＝180°﹣25°＝155°， 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠PFO的度数即可解决问题． 6．如图，已知∠BAC≠90°，AD∥BC，∠ADC＝∠B，点E是线段BA延长线上一点，且∠ACB＝∠ADE．以下结论错误的是（　　） A．ED∥AC B．BE∥CD C．CA平分∠BCE D．∠BED＝∠ACD 【答案】C 【分析】根据AD∥BC，结合∠ACB＝∠ADE，得到∠CDE+∠ACD＝180°即可判断A项，再结合∠ADC＝∠B，得到∠B+∠BCD＝180°，即可判断B项，根据ED∥AC，BE∥CD得到角的关系，即可判断D项，根据前面的判断，即可解题． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°＝∠ADC+∠ACB+∠ACD， ∵∠ACB＝∠ADE， ∴∠ADC+∠ADE+∠ACD＝∠CDE+∠ACD＝180°， ∴ED∥AC， 故A正确，不符合题意． ∵∠ADC＝∠B， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∴BE∥CD， 故B正确，不符合题意． ∵ED∥AC， ∴∠BED＝∠BAC， ∵BE∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∴∠BED＝∠ACD， 故D正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明CA平分∠BCE，故C错误，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质和判定，解答本题的关键是平行线性质和判定定理的应用． 7．如图，若∠1＝∠D，∠C＝78°，则∠B＝　 　°． 【答案】102 【分析】根据平行线的判定与性质即可求出∠B的度数． 【解答】解：∵∠1＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠C+∠B＝180°， ∵∠C＝78°， ∴∠B＝180°﹣78°＝102°． 故答案为：102． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 8．如图，已知a∥b，直线c分别与a，b相交于D，A两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠3＝106°，∠2＝∠1+2°，则∠2的度数为 　23°　． 【答案】23° 【分析】由平行线的性质得180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2，再求出∠1＝21°，即可得出结论． 【解答】解：∵a∥b， ∴180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2， ∵∠2＝∠1+2°， ∴180°﹣106°＝∠1+30°+∠1+2°， 解得：∠1＝21°， ∴∠2＝∠1+2°＝21°+2°＝23°， 故答案为：23°． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，求出∠1的度数是解题的关键． 9．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ ）， ∴EF∥AD（ 　）， ∴　 　+∠2＝180°（　 　）． 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3（　 　）， ∴AB∥　 　（　 　）， ∴∠GDC＝∠B（　 　）． 【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可． 【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义）， ∴EF∥AD （同位角相等两直线平行）， ∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补）， 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3 （同角的补角相等）， ∴AB∥DG（内错角相等两直线平行）， ∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）． 故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10.已知：如图，C、D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，FE∥DC （1）求证：CE∥DF； （2）若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由∠1+∠DCE＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE，即可证明CE∥DF； （2）由平行线的性质，可得∠CDF＝50°，又∵DE平分∠CDF，则∠CDE=∠CDF＝25°，根据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数． 【解答】证明：（1）∵∠1+∠2＝180°，C，D是直线AB上两点， ∵∠1+∠DCE＝180°， ∴∠2＝∠DCE， ∴CE∥DF； （2）∵CE∥DF，∠DCE＝130°， ∴∠CDF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣130°＝50°， ∵DE平分∠CDF， ∴， ∵EF∥AB， ∴∠DEF＝∠CDE＝25°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质和角平分线的性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用． 能力提升 11．如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO＝158°，则∠DCE＝（　　） A．58° B．68° C．32° D．22° 【答案】B 【分析】如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD，则AG∥MN∥BH∥CD，由OA⊥MN得到∠OAG＝90°，则∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°，进而得到∠ABH＝∠BAG＝68°，再根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD，由此即可得到∠DCE＝∠ABH＝68°． 【解答】解：如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD， ∵CD∥MN， ∴AG∥MN∥BH∥CD， ∵OA⊥MN， ∴AG⊥OA，即∠OAG＝90°， ∵∠BAO＝158°， ∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝68°， ∴∠ABH＝∠BAG＝68°， ∵CE∥AB，BH∥CD， ∴∠ABC+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCD， ∴∠ABH+∠CBH+∠BCE＝180°＝∠CBH+∠BCE+∠DCE， ∴∠DCE＝∠ABH＝68°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 12．