精品解析：河南省驻马店市青桐鸣2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题（北师大版）

2026届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高二） 数学（北师大版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角. 【详解】因为直线，其中为常数，故直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点与点关于（ ）对称 A. 平面 B. 轴 C. 平面 D. 平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的坐标直接可得解. 【详解】易得点与点关于平面对称． 故选：C． 3. 在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】 在中，，在中，， 故 . 故选：A. 4. 已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行可得的值，再根据平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得，所以，解得， 故两直线方程分别为，， 故这两条平行线之间的距离为. 故选：B. 5. 已知双曲线的对称中心为坐标原点的一个焦点为，若点分别在的两条渐近线上，且满足四边形为正方形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据四边形为正方形可得渐近线方程，即可求解离心率. 【详解】由题意知四边形为正方形，由于点分别在的两条渐近线上， 可知的两条渐近线互相垂直，故渐近线方程为， 所以该双曲线的实半轴长和虚半轴长相等，即, 故双曲线的离心率为． 故选：B． 6. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出公共弦的方程，再利用垂径定理求出弦长. 【详解】两圆方程作差可得两圆交点所在的直线方程为， 又因为圆心到直线的距离， 故两圆公共弦长为． 故选：C． 7. 某中学高二年级入学进行了一场为期一周的军训，在军训过程中，教官根据班级表现从各个维度进行评分，最终评出“先进集体”“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”四个奖项．已知总共有三个班级获奖，其中有两个班级均获得了“先进集体”，剩余三个奖项每个奖项均只有一个班级获得，则所有的颁奖方式有（ ） A. 57种 B. 60种 C. 114种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】利用间接法，结合分步乘法计数原理可得解. 【详解】设获奖的三个班级分别为，，，首先分配“先进集体”奖，有（种）可能； 继续分配“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”这三个奖项，每个奖项分别有，，三种可能，于是有（种）可能，相乘一共有（种）可能， 其中一个班级一个奖项都不获得，也就是分配“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”这三个奖项时均分配到两个获得“先进集体”奖的班级，共有（种）可能； 两者相减得所有的颁奖方式有（种）． 故选：A． 8. 对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取分别赋值，作差后化简即可得解. 【详解】由题意可得， 令，得， 令，得， 两式作差，可得， 故． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】联立直线与，可得两直线交点坐标，代入，可得解. 【详解】由题意可得这三条直线交于同一点，联立， 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得， 解得或， 故选：AC． 10. 记，其二项展开式为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若的二项展开式中存在常数项，则一定是7的倍数 B. 若的二项展开式中存在常数项，则一定是6的倍数 C. 若是奇数，则的二项展开式中第项为系数最大的项 D. 若是偶数，则的二项展开式中第项为二项式系数最大的项 【答案】AD 【解析】 【分析】写出的二项展开式的通项，根据选项分别研究指数，系数，二项式系数，然后判断即可． 【详解】若存在常数项，设第项为常数项，即为常数项， 所以是常数，即，即， 又因为为正整数，故一定是7的倍数，故A正确，B错误； 对于C，设，则， 二项展开式的第项为，其系数为，不能确定正负，故C错误； 对于D，设，则， 二项展开式的第项为，其二项式系数是最大的，故D正确． 故选：AD． 11. 如图，在多面体中，是以角为直角的等腰直角三角形，，是等边三角形，平面平面，是空间中的一点，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 直线上的点到直线的最短距离为2 D. 平面与平面所成角的余弦值为 【答案】BD 【解析】 【分析】取的中点为，连接，．因为是等边三角形，可得，又平面平面，所以平面，建立空间直角坐标系，再利用投影向量的定义，线线距离和面面夹角即可求得结果. 【详解】取的中点为，连接，．因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为是以角为直角的等腰直角三角形，所以， 故以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为， 所以，故， 故A错误． ，， 故在上的投影向量为，故B正确． 因为，若直线上的点到直线的最短距离为2， 则是直线与直线的公垂线．连接，则， 则为等腰三角形，，不可能垂直， 故不是直线与直线的公垂线，故C错误． 设平面的法向量为，则，即 不妨令，则，，则， 易知平面的一个法向量为， 故平面与平面所成角的余弦值为，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用空间向量减法和乘法法则求出的坐标，再计算其模即得答案. 【详解】由题意可得， 故． 故答案为：. 13. ______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的运算公式直接计算. 【详解】， 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，圆与在第一象限内交于点，直线与的另一个交点为，若，则直线的斜率为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由已知，可知圆是以为直径的圆， 则，即， 设，则，由椭圆的定义可得，， 故， 而，故， 故，解得， 则， 故直线的斜率为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，，三点. （1）求的标准方程，并说明的圆心坐标与半径； （2）过点作圆的切线，且直线的斜率存在，求的一般式方程. 【答案】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径 （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标，求出圆的一般方程，再化为标准方程. （2）直线设点斜式方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解. 【小问1详解】 由题意可设圆的一般方程为， 代入三点坐标可得，解得， 所以圆的一般方程为， 则圆的标准方程为， 易得圆心为，半径. 【小问2详解】 因为过点的切线的斜率存在， 所以设切线的方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得， 故的一般式方程为. 16. 在以为坐标原点的平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点的直线交于两点． （1）求的准线方程； （2）求直线，的斜率之积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程，求出得解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，求出，，得解. 【小问1详解】 把点代入抛物线方程，可得， 解得或（舍去）， 故抛物线的方程为，其准线方程为． 【小问2详解】 设，，直线的方程为， 联立，可得， 则， 故， 故直线的斜率之积为． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，点是线段的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解， （2）求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 取的中点，连接． 因为，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 故平面． 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 故，， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由（1）得，， 设平面的法向量为，则，即， 易知，令，则，即． 设直线与平面所成的角为，易得， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 现有体积均相同但质量均不同的红球个、白球个、黑球个，将这个小球放入恰好能容纳个小球的圆柱形卡槽内． （1）若同种颜色的球必须相邻，试问共有多少种不同的放法？ （2）若个白球互不相邻，且质量最大的白球不能放在卡槽的两端，试问共有多少种不同的放法？ （3）若个红球之间有且仅有白球和黑球各个，试问共有多少种不同的放法？ 【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法可得解； （2）利用插空法结合特殊元素法可得解； （3）根据特殊元素特殊位置法，结合捆绑法可得解. 【小问1详解】 个红球全排列有种方法，个白球全排列有种方法，个黑球全排列有种方法， 同种颜色的球捆绑在一起进行全排列有种方法， 所以共有种不同的放法； 【小问2详解】 先排红球和黑球，共有种方法， 且质量最大的白球不在卡槽的两端，则有种方法， 最后排剩余的个白球有种方法， 所以共有种不同的放法； 【小问3详解】 两个红球的放法有种， 接着任选个白球、个黑球放入两个红球中间，有种方法， 再将这个小球捆绑在一起与剩余的个小球进行全排列有种， 所以共有种不同的放法. 19. 已知过点的直线与椭圆交于两点．当直线垂直于轴时，． （1）求的方程． （2）探究是否存在实数，使得为定值．若存在，求出该定值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，定值为 【解析】 【分析】（1）将时，用表示纵坐标，再由解出即可； （2）设出直线的方程为，用韦达定理表示出，若为定值，则结果要与无关，从而求出实数． 【小问1详解】 将代入的方程，得，即， 所以，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 存在． ①当不垂直于轴时，设直线的方程为，，， 联立得， 所以，， 又，， 所以， 所以， 若为定值，则，解得， 代入得； ②当垂直于轴时，由①知，不妨令，，有． 综上所述，存在使得为定值． 【点睛】定值问题需要找到变化的量，如本题的，用表示出目标代数式，若为定值，则需与无关（消去，没有），从而求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高二） 数学（北师大版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 2. 在空间直角坐标系中，点与点关于（ ）对称 A. 平面 B. 轴 C. 平面 D. 平面 3. 在四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，直线的方向向量与直线的方向向量共线，则这两条直线之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 5. 已知双曲线的对称中心为坐标原点的一个焦点为，若点分别在的两条渐近线上，且满足四边形为正方形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 6. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 7. 某中学高二年级入学进行了一场为期一周的军训，在军训过程中，教官根据班级表现从各个维度进行评分，最终评出“先进集体”“作风优良班级”“纪律优良班级”“素质优良班级”四个奖项．已知总共有三个班级获奖，其中有两个班级均获得了“先进集体”，剩余三个奖项每个奖项均只有一个班级获得，则所有的颁奖方式有（ ） A. 57种 B. 60种 C. 114种 D. 120种 8. 对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（ ） A. B. C. D. 10. 记，其二项展开式为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若的二项展开式中存在常数项，则一定是7的倍数 B. 若的二项展开式中存在常数项，则一定是6的倍数 C. 若是奇数，则的二项展开式中第项为系数最大的项 D. 若是偶数，则的二项展开式中第项为二项式系数最大的项 11. 如图，在多面体中，是以角为直角的等腰直角三角形，，是等边三角形，平面平面，是空间中的一点，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 直线上的点到直线的最短距离为2 D. 平面与平面所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，则______． 13. ______．（用数字作答） 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，圆与在第一象限内交于点，直线与的另一个交点为，若，则直线的斜率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，，三点. （1）求的标准方程，并说明的圆心坐标与半径； （2）过点作圆的切线，且直线的斜率存在，求的一般式方程. 16. 在以为坐标原点的平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点的直线交于两点． （1）求的准线方程； （2）求直线，的斜率之积． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，点是线段的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 现有体积均相同但质量均不同的红球个、白球个、黑球个，将这个小球放入恰好能容纳个小球的圆柱形卡槽内． （1）若同种颜色的球必须相邻，试问共有多少种不同的放法？ （2）若个白球互不相邻，且质量最大的白球不能放在卡槽的两端，试问共有多少种不同的放法？ （3）若个红球之间有且仅有白球和黑球各个，试问共有多少种不同的放法？ 19. 已知过点的直线与椭圆交于两点．当直线垂直于轴时，． （1）求的方程． （2）探究是否存在实数，使得为定值．若存在，求出该定值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $