专题01 有理数(8题型)-2025年中考数学总复习（全国通用）

专题01 有理数 题型一：正数、负数和0 1、正数和负数的定义： 大于0的数叫做正数， 小于0的数叫做负数。 0既不是正数也不是负数。 2、正数和负数的意义： 表示具有相反意义的两个量。 3、正负号的化简： 同号为正，异号为负。 （例题讲解） 例1-1．下列说法错误的是　　 A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成，也可以写成 C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 D．若盈利1000元记作元，则元表示亏损200元 例1-2．已知一个乒乓球的标准质量为，把质量为的乒乓球记为，则质量为的乒乓球应记为　　 A． B． C． D． （练习题） 1．下列选项中，可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是　　 A．1和2 B．和 C．和2 D．和0 2．下列各数中，是负数的是　　 A． B．0 C． D． 3．大约两千年前，我国古代数学名著《九章算术》中已明确解释了正、负数的概念：卖多少是正数，买多少是负数．若卖出10元记作元，则买入2.4元应表示为　　 A．元 B．元 C．元 D．元 4．若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是　　 A． B． C． D． 5．手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是　　 转账——来自天青色 微信红包——发给高原红 A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元 题型二：相反数 1、相反数的定义： 只有符号不同的两个数互为相反数。则称其中一个数是另一个数的相反数。0的相反数还是0。 2、相反数的性质： 互为相反数的两个数和为0。即与互为相反数⇔⇔ 例2-1．2025的相反数是　　 A． B． C．2025 D． 例2-2．若，互为相反数，则　 　 （练习题） 1．在下列数中，相反数等于本身的数是　　 A．0 B．1 C． D． 2．下列各对数中，互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 3．如图，数轴上有，，，四个点，其中表示的相反数的点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 4．的相反数是 　　． 5．如果与是互为相反数，则的值是　 　． 题型三：绝对值 1、绝对值的定义： 数轴上表示数的点到原点的距离用数的绝对值来表示。即||。离远点越远的数绝对值越大，离原点越近的数绝对值越小。 2、求绝对值： 正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0。 即。 3、绝对值与相反数： 互为相反数的两个数绝对值相等。即与互为相反数，则。 绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。即或。 绝对值为正数的数有两个，且互为相反数。如若，则。 （例题讲解） 例3-1．等于　　 A． B． C．2 D． 例3-2．下列说法正确的是　　 A．一个有理数的绝对值一定大于它本身 B．只有正数的绝对值等于它本身 C．负数的绝对值是它的相反数 D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 （练习题） 1．下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 2．下列四个数中，绝对值最大的是　　 A．2 B． C．0 D． 3．已知，则　 　． 题型四：倒数 1、倒数的定义： （）的倒数是． 2、乘积为1的两个数互为倒数。即若与互为倒数。注意：0没有倒数。 3、乘积为﹣1的两个数互为负倒数。即若与互为负倒数。 （例题讲解） 例4-1．下列互为倒数的是　　 A．和 B．和2 C．3和 D．和 （练习题） 1．下列选项中的各数，倒数是它本身的是　　 A．5 B．2 C．1 D．0 2．的倒数是　　 A． B． C． D． 3．的倒数是　 　． 4．若、互为倒数，则　 　． 5．若、互为相反数，、互为倒数，则的值是 　3　． 题型五：有理数的大小比较 1、绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小。 2、数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 3、差值比较法：，则；，则；，则； （例题讲解） 例5-1．下列各数中，最大的数是　　 A． B．3 C． D．0 例5-2．若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是　　 A． B． C． D． （练习题） 1．下列各数中，比小的数是　　 A． B． C．0 D．3 2．已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，那么　　 A． B． C． D． 3．比较大小： 　 　（填“”，“ ”或“” ． 4．大于而小于3.5的整数共有　 　个． 5．如图，点在数轴上的坐标为，试比较大小： 　 　．（填“”或“” 题型六：有理数的运算 1、有理数的加法运算： 同号相加，符号不变，并将两数的绝对值相加；异号相加，符号取绝对值较大的符号，再把绝对值做差。 （1） 加法的交换律：；（2）加法的结合律：。 2、有理数的减法运算： 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即。 3、有理数的乘法运算： 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。任何数同零相乘都得零， （1）几个数相乘，只要有一个零，则最后的乘积为零；若各个因数都不为零，则积的符号由负数的个数决定，若负数有奇数个则积为负，若负因式有偶数个则积为正，简称奇负偶正。 （2）乘法的交换律：；（2）乘法的结合律：； （3）乘法的分配律：。 4、有理数的除法运算： 除以一个数等于乘以这个数的倒数；即。