如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论正确的有（　　） ①BC平分∠ABE； ②AC∥BE； ③∠BCD+∠D＝90°； ④∠DBF＝2∠ABC； ⑤∠ABE＝2∠ACB． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】综合运用垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理，逐项判断即可． 【解答】解：∵BC⊥BD， ∴∠DBE+∠CBE＝90°，∠ABC+∠DBF＝90°， ∵BD平分∠EBF， ∴∠DBE＝∠DBF， ∴∠ABC＝∠CBE， ∴BC平分∠ABE，故①正确； ∵BC⊥BD， ∴∠CBD＝90°， ∴∠BCD+∠D＝90°，故③正确； ∵AF∥CD， ∴∠ABC＝∠BCE， ∵BC平分∠ACD、∠ABE， ∴∠ABC＝∠CBE，∠ACB＝∠BCE， ∴∠ACB＝∠CBE， ∴AC∥BE，故②正确； ∵AF∥CD， ∴∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，∠D＝∠DBF， ∵无法说明∠D＝∠DEB， ∴无法说明∠DBF＝2∠ABC，故④错误； ∵AF∥CD， ∴∠ABC＝∠BCE， ∵BC平分∠ACD、∠ABE， ∴∠ABE＝2∠ABC＝2∠BCE＝2∠ACB，故⑤正确； 综上所述，①②③⑤正确，共4个， 故选：D． 【点评】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等，有一定难度，解题的关键是熟练运用等量代换思想． 13．如图，∠A＝∠1，∠2+∠3＝180°，∠BDE＝65°，求∠ACB的度数． 【分析】由同角的补角相等得出∠2＝∠EFD，从而AB∥DE，再通过平行得出∠1＝∠BED，从而得出∠BED＝∠A，所以得出ED∥AC，即可得出答案． 【解答】解：∵∠2+∠3＝180°，∠EFD+∠3＝180°， ∴∠2＝∠EFD， ∴AB∥DE， ∴∠1＝∠BED， ∵∠A＝∠1， ∴∠BED＝∠A， ∴ED∥AC，∠BDE＝65°， ∴∠BDE＝∠ACB＝65°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握并灵活运用平行线的判定和性质． 14．如图，已知∠FEA＝∠EAF，AE平分∠CAF． （1）求证：EF∥AC； （2）若AC平分∠DAB，∠BAF与∠BAD互补，∠FEA﹣∠DAC＝50°，求∠F． 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定解答即可； （2）题干条件没有给出任何一个具体角的度数，故可设其中一个角为x，用x表示其他的角，以∠BAF与∠BAD互补为等量关系列方程来求解． 【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAF， ∴∠EAF＝∠EAC， ∵∠FEA＝∠EAF， ∴∠FEA＝∠EAC， ∴EF∥AC； （2）解：∵AC平分∠DAB ∴∠DAC＝∠BAC 设∠DAC＝∠BAC＝x，则∠DAB＝2x ∵∠FEA﹣∠DAC＝50° ∴∠FEA＝∠DAC+50°＝x+50° ∴∠EAF＝∠EAC＝∠FEA＝x+50° ∴∠BAF＝∠EAF+∠EAC+∠BAC＝x+50°+x+50°+x＝3x+100° ∵∠BAF与∠BAD互补 ∴∠BAF+∠BAD＝180° ∴3x+100°+2x＝180° 解得：x＝16° ∴∠EAF＝∠FEA＝x+50°＝66° ∴∠F＝180°﹣∠FEA﹣∠EAF＝180°﹣66°﹣66°＝48° 【点评】本题考查了角平分线性质、平行线的判定、三角形内角和定理．第（2）小题的解题关键为设一个角度为x，利用方程思想来求解具体角度． 拔高拓展 15．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点． （1）猜想论证：如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD． 证明：过点P作PM∥l1． ∵l1∥l2， ∴　 　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又∵PM∥l1，PM∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，　 　＝∠PBD（　 　）． ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（　 　）． （2）类比探究： ①如图2，当点P在线段CD的延长线上运动时，上述（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P在线段DC的延长线上运动时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由． 【分析】（1）过点P作PM∥l1，根据平行线的性质可得∠APM＝∠PAC，∠BPM＝∠PBD，利用等量代换可得：∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）仿照（1）的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可． 【解答】解：（1）∵l1∥l2， ∴PM∥l2（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又∵PM∥l1∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，∠BPM＝∠PBD（两直线平行内错角相等）， ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（等量代换）， 故答案为：PM∥l2，∠BPM，两直线平行，内错角相等，等量代换； （2）①（1）中的结论不成立，∠APB＝∠PAC﹣∠PBD， 理由如下： 如图，过点P作PE∥l1， 由条件可知PE∥l2， 又∵PE∥l1∥l2， ∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD， ∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD； ②∠APB＝∠PBD﹣∠PAC， 如下图所示， 过点P作PE∥l1， 由条件可知PE∥l2∥l1， ∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD， ∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠PBD﹣∠PAC． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化到同一个顶点的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $$