精品解析：湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题

湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高一年级12月联考 数学试题 命题学校：鄂州高中 命题人：陈丽 刘巧梅 审题人：方玉林 涂远文 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知、、，则下列结论中正确有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（     ） A. B. C. D. 4. 若，，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 5. 函数与指数函数（且）互为反函数，且过点，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则实数t的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则函数在内所有零点之和为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的有（ ） A. 幂函数的图象过点，则 B. 函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则 C. 函数的零点是， D. 函数的零点所在区间可以是 11. 已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“-衰减函数”.下列说法正确的有（ ） A. 函数是上“衰减函数” B. 若函数是上的“-衰减函数”，则的最大值为1 C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为 D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“1-衰减函数”，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，，则__________．（结果用和表示） 13. “”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是___． 14. 已知实数，满足，，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：函数在区间上没有零点；命题，使得成立. （1）若和均为真命题，求实数的取值范围； （2）若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围. 16. 某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若该景区开业后的第一年接待游客x万人，则需另投入成本万元，且该景区门票价格为64元/人． （1）求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式．（利润=收入-成本） （2）当该景区开业后第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？ 17. 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.已知______，若函数为奇函数，且函数的零点在区间内，求的取值范围. 18. 已知函数的定义域为，且，，都有成立. （1）求，的值，并判断的奇偶性. （2）已知函数，当时，. （i）判断在上的单调性； （ii）若均有，求满足条件的最小的正整数. 19. 当且时，对一切，恒成立.学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）若正数，满足，当时，求的值； （2）除整数对，请再举出一个整数对满足； （3）若，求使得等式成立的正整数对. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高一年级12月联考 数学试题 命题学校：鄂州高中 命题人：陈丽 刘巧梅 审题人：方玉林 涂远文 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解. 【详解】解： 或， ， ， 故选：C 2. 已知、、，则下列结论中正确的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法可判断ABC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若且，则，可得，A错； 对于B选项，因为，则，，， 则，即，B对； 对于C选项，因为，则， 则，即，C错； 对于D选项，因为，当时，，D错. 故选：B. 3. 已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别分析与的单调性及恒过的定点即可判断. 【详解】因为，所以在上单调递增， 又定义域为， 所以由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒过， 故选：A. 4. 若，，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质可得，再构造出，根据基本不等式可得最小值. 【详解】∵，∴，∴， ，当且仅当“”时取等号， ∴的最小值为9. 故选：A. 【点睛】本题考查对数的运算性质和基本不等式的运用，关键在于“1”的巧妙运用，构造出基本不等式所需的形式，属于中档题. 5. 函数与指数函数（且）互为反函数，且过点，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的反函数为对数函数知，函数的图象过，代入可得，然后代入求值即可得解. 【详解】因为指数函数（且）的反函数为（且）， 因为的图象过点，故函数的图象过， 所以，故，所以，所以. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对、化简后可得具体的值，对有. 【详解】，故． 故选：D. 7. 已知函数，若，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数f(x)的图象，将不等式转化，令f(t)=a，则f (a)>-3，得a<3，即f(t)≤3，从而求得t的范围. 【详解】作出函数的图象如图， 由图可知，当,仅有一解，当时，仅有一解， 令，则，即， ， 即，则， 所以实数t的取值范围为， 故选：D 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 8. 已知定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则函数在内所有零点之和为 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】函数在零点之和就是与交点横坐标的和，作出函数的图象分析得解. 【详解】函数在零点之和就是在内所有的根的和， 就是与交点横坐标的和， 函数的图象如图所示， 由图可知， 所以 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列函数中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数、对数函数的性质可判断AB，利用反比例函数的性质可判断C，利用换元法可判断D. 【详解】因为，，故A错误； 因为，所以，即最小值为2，故B正确； 因为，， 所以，，即的最大值为2，故C错误； 令，则， 所以， 当，即时，的最小值为2，故D正确； 故选：BD. 10. 下列命题为真命题有（ ） A. 幂函数的图象过点，则 B. 函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则 C. 函数的零点是， D. 函数的零点所在区间可以是 【答案】BD 【解析】 【分析】令代入求出，即可判断A，求出函数的周期性，利用周期性计算B，根据零点的概念求解零点判断C，根据零点存在性定理判断D. 【详解】对于A：令，则，所以，即，错误； 对于B：因为是定义在上的奇函数，所以且， 又是偶函数，所以，而， 则，即， 所以是以为周期的周期函数， 所以，正确； 对于C：令得和， 所以函数的零点是，错误； 对于D：函数是定义域为上的连续函数，且在时单调递增， 又，，所以的零点所在区间可以是，正确； 故选：BD 11. 已知函数的定义域为，区间，若存在非零常数，使得对任意，，都有，则称函数是区间上的“-衰减函数”.下列说法正确的有（ ） A. 函数是上的“衰减函数” B. 若函数是上的“-衰减函数”，则的最大值为1 C. 已知函数为偶函数，且当时，，若是上的“衰减函数”，则的最大值为 D. 已知函数为奇函数，且当时，，若是上的“1-衰减函数”，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据新定义验证判断A，根据新定义转化为恒成立求得的范围得最大值判断B，作出函数的图象，再向左平移1个单位得的图象，根据新定义，在区间上，的图象在图象的下方，由此分别根据特殊点确定的范围判断CD． 【详解】选项A，定义域是，，时，， ，即，满足，A正确； 选项B，，是上的“衰减函数”， 在上是减函数，在上是增函数， ，则，，即，， 时，恒成立，而，所以，即的最大值是2，B错误； 选项C，是偶函数，当时，， 作出的大致图象，如图， 把它向左平移1个单位得的图象， 是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方， 原点必须平移到点左侧，因此，解得，的最大值是，C正确； 选项D，函数为奇函数，且当时，， 作出的大致图象，如图， 把它向左平移1个单位得的图象， 是上的“衰减函数”，则在区间上的图象在图象的下方， 原点平移到点，该点不能在左侧， 图中点所在上的表达式为，在上表达式为， 由得，点横坐标不大于， 因此有，解得，即的最小值是，D错误． 故选：AC． 【点睛】关键点睛：本题考查生的创新意识，理解新定义并能应用是解题关键，在函数较为复杂的选项CD中，作出函数图象，再进行图象平移，由新定义转化图象的关系得出参数范围． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，，则__________．（结果用和表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. “”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】求解一元二次不等式和一元一次不等式，根据充分不必要性，列出不等式，则问题得解. 【详解】由，解得； 由，即，解得或； 又“”是“”的充分不必要条件， 故可得，解得. 故答案：. 【点睛】本题考查由命题之间的充分性和必要性求参数范围，属基础题. 14. 已知实数，满足，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】将条件变形，然后构造函数，结合单调性即可求解. 【详解】因为，得，而化简得， 即， 即，构造函数， 由于在都为增函数， 所以在单调递增函数， 又知，所以， 解得，，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：函数在区间上没有零点；命题，使得成立. （1）若和均为真命题，求实数的取值范围； （2）若和其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出当命题p为真时，根据对数函数的单调性列不等式解得或；再求出当命题q为真，利用有解问题结合二次函数的最值解得.即可求得命题p，q均为真命题时的取值范围； （2）根据命题p，q一真一假分类列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【小问1详解】 若为真命题，函数在区间上单调递增， 因为在区间上没有零点， 所以或者，得或， 若为真命题，令，其开口向上，对称轴为， 所以， 因为，使得成立，所以， 所以， 若和均为真命题，则，解得或， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若p真，q假，则，解得； 若p假，q真，则，解得； 综上，实数a的取值范围是. 16. 某文旅企业准备开发一个新旅游景区，前期投入200万元，若该景区开业后的第一年接待游客x万人，则需另投入成本万元，且该景区门票价格为64元/人． （1）求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式．（利润=收入-成本） （2）当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）游客人数为万时利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可； （2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可． 【小问1详解】 该景区的门票收入为万元， 则利润，即， 故该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式； 【小问2详解】 当时，， 当时，二次函数开口向下，对称轴为，故， 当时，，当且仅当，即时等号成立， ， 综上，游客人数为万时利润最大，最大利润为万元． 17. 在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.已知______，若函数为奇函数，且函数的零点在区间内，求的取值范围. 【答案】条件选择见解析，答案见解析. 【解析】 【分析】分别对条件①②③逐个分析，利用函数是奇函数，确定出的值，之后可以判断出函数是上的增函数，从而得到其零点只能是0，从而求得结果. 【详解】选①∵是奇函数，∴， 得. ∴，易知在上是增函数， ∴有唯一零点0. ∵函数的零点在区间内，∴在上有解， ∴，即； 选② ∵是奇函数，∴， 得. ∴，易知在上是增函数， ∴有唯一零点0. ∵函数的零点在区间内，∴在上有解， ∴，即 选③ 当时，，∴， ∵函数是定义在上的奇函数，∴， ∴，得. ∴，易知在上是增函数， ∴有唯一零点0. ∵函数的零点在区间内∴在上有解， ∴，即. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有利用奇函数确定参数的值，根据解析式判断函数的单调性，根据函数的零点求参数的取值范围，属于简单题目. 18. 已知函数的定义域为，且，，都有成立. （1）求，的值，并判断的奇偶性. （2）已知函数，当时，. （i）判断在上的单调性； （ii）若均有，求满足条件的最小的正整数. 【答案】（1），，是奇函数 （2）（i）单调递减；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，根据函数的奇偶性的定义证明即可； （2）（i）根据函数的单调性的定义证明即可；(ii)根据函数单调性和奇偶性的性质得到关于的不等式，解出即可． 小问1详解】 令，得，解得， 令，得，故. 令，得，即， 又的定义域为，关于原点对称，所以是奇函数. 【小问2详解】 （i）由，可得， 即. ，且， 有， 因为，所以， 从而，得， 因此在上单调递减. （ii）因为，，所以是偶函数. ，而在上单调递减， 则有或，由题可知，只需考虑成立， 从而有. 因为，所以，则的最大值在处取到， 故只需. 综上，满足条件的最小的正整数. 【点睛】本题难点在证明单调性时，构造，结合已知进行证明，属于难题. 19. 当且时，对一切，恒成立.学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究. （1）若正数，满足，当时，求的值； （2）除整数对，请再举出一个整数对满足； （3）若，求使得等式成立的正整数对. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由当时代入可得，再由对数的运算性质求接即可得出答案. （2）当时，. （3）当和时，等式不成立，当，时，，复合函数单调性可得，即可判断当且仅当时，原等式成立. 【小问1详解】 当时，则， 所以，即，所以． 【小问2详解】 当时，，所以整数对为. 【小问3详解】 因为， 所以，且． 当时，，显然无解． 当时，，可得，无正整数解， 同理，当和时，也无正整数解． 当，时，， 因为，所以由复合函数单调性可得， 又因为，所以当且仅当时，原等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $