专题1.1 等腰三角形（2大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.1 等腰三角形（2大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等(定义)； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）； 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°； 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。 【知识点2】等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论： 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）； 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形； 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。 考点与题型目录 【考点一】综合考点——求值与证明 【题型1】等边对等角（等角对等边）...........................................2 【题型2】三线合一...........................................................5 【题型3】平行+角平分构造等腰................................................8 【题型4】等腰三角形性质与判定综合...........................................11 【题型5】等边三角形性质与判定综合...........................................14 【考点二】综合考点——分类讨论思想 【题型6】与边分类讨论.......................................................17 【题型7】与角分类讨论.......................................................19 【题型8】与高分类讨论.......................................................21 【题型9】与垂直平分线分类讨论...............................................24 【考点三】压轴考点——折叠、最值、存在、动点 【题型10】折叠问题..........................................................27 【题型11】最值问题..........................................................34 【题型12】存在性问题........................................................39 【题型13】动点问题..........................................................43 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型14】直通中考..........................................................48 【题型15】拓展延伸..........................................................52 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】等边对等角（等角对等边） ★【例1】（2024·青海玉树·三模）证明体验 (1)思考探究如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：． (2)拓展延伸如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据等边对等角得出，，进而根据三角形的外角的性质，等量代换即可得证； （2）证明即可得出结论． （1）证明：， ，， ，， ； （2）解：， ， ，， ，， ， ， 在与中， ， ， ； ★【变式1】（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．根据已知条件得到，求得，，过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，然后用待定系数法，由点B、F坐标，求出直线的函数表达式即可． 解：一次函数的图象分别交轴于点， 令，得，令，则， ， ， 过A作交于，过作轴于，   ， 是等腰直角三角形， ， ， ，而 ， ， ， 设直线的函数表达式为：， ， 解得：， 直线的函数表达式为：， 故选：D． ★【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是的高，且平分．若，则 °． 【答案】115 提示：因为是的高，所以，所以．因为平分，所以．因为，所以． ★【题型2】三线合一 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据题意可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证明，即可求证； （2）在中，利用勾股定理解答，即可求解． （1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解答本题的关键．先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到，再根据三线合一得到，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 解：在中，，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， 即． 故选：D． ★【变式2】（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，能够从图象上得出及边上的高是解题的关键． 根据图象可知，点P在上运动时，逐渐增大，而从B到C运动过程中，先变小后变大，从而可确定的长度以及边上的高，从而利用勾股定理即可求出的长度，最后利用三角形的面积公式即可得出答案． 解：由图象可知，点P在上运动时，逐渐增大，运动到点B时最大，所以 ， 而点P从B到C运动过程中，先变小后变大，当时，最小，此时为边上的高，长度为4，然后继续向点C运动，到C点时最大，所以． 如图，当时， ∵，，， ∴ ． ∵，， ， ， 故答案为：12． 【题型3】平行+角平分构造等腰 ★【例3】（24-25八年级上·湖南张家界·期中）如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． （1）证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）如图，在中，的角平分线与的外角平分线交于点D，过点D作，交于E，交于F，若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线和平行线可以构造出等腰三角形，得出，，即可求解． 解：如图，标记， 由题意知，平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 故选：C． ★【变式2】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．由、分别是和的角平分线，得，，根据平行线的性质得出，，从而有，，则，，然后代入求值即可． 解：、分别是和的角平分线， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为， 故答案为：． 【题型4】等腰三角形性质与判定综合 ★【例4】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)32． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键． （1）首先依据平行线的性质证明，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形； （2）首先证明，从而得到的长，然后可求得的长，于是可求得的周长． （1）证明：， ，， 平分， ， ， ． 是等腰三角形． （2）解：是的中点， ． ， ． 由对顶角相等可知：． 在和中 ≌． ． ， ． ． 的周长． ★【变式】．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知中，，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若轴，垂足为点，点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出：______；_____；点的坐标为_____． (2)如图②，若点在轴上滑动，点在轴上滑动，且轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)；； (2)，证明见解析 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、非负数性质，熟练掌握相关性质和判定定理是解题关键． （1）根据算术平方根和平方的非负数性质可得出，，根据同角的余角相等得出，利用可证明，即可得出，，进而求出，即可得答案； （2）延长和交于点，同（1）的方法可证明，得出，利用三角形内角和定理得出，根据等角对等边得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，即可得结论． （1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为 （2）解：，理由如下： 延长和交于点， ， ， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴平分， ， ∵， ， ， ， ． 【题型5】等边三角形性质与判定综合 ★【例5】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等边三角形；理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质； （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． （1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： ，， 是等边三角形． ★【变式】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由角所对直角边是斜边的一半得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，则，最后等边三角形的判定即可求证； （）由是等边三角形，则，从而得出，，由角所对直角边是斜边的一半得，然后根据等腰三角形的判定得，则，再由是等腰直角三角形，且，则，求出即可； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 【题型6】与边分类讨论 ★【例6】（22-23八年级上·山东潍坊·阶段练习）已知，且的周长是，则的边长中必有一边等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据全等三角形对应边相等解答即可． 解：∵，的周长是， ∴， ∵， ∴， ∴的边长中必有一边等于或， 故选D． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． ★【变式1】（2018·江西萍乡·一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是 ． 【答案】或5或8． 【分析】根据以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形分类讨论即可． 解：如图 （1）当在△ADE中，DE=5，当AD=DE=5时为等腰三角形，此时m=5. (2)又AC=5，当平移m个单位使得E、C点重合，此时AE=ED=5,平移的长度m=BC=8, (3)可以AE、AD为腰使ADE为等腰三角形，设平移了m个单位： 则AN=3,AC=，AD=m， 得：，得m=, 综上所述：m为或5或8， 所以答案：或5或8． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，注意分类讨论的完整性. 【变式2】（19-20八年级上·内蒙古·期末）已知等腰三角形的底边，且，则腰长为（   ） A．4或12 B．12 C．4 D．8或12 【答案】B 【分析】先化简绝对值，得到，结合三角形的三边关系，即可得到腰的长度. 解：∵， ∴， ∵等腰的底边， ∴．， ∵，则不符合题意， 故选：B． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，化简绝对值，以及三角形的三边关系，解题的关键是正确化简绝对值. 【题型7】与角分类讨论 ★【例7】（20-21七年级下·上海金山·期末）在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB＝100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于 ． 【答案】64°或28° 【分析】分三种情况：①AB=AC时；②BA=BC时；③CA=CB时；分别由等腰三角形的性质和“黄金三角形”的定义求出∠BAC的度数，即可求解． 解：当△ABC为“黄金三角形”时，分三种情况： ①AB=AC时，∠ACB=∠ABC=2∠BAC， ∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， ∴∠BAC=×180°=36°， ∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-36°=64°； ②BA=BC时，∠BAC=∠BCA=2∠ABC， ∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， ∴∠BAC=×180°=72°， ∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-72°=28°； ③CA=CB时，∠BAC=∠ABC=2∠ACB， ∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， ∴∠BAC=×180°=72°， ∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=100°-72°=28°； 综上所述，∠OAC的度数等于64°或28°， 故答案为：64°或28°． 【点拨】本题考查了“黄金三角形”的定义、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握黄金三角形的定义、等腰三角形的性质，求出∠BAC的度数是解题的关键，注意分类讨论． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果等腰的一个内角为，那么顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质及三角形内角和定理，由题意，分两种情况：①为等腰的顶角；②为等腰的底角；求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质及三角形内角和定理，分类讨论是解决问题的关键． 解：根据题意，分两种情况：①为等腰的顶角；②为等腰的底角； 当为等腰的顶角时，满足题意； 当为等腰的底角时，由等腰三角形性质及三角形内角和定理可得顶角为； 综上所述，顶角的度数为或， 故选：D． ★【变式2】．（22-23八年级上·上海虹口·期中）如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一个“倍角三角形”．如果一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是 ． 【答案】或/36°或90° 【分析】分两种情况：当顶角是底角的2倍时和当底角是顶角的2倍时，根据三角形的内角和定理，列出方程，计算即可． 解：当顶角是底角的2倍时， 设顶角为，则底角为， ∴， 解得：， 当底角是顶角的2倍时， 设顶角为，则底角为， ∴， 解得：， 综上所述，它的顶角的度数是或． 故答案为：或 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的定义、解一元一次方程，解本题的关键在分情况讨论思想的应用． 【题型8】与高分类讨论 ★【例8】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角等于（  ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出高在三角形内部一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论． 解：当高在三角形内部时，如图， ∵ ∴， ∴ ∴底角为； 当高在三角形外部时， 如图， ∵于D， ∴， ∴ ∴底角是是． 故选：A． ★【变式1】（20-21八年级上·广东佛山·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（          ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】D 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 解：当高在三角形内部时，如图1， ∵∠ABD=30°，BD⊥AC， ∴∠A=60°； ∴顶角是60°； 当高在三角形外部时，如图2， ∵∠ABD=30°，BD⊥AC于D， ∴∠BAD=60°， ∴∠BAC=180°-60°=120° ∴顶角是120°． 故选：D． 【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． ★【变式2】（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习） （1）若等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个内角为 ． （2）等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长为 ． （3）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角为 ． 【答案】 ，，或，，． 或 或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，内角和定理即可得到每个底角的度数． （2）因为和不知道那个是底那个是腰，所以要分不同的情况讨论，当是腰时，当是腰时； （3）分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可． 解：（1）解：若是顶角的外角，则顶角； ∴底角为 则这个三角形的三个内角为，， ②若是底角的外角，则底角，那么顶角． 则这个三角形的三个内角为，， 故答案为：，，或，，． （2）当是腰时，边长为，，，，故能构成三角形，故周长为． 当是腰时，边长为，，，且，能构成三角形故周长为． 故答案为：或； （3）解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，    故顶角是． 故答案为：或． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，并分类讨论是解题的关键． 【题型9】与垂直平分线分类讨论 ★【例9】（20-21八年级下·广东佛山·期末）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为30°，则底角∠B的度数是 ． 【答案】60°或30° 【分析】当△ABC为锐角三角形时，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，在Rt△ADE中可求得∠A，再由三角形内角和定理可求得∠B；当△ABC为钝角三角形时，设AB的垂直平分线交AB于点E，交直线AC于点D，则可求得△BAC的外角，再利用外角的性质可求得∠B，可求得答案． 解：当△ABC为锐角三角形时， 如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E， ∵∠ADE＝30°，DE⊥AB， ∴∠A＝90°−30°＝60°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝（180°−∠A）＝60°； 当△ABC为钝角三角形时， 如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D， ∵∠ADE＝30°，DE⊥AB， ∴∠DAB＝60°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B＋∠C＝∠DAB， ∴∠B＝30°； 综上可知∠B的度数为60°或30°， 故答案为：60°或30°． 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键． 【变式1】（19-20八年级上·河南周口·期末）等腰三角形中，边上的垂直平分线与边所在的直线相交所得的锐角为，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ADE中可求得∠A,再由三角形内角和定理可求得∠A;当△ABC为钝角三角形时，求得△BAC的外角，利用外角的性质求得∠A. 解：当△ABC为锐角三角形时，如图,设AB的垂直平分线交线段AC于点D,交AB于点E, ∵∠ADE=40°, DE⊥AB, ∴∠A=90°-40°=50°， 当△ABC为钝角三角形时，如图，设AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D, ∵∠ADE=40°，DE⊥AB, ∴∠DAB=50°, ∴∠BAC=180°-∠DAB=130° 故选：D 【点拨】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键. ★【变式2】（21-22八年级上·山西太原·开学考试）已知等腰，，若边上的垂直平分线与直线所夹的锐角为，则等腰底角的度数为 ． 【答案】65°或25°. 【分析】当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ADE中可求得∠A，再由三角形内角和定理可求得∠B；当△ABC为钝角三角形时，求得△BAC的外角，利用外角的性质求得∠B． 解：当△ABC为锐角三角形时，如图1， 设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E， ∵∠ADE=40°，DE⊥AB， ∴∠A=90°-40°=50°， ∵AB=AC， ∴∠B= （180°-∠A）=65°； 当△ABC为钝角三角形时，如图2， 设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D， ∵∠ADE=40°，DE⊥AB， ∴∠DAB=50°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠B+∠C=∠DAB， ∴∠B=25°， 故答案为65°或25°. 【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键． 【题型10】折叠问题 ★★【例10】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______；点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标． (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)(3)或；(4)存在，点P的坐标或或 【分析】（1）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，即可得到点D的坐标； （2）设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标； （3）先求出，设点的坐标为，则，根据列方程求出的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． （1）解：，， ,， 在中，, 由折叠的性质可知，， ， 点D的坐标是， 故答案为：，； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， ， 解得：，即， 点C的坐标为； （3）解：，， ，， ， 设点的坐标为， ， ， ， ， 或， 或， 点M的坐标为或； （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点, ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点P的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点, 同理 可证，， ，， , 点P的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点,轴于点, ， ， ， ， ， 在和中， , ， ，， 设点P的坐标为， ， ，， ， 解得：， 点P的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标或或． 【点拨】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． ★★【变式1】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在长方形中，将四边形沿折叠，的对应边为，与交于点G，延长经过点A，延长交于点H，，则为（    ） A．10 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】先求解，，如图，过作于，证明，，，都为等腰直角三角形；再进一步结合轴对称的性质与勾股定理可得答案． 解：∵，， ∴， ∴，， 如图，过作于， ∵长方形， ∴，，，， 由对折可得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，都为等腰直角三角形； ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C 【点拨】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． ★★【变式2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，点D是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点A落在E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长． 解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质，分类讨论，是解题关键． ★★【题型11】最值问题 【例11】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，在上取点E，使，连接CE，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，并利用等腰三角形的性质作出辅助线是解题的关键，过点B作，使，连接，，则，易证得，得到，故当且仅当C，E，F三点共线时，为最小值，过D作于点M，过点F作，交的延长线于点G，则，设，则，在中，利用勾股定理可得，则，再利用证得，，，在中，利用勾股定理可得到，从而得到，的值，再次利用勾股定理可求得的值，进而得到的最小值． 解：如图，过点B作，使，连接，， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当且仅当C，E，F三点共线时，为最小值， 过D作于点M，过点F作，交的延长线于点G，则， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． ★★【变式1】（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，则可得；再证明，从而可得出是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得，求得的值，由，可得的值，设，则，，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可． 解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，如图所示： ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，；，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 即当的周长取最小值时，的长为． 故选：B． ★★【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，为射线上一动点（不与点重合），点在射线上，且．点运动的过程中，当取最小值时，的度数是 ． 【答案】120 【分析】作点关于的对称点，连接，过点作交于点，交于点，连接，得出当三点共线，且时，最小，证明是等边三角形，得出，，根据三角形内角和定理求出，即可求解． 解：作点关于的对称点，连接，过点作交于点，交于点，连接， 根据对称可得， ∵ ∴ ∴ ∴当三点共线，且时，最小， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：120． 【点拨】该题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理，最短路径问题等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 【题型12】存在性问题 ★★【例12】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，已知直线是由正比例函数的图象沿着轴向上平移4个单位得到的， (1)请求出直线的表达式； (2)若直线与轴、轴分别交于两点，点是线段上的一个动点，连接 ①线段将的面积分成的两部分，请求出此时点的坐标； ②当点运动到线段的中点时，在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，或或 【分析】本题考查了一次函数的平移，勾股定理，等腰三角形的定义； （1）根据函数图象平移的规律解答即可； （2）根据解析式得出，，根据题意可得或，进而建立方程，求得点的坐标； （3）设，分分别为等腰三角形的顶点，根据勾股定理以及等腰三角形的定义建立方程，解方程即可求解． 解：（1）将的图象向上平移个单位，得到的直线， 则的表达式为， （2）∵点是线段上的一个动点，的表达式为， ∴设， ∵线段将的面积分成的两部分， ∴或 ∵，当时，，当时， ∴，，即， ∴， ∴或， ∴①或 解①得：或（舍去） 解②得：或（舍去） 所以或 ②当点运动到线段的中点时，则， ∴， ∵点在轴上，为等腰三角形 设， ∴， 当时， ∴，则 当时，，即， 解得：（舍去）或，则 当时，则， 解得：，则 综上所述，或或． ★【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点、A，在第一象限内，存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合及等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意可分当和当，然后根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定可进行分类求解． 解：令时，则有；令时，则有，即， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰直角三角形，则可分：当时，如图所示， 过点P作轴于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示， 同理可得； 综上所述：当是以为腰的等腰直角三角形，点或； 故答案为或． ★【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点B，即可得解． 解：要使为等腰三角形分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个； ②当时，以点A为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个； ③当时，以点O为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个， ， 故选：D． 【题型13】动点问题 ★★【例13】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，，线段上有一点P（不含端点），连接，动点M从A点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度运动到点P，再沿线段以每秒个单位长度的速度运动到点C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时，点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据时间的表达式，分别作轴，轴，使、交于D，过点P作于点E，连接，利用，C点坐标特点构造等腰直角三角形，找到和之间关系，放在同一个三角形中，两边之和大于第三边找到与关系，为垂线的时候最短，即可找到P点坐标． 解：P在整个过程中用时： 如图分别作轴，轴，使、交于D，过点P作于点E，连接，    ，，， ∴，， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ∵， 也是等腰直角三角形， ， ， 当时，取得最小值， 即点E在点处时，运动时间最小，即与的交点为点P的位置， 此时点P的横坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式得， 解得:， ∴解析式为， 将代入，得， ∴当P的坐标为，点P在整个运动过程中用时最少， 故答案为：． 【点拨】本题考查了直角坐标系下动点问题，二元一次方程组，最短路径问题，构造等腰直角三角形，将有关线段放在一个三角形中，利用三角形成形条件，找到最短路径下P点的坐标是解答本题的关键． ★★【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为 ． 【答案】 【难度】0.4 【分析】分类讨论：①当点落在对角线上时和②当点落在对角线上时，分别正确作出辅助线，结合题意求解即可． 解：分类讨论：①当点落在对角线上时，连接，如图， ∵将长方形沿折叠，点的对应点为， ∴，． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴，． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动的距离为2； ②当点落在对角线上时，作于点H，如图， ∴． ∵在长方形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， ∴此时点运动的距离为． 综上可知点运动的距离为2或． 故答案为：． 【点拨】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． ★★【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图， 为等边三角形， 且，点D是边上一动点， 点E为边上一动点， 若沿着直线翻折后， 点A始终落在边上．若， 则满足条件的a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理得，，由翻折后，点A始终落在边上，可得，即，，可求，进而可得，然后作答即可． 解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化等知识．熟练掌握折叠的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形，勾股定理，分母有理化是解题的关键． 第三部分 中考链接与拓展延伸 【题型14】直通中考 ★【例1】（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论； （2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． （1）证明：∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点E作于F， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．    【点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键． ★★【例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 解：图②的结论是：证明如下： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 【题型15】拓展延伸 ★★★【例1】（2023·广东深圳·模拟预测）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，为中点，交于点，则的长为（　　）    A．56 B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，使，连接，过作，交的延长线于点，证，得，，再证，得，，然后由含角的直角三角形的性质得，则，，进而求出，再利用即可解决问题． 解：延长至，使，连接，过作，交的延长线于点，如图所示：    为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． ★★★【例2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，…按此规律进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线可知，点，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，，，结论可得． 解：∵直线与轴负半轴交于点， ∴， ∴， 是等边三角形， 过作轴，如图所示： 垂直平分，即， ，进而由勾股定理可得， ∴， 当时，，解得， ∴， 在等边中，同理可得； 当时，，解得， ∴， 在等边中，同理可得； 按照以上求解过程，可得，，， ∴的横坐标为， 故选：D． 【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标的特征，等边三角形的性质，含的直角三角形性质，勾股定理，特殊图形点的坐标的规律，本题是规律探索型，准确找到坐标的变化规律是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 等腰三角形（2大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等(定义)； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）； 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°； 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。 【知识点2】等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论： 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）； 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形； 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。 考点与题型目录 【考点一】综合考点——求值与证明 【题型1】等边对等角（等角对等边）...........................................2 【题型2】三线合一...........................................................3 【题型3】平行+角平分构造等腰................................................4 【题型4】等腰三角形性质与判定综合...........................................5 【题型5】等边三角形性质与判定综合...........................................5 【考点二】综合考点——分类讨论思想 【题型6】与边分类讨论.......................................................6 【题型7】与角分类讨论.......................................................6 【题型8】与高分类讨论.......................................................7 【题型9】与垂直平分线分类讨论...............................................7 【考点三】压轴考点——折叠、最值、存在、动点 【题型10】折叠问题..........................................................8 【题型11】最值问题..........................................................9 【题型12】存在性问题.......................................................10 【题型13】动点问题.........................................................11 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型14】直通中考.........................................................12 【题型15】拓展延伸.........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】等边对等角（等角对等边） ★【例1】（2024·青海玉树·三模）证明体验 (1)思考探究如图1，在中，点在边上，点在边上，，，与相交于点．求证：． (2)拓展延伸如图2，在（1）的条件下，过点作的平行线交于点，若，，求的长． ★【变式1】（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式为（    ）    A． B． C． D． ★【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是的高，且平分．若，则 °． ★【题型2】三线合一 【例2】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点是的中点，点在的延长线上，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)连接，若，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 ★【变式2】（24-25八年级上·贵州六盘水·期中）如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【题型3】平行+角平分构造等腰 ★【例3】（24-25八年级上·湖南张家界·期中）如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）如图，在中，的角平分线与的外角平分线交于点D，过点D作，交于E，交于F，若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 ★【变式2】（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是 ． 【题型4】等腰三角形性质与判定综合 ★【例4】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，已知点在线段的反向延长线上，过的中点作线段交的平分线于，交于，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的周长． ★【变式】．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知中，，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在轴上． (1)如图①若轴，垂足为点，点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出：______；_____；点的坐标为_____． (2)如图②，若点在轴上滑动，点在轴上滑动，且轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，请猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【题型5】等边三角形性质与判定综合 ★【例5】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． ★【变式】（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【题型6】与边分类讨论 ★【例6】（22-23八年级上·山东潍坊·阶段练习）已知，且的周长是，则的边长中必有一边等于（    ） A． B．或 C． D．或 ★【变式1】（2018·江西萍乡·一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是 ． 【变式2】（19-20八年级上·内蒙古·期末）已知等腰三角形的底边，且，则腰长为（   ） A．4或12 B．12 C．4 D．8或12 【题型7】与角分类讨论 ★【例7】（20-21七年级下·上海金山·期末）在一个等腰三角形中，如果它的底角是顶角的两倍，这样的三角形我们称之为“黄金三角形”．如图，已知点A在∠MON的边OM上，点B在射线ON上，且∠OAB＝100°，以点A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），当△ABC为“黄金三角形”时，那么∠OAC的度数等于 ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果等腰的一个内角为，那么顶角的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 ★【变式2】．（22-23八年级上·上海虹口·期中）如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一个“倍角三角形”．如果一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是 ． 【题型8】与高分类讨论 ★【例8】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角等于（  ） A．或 B． C． D．或 ★【变式1】（20-21八年级上·广东佛山·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（          ） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° ★【变式2】（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习） （1）若等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个内角为 ． （2）等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长为 ． （3）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角为 ． 【题型9】与垂直平分线分类讨论 ★【例9】（20-21八年级下·广东佛山·期末）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为30°，则底角∠B的度数是 ． 【变式1】（19-20八年级上·河南周口·期末）等腰三角形中，边上的垂直平分线与边所在的直线相交所得的锐角为，则的度数为（  ） A． B． C．或 D．或 ★【变式2】（21-22八年级上·山西太原·开学考试）已知等腰，，若边上的垂直平分线与直线所夹的锐角为，则等腰底角的度数为 ． 【题型10】折叠问题 ★★【例10】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______；点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标． (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ★★【变式1】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在长方形中，将四边形沿折叠，的对应边为，与交于点G，延长经过点A，延长交于点H，，则为（    ） A．10 B．16 C． D． ★★【变式2】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，点D是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点A落在E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是 ． ★★【题型11】最值问题 【例11】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，在上取点E，使，连接CE，则的最小值是 ． ★★【变式1】（23-24八年级上·山东济南·开学考试）如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． ★★【变式2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，为射线上一动点（不与点重合），点在射线上，且．点运动的过程中，当取最小值时，的度数是 ． 【题型12】存在性问题 ★★【例12】（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，已知直线是由正比例函数的图象沿着轴向上平移4个单位得到的， (1)请求出直线的表达式； (2)若直线与轴、轴分别交于两点，点是线段上的一个动点，连接 ①线段将的面积分成的两部分，请求出此时点的坐标； ②当点运动到线段的中点时，在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． ★【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点、A，在第一象限内，存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，则点的坐标是 ． ★【变式2】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型13】动点问题 ★★【例13】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，，线段上有一点P（不含端点），连接，动点M从A点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度运动到点P，再沿线段以每秒个单位长度的速度运动到点C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时，点P的坐标是 ． ★★【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为 ． ★★【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图， 为等边三角形， 且，点D是边上一动点， 点E为边上一动点， 若沿着直线翻折后， 点A始终落在边上．若， 则满足条件的a的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 第三部分 中考链接与拓展延伸 【题型14】直通中考 ★【例1】（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． ★★【例2】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【题型15】拓展延伸 ★★★【例1】（2023·广东深圳·模拟预测）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，为中点，交于点，则的长为（　　）    A．56 B． C． D． ★★★【例2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，…按此规律进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$