精品解析：上海市闵行区2025届高三上学期学业质量调研数学试卷

2024学年第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 设集合，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 2. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由等价于，即可求解. 【详解】由，得， 解得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 3. 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设直线的倾斜角为 ． 由直线化为，故， 又，故，故答案为． 【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中 为直线的倾斜角，注意它的范围是． 4. 已知正实数 、 满足，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】正实数 、 满足，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 5. 已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆锥的高为8，底面半径为， 所以圆锥的母线长为， 则圆锥的侧面积. 故答案为：. 6. 的二项展开式中，项的系数为______． 【答案】28 【解析】 【分析】利用二项式定理求出含的项，进而求出其系数. 【详解】在的二项展开式中，含的项为， 所以项的系数为28. 故答案为：28 7. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出当时的函数值，再根据奇函数的性质得解. 【详解】因为函数为奇函数， 当时， 所以. 故答案为： 8. 从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为______． 【答案】144 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理及排列应用问题列式计算得解. 【详解】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种， 所以不同的值班安排方法种数为（种）. 故答案为：144 9. 已知（i为虚数单位， 为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】由 的整数次幂的周期性求出的取值集合，进而列举出所有结果即可得解. 【详解】依题意，，，则， 因此，， 所以的值中不同虚数有：，共6个. 故答案为：6 10. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于 、两点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、，设，根据数量积的坐标表示及，求出 点坐标，从而求出的方程，再联立直线与椭圆方程，求出点坐标，最后由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】椭圆，则、， 设，因为，即， 即，又，解得，不妨取， 则的方程为，由，解得或， 所以， 所以，， 所以. 故答案为： . 11. 如图，某小区内有一块矩形区域 ，其中米，米，点、分别为、 的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为 、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段 上，另外两个顶点在线段 上，则该游乐区面积的最大值为______平方米．（结果保留整数） 【答案】137 【解析】 【分析】根据已知条件知，当三角形的两边分别与圆弧相切时，三角形的面积最大，设切点为 ，，由三角形全等得到，将三角形面积的表达式用 表示，从而转化为三角函数，利用换元法转化为基本不等式求最值即可求解. 【详解】设游乐区所在的三角形为，在线段 上，在线段上，如图所示， 当分别于圆弧相切时，取得最大值， 由对称性，只讨论， 设与圆弧相切于点 ，连接， 设，因为≌， ≌， 则，， 因为，所以，， ，， 所以 ， 因为，所以， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以平方米， 即该游乐区面积的最大值为137平方米． 故答案为：137. 12. 已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的值域得到，则成立的必要条件是，当时必然成立，讨论时是否满足条件即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以，所以， 即，，所以， 当且仅当时，成立， 所以， 必要条件：，解得； 若，即时，必然成立； 若，因为，，不妨设， 则，，且， 所以，， 所以①，②， ①②两式联立得，即， 所以，又，所以，， 当时，，不符合条件； 当时，，则，此时； 当时，，则或，此时或， 因为，所以； 综上，或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据的值域得到，将问题转化为；关键点之二在于讨论时是否满足条件. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交， 反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线， 所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件. 故选：A 14. 下列函数中，在区间 上是严格减函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用解析式直接判断各选项中函数在 上的单调性即可. 【详解】对于A，函数在 上是严格增函数，A不是； 对于B，函数在 上是严格减函数，B是； 对于C，函数在 上是严格增函数，C不是； 对于D，当 时，在 上是严格增函数，D不是. 故选：B. 15. 已知数列满足，其中 为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（ ） A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，当时，，然后作差证明数列的单调性；对于②，当时，容易发现无论为何值，最终恒为常数. 【详解】对于①，时，，， 时，；时，，也有，故①为真命题. 对于②，时，，， 当时，，，不严格递减； 当时，，，不严格递减； 当时，， 若，则， 同理当时，， 则存在，使得， 则，，不严格递减. 综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题对①的分析得关键是对分类讨论，分和研究即可. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 16. 在直三棱柱中，， ，，连接，、分别为和的中点． （1）证明：直线平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明： 如图所示： 连接，因为、分别为和的中点， 所以，又平面，平面， 所以直线平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，易得，再利用线面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，易知平面ABC的一个法向量，设二面角的大小为 ，由 求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令 ，得 ，则 ， 易知平面ABC的一个法向量为： ， 设二面角的大小为 ， 则 ， 二面角的大小为. 17. 已知 （1）若 ，求函数的值域； （2）若存在，使得，求实数 的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把 代入，结合二次函数性质及对勾函数的单调性分段求出求出值域即可得解. （2）由给定条件，可得，再代入化简并结合辅助角公式及正弦函数的性质求出范围. 【小问1详解】 当 时，函数， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，在上单调递增，在上单调递减，， 所以函数的值域是. 【小问2详解】 当时，，由，得， 则，整理得， 而，，因此， 所以实数 的取值范围. 18. 为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示： 睡眠时长（小时） 人数 150 270 180 注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足． （1）估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？ （2）估计该市高三学生日均睡眠时长； （3）若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率． 【答案】（1）4.95（万人） （2）（小时） （3） 【解析】 【分析】（1）由样本中日均睡眠时长大于等于6小时的频率估计总体即可； （2）用样本平均数估计总体平均数即可； （3）由古典概型结合组合数公式即可求解. 【小问1详解】 由题知，随机抽取的600人中日均睡眠时长大于等于6小时的人数为（人）， 所以估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为（万人）； 【小问2详解】 随机抽取的600人的日均睡眠时长为（小时）， 所以估计该市高三学生日均睡眠时长约为（小时）； 【小问3详解】 从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，抽样比例为， 所以睡眠时长在抽取（人）， 睡眠时长在抽取（人）， 睡眠时长在抽取（人）， 则从这20人中随机抽取4人，这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率为. 19. 已知圆，双曲线，直线，其中． （1）当时，求双曲线的离心率； （2）若 与圆相切，证明： 与双曲线的左右两支各有一个公共点； （3）设 与轴交于点 ，与圆交于点 、，与双曲线的左右两支分别交于点 、，四个点从左至右依次为 、 、、．当时，是否存在实数 ，使得成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）证明如下： 由直线 与圆相切，得，即， 联立得， 即， 该一元二次方程的判别式， 因此有两个不相等的实数根， 且两根之积为，因此两根一正一负， 即 与双曲线的左右两支各有一个公共点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式即可； （2）联立双曲线和直线方程，根据韦达定理即可证明； （3）联立圆和直线方程，得到韦达定理式和判别式，再联立双曲线方程和直线方程，得到韦达定理和判别式，再将向量点乘式化成横坐标关系，再代入化简即可. 【小问1详解】 由题意，，所以，， 因此，双曲线的离心率. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 联立，得，得， 由可得. 联立得，得 且分别交于左右两支可得， 又，又 、 、、四个点在同一直线上， ， ，还可得， ， 即，化简后可得:， 代入后化简可得:，解得，由 ，得. 经检验，此时 与两支分别有交点， 为唯一满足条件的实数 . 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是多次联立，得到韦达定理，再将向量式化简得，即，再代入韦达定理式计算即可. 20. 设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称 为函数的一个“值” （1）设，求的值； （2）设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合； （3）已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是． 【答案】（1） （2） （3） 由函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值可知，的任一解均唯一，即是单调函数. 必要性：若在上为严格增函数，则对， 有，即成立，则有； 充分性：若在上不为严格增函数，因为是单调函数，则假设是单调减函数， 则对，都有，即成立， 与矛盾，所以假设不成立，即在上为严格增函数. 得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知有唯一解，由可求出结果； （2）求以及，研究的单调性，分析的图像，可得出的函数值中不存在值时的情况，列出等式可解出的取值； （3）从充分性以及必要性两种情况来证. 【小问1详解】 由题设知：有唯一解， 即有唯一解，所以，解得：. 所以的值为 . 【小问2详解】 ， 当时，由可得：或，由可得：或， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，当时，，且，，画简图如下： 若的函数值中不存在值，则不存在唯一解，即， 解得：； 当 时，，令，则 ，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，此时存在有唯一解，不符合题意，所以，实数取值的集合为. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：若集合中有且仅有一个元素，等价于有唯一解，研究函数的单调性以及图像，判断有唯一解的情况即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 设集合，，则______． 2. 不等式的解集为_____. 3. 直线的倾斜角为______． 4. 已知正实数 、 满足，则的最小值为______． 5. 已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为______． 6. 的二项展开式中，项的系数为______． 7. 已知函数为奇函数，则______. 8. 从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为______． 9. 已知（i为虚数单位， 为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为______． 10. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于 、 两点．若，则______． 11. 如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点 、 分别为 、 的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为 、 ，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段 上，则该游乐区面积的最大值为______平方米．（结果保留整数） 12. 已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 下列函数中，在区间 上是严格减函数的为（ ） A. B. C. D. 15. 已知数列满足，其中 为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（ ） A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 16. 在直三棱柱中，， ，，连接，、 分别为和 的中点． （1）证明：直线平面； （2）求二面角的大小． 17. 已知 （1）若 ，求函数的值域； （2）若存在，使得，求实数 的取值范围． 18. 为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示： 睡眠时长（小时） 人数 150 270 180 注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足． （1）估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？ （2）估计该市高三学生日均睡眠时长； （3）若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率． 19. 已知圆，双曲线，直线，其中． （1）当时，求双曲线的离心率； （2）若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点； （3）设与轴交于点 ，与圆交于点 、 ，与双曲线的左右两支分别交于点 、 ，四个点从左至右依次为 、 、 、 ．当时，是否存在实数 ，使得成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 20. 设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称 为函数的一个“ 值” （1）设，求的 值； （2）设，且，若的函数值中不存在 值，求实数 取值的集合； （3）已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为 值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $