第八讲 长方体和正方体的容积专题（讲义）-2024-2025学年五年级下册数学人教版

长方体和正方体的容积专题讲义 基础知识部分 【知识概要】 一、知识点： （1）容积： （2）容积单位：一般用体积单位，计量液体时用：升、毫升。 容积单位：ml、l 相邻两个单位进率为1000 特别的：1ml=cm3 1l=1dm3 1方=1m³ 不是同一类型的单位，数据不能比较大小，同一类型的单位中右边的单位比左边的单位大。 大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率。 （3）容积的计算： 正方体： 容积＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长 长方体和正方体的容积公式的统一: 长方体或正方体的容积=底面积×高 如果面积用字母S表示，那么容积用字母表示如下：V=Sh 【例1】 3.6升=（ ）毫升=（ ）立方厘米 1700平方厘米=（ ）平方分米=（ ）平方米 3升=（ ）毫升 2700毫升=（ ）升 2.57升=（ ）毫升 640毫升=（ ）升 2.8立方分米=(　　 )立方厘米   0.8升=(　　 )毫升 720立方分米=(　　　 )立方米  51000毫升= (     )升 练习1： 1.24立方米=(　　 )升=(　　　 )毫升 3.06升=（    ）升（    ）毫升 30立方分米＝（      ）立方米 0.85升＝（       ）毫升 2100毫升＝（       ）立方厘米＝（       ）立方分米 0.3升＝（       ）毫升＝（       ）立方厘米 【例2】 一个长方体鱼缸，长８０厘米，宽６０厘米，深４０厘米，把一块长３０厘米，宽２４厘米，高１６厘米的铁块浸入在水中，水面将上升多少厘米? 练习2： 在一个长６０厘米，宽５４厘米，深４５厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长１２厘米，宽１８厘米，高１５厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面将下降多少厘米？ 【例3】 在一个长６０厘米，宽５４厘米，深４５厘米的长方体鱼缸里放入一些水，并在水中浸入一块长１２厘米，宽１８厘米的铁块，把铁块从水中取出，水面下降５厘米，求铁块的高。 练习3： 一个长方体鱼缸，长８０厘米，宽６０厘米，深４０厘米，把一块底面边长为２０厘米，高为１２０厘米的铁块直立在水中，水面上升多少厘米？ 【例4】 在一个长25cm、宽20cm、高15cm的长方体玻璃缸内装满水，然后将水倒入一个棱长25cm的正方体玻璃缸内，这时水深多少厘米？ 练习4： 一个长方体的底面是一个边长60cm的正方形，容器里放着一个高12cm，底面是正方形且边长为15cm的长方体铁块，这时容器里的水深为20cm，如果把铁块从水中取出，那么容器里的水深变成多少厘米？ 【例5】 下图图中甲的面积是25m2，乙的面积是甲、乙两处的高度相差4m，现在把甲处的土堆到乙处，使甲、乙两处的土一样高，这时乙处比原来升高了多少米？ 练习5： 一个长方体的底面是一个边长60cm的正方形，容器里放着一个高12cm，底面是正方形且边长为15cm的长方体铁块，这时容器里的水深为20cm，如果把铁块从水中取出，那么容器里的水深变成多少厘米？ 能力提升部分 【例1】 （1）用一张长60厘米，宽40厘米的长方形铁皮，做成一个无盖长方体盒子，做成盒子的容积是多少？ 思路一：从四个角上分别剪去一个边长为１０厘米的正方形后，观察思考做成的长方体长是（　　　　），宽是（　　　），高是多少？求出它的容积。 【练习】 有一块长方形铁皮，长40cm，宽宽30cm，在这块铁皮的四角各剪去一个边长是4cm的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的容积是多少？ 例2 在一个长30cm、宽20cm、水深10cm的的长方体容器里，放入棱长是6cm的正方体小铁块，这时水面高多少厘米？ 方法总结：在容器里放入物体，首先要判断放进去的物体是否被水完全淹没，如果完全淹没，求水面的高就用总体积除以容器底面积即可；如果没有完全淹没，而而要求水面的高度就用水的体积÷(容器底面积－放入物体底面积)即可。 练2： 有一个长方体容器，长30cm，宽20cm，高10cm，里面水深5cm。如果把这个容器盖紧，再朝左或右竖起来，这时容器里的水深多少厘米？ 【例3】 如图，一个无盖的小木盒从外边量长10cm，宽8m高木板厚1cm，做这个木盒至少需用1cm厚的木板多少平方厘米？这个木盒的容积是多少立方厘米？ 练3： 一块长35cm、宽30m的纸板，在它的四角上各剪去一个边长是10cm的正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积。 【例4】 将一个长15cm、宽10cm、高8cm的长方体铁块和一个棱长10cm的正方体铁块合铸成一个长20cm、宽11cm的长方体铁块(不计损耗)，新得到的长方体的高是多少厘米？ 练4： 一张长方形铁皮，长40cm，宽20cm。请你用它做一只深是5cm的长方体无盖铁皮盒(铁皮厚度不计，切割和焊接处不计耗损)，你做做的铁皮盒的容积最大是多少立方厘米？ 【课后练习】 基础练习 一、选择题。 1．一个长方体长是8厘米，宽和高都是5厘米，这个长方体有（ ）个面是长方形。 A．2 B．4 C．6 2．下列图形中，不能表示长方体平面展开图的是（ ）。 3．一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大（ ）倍。 A.2 B.4 C.6 D.8 4．一个长方体，它的长、宽、高分别是9厘米、3厘米、2.5厘米，它上面的长是（ ）厘米． A．9 B．3 C．4 5．用一根长48厘米的铁丝做一个长方体的教具，已知长是6厘米，高是4厘米，宽是（ ）厘米。 A．2 B．3 C．4 D．5 6．加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的（ ） A．表面积 B．体积 C．容积 7．用一根长（ ）厘米的铁丝正好围成长6厘米、宽5厘米、高2厘米的长方体框架． A．26 B．117 C．52 D．60 8．两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，表面积的总和（ ）。 A. 增加了 B. 减少了 C. 不变 9．用棱长1厘米的正方体木块，摆成底面积是12平方厘米，高是2厘米的长方体，可摆成（ ）种不同的形状。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．3个棱长是1厘米的正方体小方块粘合成一个长方体，它的表面积是（ ）平方厘米． A．18 B．14 C．12 D．16 11．一个长方体鱼缸，长30厘米，宽20厘米，水深8厘米，将一块石头放入水中后水面上升4厘米，这块石头的体积是（ ）厘米3。 A．4800 B．2400 C．6000 二、填空题。 1．长方体的6个面是 ，特殊情况有两个相对的面是 ；长方体最多有 条棱相等． 2．如果长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是4厘米，那么，这个长方体有 个面是长方形，有 个面是正方形． 3．一个长方体盒子，长是8厘米，宽和高都是5厘米，它的表面积是 平方厘米． 4．一个长方体游泳池，长50米，宽40米，放满之后可以盛水6000立方米，这个游泳池的深是 ，它的占地面积是 ，要在离游泳池口的1.2米处画一条安全线，这条安全线长 ． 5．把4个棱长是6分米的正方体木块拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方分米。 6．把两个棱长都是3厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 7．—个长方体，如果高增加2厘米变成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 三、解答题。 1．王阿姨要做一个长4.5m，宽0.6m，高75cm的玻璃柜台，现在要在柜台的各边都安装上角铁，至少需要角铁多少米？ 2．学校把21立方米黄沙铺在一个长6米，宽3.5米的长方体沙坑里，可以铺多厚？ 3．一个长方体玻璃鱼缸（鱼缸的上面没有玻璃），长5分米，宽3分米，高3.5分米．制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 4．一个长方体容器，长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面水深6厘米，如果把这个容器里的水倒入另一个长40厘米、宽30厘米的长方体容器中，水深应为多少？ 5．一根长方体木料，长3米，截面是一个边长0.4米的正方形，从这根木料上截下2.5米长的一段，剩下的体积是多少立方米？ 6．教室的长是8米，宽是6米，高是3.5米，现在要粉刷教室四周的墙壁，扣除门窗的面积16平方米，要粉刷的面积是多少平方米？如果每2平方米用涂料1千克，粉刷这个教室共需涂料多少千克？ 7．用72厘米的铁丝焊接成一个长方体框架，长方体长、宽、高的长度比是3：2：1，这个长方体的长是多少厘米？ 拓展练习 1.一块长35cm、宽30m的纸板，在它的四角上各剪去一个边长是10cm的正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积。 2.甲、乙两人各有一张相同的长方形铁片，铁片长100cm、80cm。老师要他们在四角各剪去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的长方体盒子，甲的设计图如A，乙的设计图如B，谁设计的盒子容积大？ 3.一个长方体水箱，从里面量长40cm、宽30cm、深50cm，箱中水面高10cm，放进一个棱长为20cm的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面，这时水面高多少厘米？ 4.一个长方体容器，底面是个边长为50cm的正方形，容器里直立着一根高1m、底面边长为15cm的长方体铁块，这时容器里的水深为40cm。现在把铁块轻轻向上提起20cm，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？(得数保留整数) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$