注意：零不能做除数。 5、有理数的乘方运算： 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。即，读作a的n次方，也叫a的n次幂． 在中，为底数，为指数。在乘方运算中，底数和指数不能同时为0，即无意义。 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 注意：当为正奇数时:，与互为相反数。 当为正偶数时: ，与互为相反数。 6、有理数的混合运算：先算乘方、再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算． （例题讲解） 例6-1．数轴上的两点所表示的数分别为，，且满足，，下列结论正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 例6-2．计算：． 例6-3．为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的嘉嘉以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：，，，，． （1）求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ （2）若这6名同学的平均成绩超过了160次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． （练习题） 1．计算的结果是　　 A．8 B． C．2 D． 2．武汉市元月份某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是　　 A． B． C． D． 3．若，，则的值为　　 A． B．0 C．3 D．8 4．某同学在计算时，误将“”看成“”结果是，则的正确结果是　　 A．6 B． C．4 D． 5．若，，且，那么的值是　　 A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 6．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35； ②，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．计算的结果是 　 　． 9．，这个算式结果的整数部分是 　 　． 10．计算： （1）； （2）． 11．已知有理数，，在数轴上对应位置如图所示： （1）用“”或“”填空：　 　0，　　0，　　0，　　0； （2）化简：． 12．某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天（单位：袋）变化如图，增加粮食记作“”，减少粮食记作“”． （1）通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； （2）在号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化情况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 13．（1）将下列计算的结果直接写成幂的形式： ；　 　；　 　； 　 　； （2）一般地，把个为有理数且，为正整数）相除的结果记作，读作“的圈次方”． 计算：　　（其中，为正整数）． 请你尝试用文字概括归纳的运算结果： 一个非零有理数的圈次方等于 　 　； （3）计算：． 题型七：绝对值与偶次方的非负性 1、绝对值的非负性： 根据绝对值的定义可知，是一个非负数，恒大于等于0。即≥0。 2、偶次方的非负性： 任何数的偶次方都恒大于等于0。即。 几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。即，则；，则；，则。 （例题讲解） 例7-1．已知，则的值为　　 A．13 B．5 C．3 D．2 （练习题） 1．若与互为相反数，则　　 A． B．1 C．2 D． 2．若，则的值为　 　． 3．已知满足，则的值是 　 　． 4．已知，则的值为 　 　． 5．如果，那么的值为 　　． 题型八：科学记数法 1、科学记数法定义： 把一个大于绝对值大于10或绝对值小于1的数表示为的形式叫做科学记数法。在中，，为整数。 （例题讲解） 例8-1．今年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 例8-2．生物学家发现了一种病毒，其长度约为，数据0.0000000052用科学记数法表示正确的是　　 A． B． C． D． （练习题） 1．经国家统计局初步核算，2023年我国国内生产总值1260582亿元，按不变价格计算，比上年增长．其中数据“1260582亿”用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 2．芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了（纳米），已知，将用科学记数法可表示　　． A． B． C． D． 3．习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步．”“学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为　　 A．126300000 B．12630000 C．1263000000 D．1263000 4．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数 题型一：正数、负数和0 1、正数和负数的定义： 大于0的数叫做正数， 小于0的数叫做负数。 0既不是正数也不是负数。 2、正数和负数的意义： 表示具有相反意义的两个量。 3、正负号的化简： 同号为正，异号为负。 （例题讲解） 例1-1．下列说法错误的是　　 A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成，也可以写成 C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 D．若盈利1000元记作元，则元表示亏损200元 【答案】 【分析】根据有理数的概念和性质判断即可． 【解析】既不是正数，也不是负数， 正确，不符合题意； 零上6摄氏度可以写成，也可以写成， 正确，不符合题意； 正方向可以自主确定， 向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示，是错误的， 不正确，符合题意； 盈利1000元记作元，则元表示亏损200元， 正确，不符合题意； 故选． 例1-2．已知一个乒乓球的标准质量为，把质量为的乒乓球记为，则质量为的乒乓球应记为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据比标准质量多记为正数，比标准质量少就记为负数，可以写出质量为的乒乓球应记为． 【解析】一个乒乓球的标准质量为， 比标准质量少，记为， 故选． （练习题） 1．下列选项中，可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是　　 A．1和2 B．和 C．和2 D．和0 【答案】 【分析】根据正数和负数表示一对相反意义的量即可得出答案． 【解析】正数和负数表示一对相反意义的量， 和2表示一对相反意义的量． 故选． 2．下列各数中，是负数的是　　 A． B．0 C． D． 【答案】 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解析】．，是正数； 既不是正数，也不是负数； ，是负数； ．，是正数； 故选． 3．大约两千年前，我国古代数学名著《九章算术》中已明确解释了正、负数的概念：卖多少是正数，买多少是负数．若卖出10元记作元，则买入2.4元应表示为　　 A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】 【分析】根据正负数的意义，即可解答． 【解析】卖出10元记作元，则买入2.4元应表示为元， 故选． 4．若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值，比较其大小即可． 【解析】由题意得各数的绝对值分别为0.9，3.5，0.5，2.5， ， 质量最接近标准的是， 故选． 5．手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是　　 转账——来自天青色 微信红包——发给高原红 A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元 【答案】 【分析】利用实数的运算法则进行计算即可． 【解析】（元， 收入6元． 故选． 题型二：相反数 1、相反数的定义： 只有符号不同的两个数互为相反数。则称其中一个数是另一个数的相反数。0的相反数还是0。 2、相反数的性质： 互为相反数的两个数和为0。即与互为相反数⇔⇔ 例2-1．2025的相反数是　　 A． B． C．2025 D． 【答案】 【分析】根据相反数的定义进行求解即可． 【解析】2025的相反数是， 故选． 例2-2．若，互为相反数，则　 　 【答案】0． 【分析】直接利用完全平方公式分解因式进而求出答案． 【解析】，互为相反数， ， ． 故答案为：0． （练习题） 1．在下列数中，相反数等于本身的数是　　 A．0 B．1 C． D． 【答案】 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【解析】相反数等于本身的数是0． 故选． 2．下列各对数中，互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】 【分析】先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可． 【解析】、，，不是相反数，故此选项不符合题意； 、，，是相反数，故此选项符合题意； 、，不是相反数，故此选项不符合题意； 、，不是相反数，故此选项不符合题意； 故选． 3．如图，数轴上有，，，四个点，其中表示的相反数的点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】． 【分析】根据相反数的定义直接求得结果． 【解析】数轴上表示的相反数的点是2，即点． 故选． 4．的相反数是 　　． 【答案】． 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 【解析】． 故答案为：． 5．如果与是互为相反数，则的值是　 　． 【答案】． 【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得关于的方程，解出即可得出的值，继而得出的值． 【解析】由题意得：， 解得：， ． 故填． 题型三：绝对值 1、绝对值的定义： 数轴上表示数的点到原点的距离用数的绝对值来表示。即||。离远点越远的数绝对值越大，离原点越近的数绝对值越小。 2、求绝对值： 正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0。 即。 3、绝对值与相反数： 互为相反数的两个数绝对值相等。即与互为相反数，则。 绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。即或。 绝对值为正数的数有两个，且互为相反数。如若，则。 （例题讲解） 例3-1．等于　　 A． B． C．2 D． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义，可以得到等于多少，本题得以解决． 【解析】由于，故选． 例3-2．下列说法正确的是　　 A．一个有理数的绝对值一定大于它本身 B．只有正数的绝对值等于它本身 C．负数的绝对值是它的相反数 D．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 【答案】 【分析】根据绝对值的性质对、、、四个选项进行一一验证． 【解析】、非负有理数的绝对值等于它本身，故错误； 、，错误； 、若，则，故正确； 、，错误； 故选． （练习题） 1．下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据绝对值的代数意义分别化简绝对值，即可得出答案． 【解析】选项，，符合题意； 选项，，不符合题意； 选项，，不符合题意； 选项，，不符合题意； 故选． 2．下列四个数中，绝对值最大的是　　 A．2 B． C．0 D． 【答案】 【分析】分别计算出四个选项的绝对值，然后再进行比较，找出绝对值最大的选项． 【解析】、；、；、；、； ， 四个数中绝对值最大的是． 故选． 3．已知，则　1或　． 【答案】1或． 【分析】分两种情况讨论①，②，即可求出答案． 【解析】①，时， ； ②，时， ． 故答案为：1或． 题型四：倒数 1、倒数的定义： （）的倒数是． 2、乘积为1的两个数互为倒数。即若与互为倒数。注意：0没有倒数。 3、乘积为﹣1的两个数互为负倒数。即若与互为负倒数。 （例题讲解） 例4-1．下列互为倒数的是　　 A．和 B．和2 C．3和 D．和 【答案】 【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可． 【解析】．因为，所以和是互为倒数，因此选项符合题意； ．因为，所以与2不是互为倒数，因此选项不符合题意； ．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意； ．因为，所以和不是互为倒数，因此选项不符合题意； 故选． （练习题） 1．下列选项中的各数，倒数是它本身的是　　 A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】 【分析】根据倒数的定义逐项分析即可． 【解析】．5的倒数是，故不符合题意； ．2的倒数是，故不符合题意； ．1的倒数是1，故符合题意； ．0没有倒数，故不符合题意； 故选． 2．的倒数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把小数化为假分数，然后根据倒数的定义求解． 【解析】， 的倒数是：， 故选． 3．的倒数是　　． 【答案】． 【分析】先计算，再求的倒数． 【解析】， 的倒数是． 故答案为． 4．若、互为倒数，则　1　． 【答案】1． 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得，根据的偶次幂，可得． 【解析】、互为倒数， ， 故答案为：1． 5．若、互为相反数，、互为倒数，则的值是 　3　． 【答案】3． 【分析】直接利用相反数、倒数的定义得出，，进而得出答案． 【解析】、互为相反数，、互为倒数， ，， ． 故答案为：3． 题型五：有理数的大小比较 1、绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小。 2、数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 3、差值比较法：，则；，则；，则； （例题讲解） 例5-1．下列各数中，最大的数是　　 A． B．3 C． D．0 【答案】 【分析】有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解析】， 所给的各数中，最大的数是． 故选． 例5-2．若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，，且，可得，，，据此判断出，，的大小关系即可． 【解析】，，且， ，，， ， ． 故选． （练习题） 1．下列各数中，比小的数是　　 A． B． C．0 D．3 【答案】 【分析】首先判断出，，求出每个数的绝对值，根据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，求出即可． 【解析】根据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，正数都大于负数，零大于一切负数， ，， ，，，， ， 比小的数是负数，是． 故选． 2．已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，那么　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意可得，据此逐一判断即可． 【解析】由数轴可知，，故选项不符合题意； 由可得，故选项不符合题意； 由可得，故选项不符合题意； ， ， ，故选项符合题意． 故选． 3．比较大小： 　　（填“”，“ ”或“” ． 【答案】． 【分析】根据两个负数的绝对值的大小来比较两个负数的大小． 【解析】， ， 故答案为：． 4．大于而小于3.5的整数共有　6　个． 【答案】6． 【分析】根据有理数的大小比较，可得答案． 【解析】大于而小于3.5的整数，，0，1，2，3， 故答案为：6． 5．如图，点在数轴上的坐标为，试比较大小： 　　．（填“”或“” 【答案】． 【分析】根据图示，可得：，据此判定出，据此可得答案． 【解析】， ， ． 故答案为：． 题型六：有理数的运算 1、有理数的加法运算： 同号相加，符号不变，并将两数的绝对值相加；异号相加，符号取绝对值较大的符号，再把绝对值做差。 （1） 加法的交换律：；（2）加法的结合律：。 2、有理数的减法运算： 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即。 3、有理数的乘法运算： 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。任何数同零相乘都得零， （1）几个数相乘，只要有一个零，则最后的乘积为零；若各个因数都不为零，则积的符号由负数的个数决定，若负数有奇数个则积为负，若负因式有偶数个则积为正，简称奇负偶正。 （2）乘法的交换律：；（2）乘法的结合律：； （3）乘法的分配律：。 4、有理数的除法运算： 除以一个数等于乘以这个数的倒数；即。注意：零不能做除数。 5、有理数的乘方运算： 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。即，读作a的n次方，也叫a的n次幂． 在中，为底数，为指数。在乘方运算中，底数和指数不能同时为0，即无意义。 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 注意：当为正奇数时:，与互为相反数。 当为正偶数时: ，与互为相反数。 6、有理数的混合运算：先算乘方、再算乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算． （例题讲解） 例6-1．数轴上的两点所表示的数分别为，，且满足，，下列结论正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则、有理数的加法法则进行解题即可． 【解析】由题可知， ，， 与同号，且都为负数， 故只有符合． 故选． 例6-2．计算：． 【答案】． 【分析】先算乘方和括号内的式子，再算括号外的乘法，最后算加法即可． 【解析】 ． 例6-3．为积极倡导“阳光体育”运动，某班派6名同学参加“一分钟跳绳”比赛，负责记录成绩的嘉嘉以160次为标准，超出的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中5名同学的成绩记录（单位：次）为：，，，，． （1）求这5名同学的最好成绩与最差成绩相差多少次？ （2）若这6名同学的平均成绩超过了160次，求剩下的那名同学的成绩最少为多少． 【分析】（1）找出这5名同学的最好成绩与最差成绩，然后作差即可； （2）剩下的那名同学的成绩可记为，根据题意列出关于的不等式，进而得出答案． 【解析】（1） （次， 答：这5名同学的最好成绩与最差成绩相差21次． （2）设剩下的那名同学的成绩可记为， 由题意可得，解得， 剩下的那名同学的成绩最少为（次． 答：剩下的那名同学的成绩最少为164次． （练习题） 1．计算的结果是　　 A．8 B． C．2 D． 【答案】 【分析】按照从左到右的顺序计算即可． 【解析】， 故选． 2．武汉市元月份某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】用武汉市元月份某一天早晨的气温加上中午上升的温度，求出中午的气温是多少即可． 【解析】 中午的气温是． 故选． 3．若，，则的值为　　 A． B．0 C．3 D．8 【答案】 【分析】根据题意得出，，代入代数式，即可求解． 【解析】，， ，， ， 故选． 4．某同学在计算时，误将“”看成“”结果是，则的正确结果是　　 A．6 B． C．4 D． 【答案】 【分析】求出的正确取值，代入即可． 【解析】计算时，误将“”看成“”结果得， 即：，则． ． 故选． 5．若，，且，那么的值是　　 A．2或12 B．2或 C．或12 D．或 【答案】 【分析】题中给出了，的绝对值，可求出，的值；再根据，分类讨论，求的值． 【解析】，， ，． 又，则，同为正数或，异号，但正数的绝对值较大， ，或，． 或12． 故选． 6．对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：． ①对，3，5，9进行“差绝对值运算”的结果是35； ②，，5的“差绝对值运算”的最小值是； ③，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为　　 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】 【分析】①根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定； ③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，并去除绝对值符号，即可判定． 【解析】①对，3，5，9进行“差绝对值运算”， 得：， 故①正确； ②对，，5进行“差绝对值运算”得： ， 表示的是数轴上点到和5的距离之和， 的最小值为， ，，5的“差绝对值运算”的最小值是：， 故②不正确； ③对，，进行“差绝对值运算”得：， 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； ，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有7种， 故③不正确， 综上，只有一个正确的，即①， 故选． 7．计算的结果是 　　． 【答案】． 【分析】先计算乘方，再计算乘法． 【解析】 ， 故答案为：． 8．已知，，则，的大小关系是 　　． 【答案】． 【分析】根据有理数的乘法法则得出，，即可求解． 【解析】， ， ， 故答案为：． 9．，这个算式结果的整数部分是 　7　． 【答案】7． 【分析】可以把题目中的分数写成1减去一个分数的形式，再算出需要减去的数的和即可． 【解析】原式 ， 因此整数部分是7， 故答案为：7． 10．计算： （1）； （2）． 【分析】根据有理数的加减混合运算法则进行解题即可． 【解析】（1）原式； （2）原式 ． 11．已知有理数，，在数轴上对应位置如图所示： （1）用“”或“”填空：　　0，　　0，　　0，　　0； （2）化简：． 【分析】（1）根据数轴可知：，且，由有理数的加减法法则可得答案； （2）根据数轴比较、、、与0的大小，然后进行化简运算即可． 【解析】（1）由图可知：，且， ，，，； 故答案为：；；；； （2）原式 ． 12．某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天（单位：袋）变化如图，增加粮食记作“”，减少粮食记作“”． （1）通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； （2）在号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化情况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 【分析】（1）由题意得，，计算可得； （2）设7号粮食变化袋，由题意得，，解得的值即为7号这天仓库粮食变化情况． 【解析】（1） 答：前6天，仓库粮食减少7袋； （2）设7号粮食变化袋，由题意得， ， 解得： 答：7号粮食减少2袋． 13．（1）将下列计算的结果直接写成幂的形式： ；　　；　　； 　　； （2）一般地，把个为有理数且，为正整数）相除的结果记作，读作“的圈次方”． 计算：　　（其中，为正整数）． 请你尝试用文字概括归纳的运算结果： 一个非零有理数的圈次方等于 　　； （3）计算：． 【分析】（1）根据除方的定义计算即可； （2）把除法转化为乘法即可得出答案； （3）根据新定义计算即可． 【解析】（1）， ， ， 故答案为：，，； （2）根据除法法则（其中，为正整数）． 用文字概括归纳的运算结果： 一个非零有理数的圈次方等于它的倒数的次方； 故答案为：，它的倒数的次方． （3）原式 ． 题型七：绝对值与偶次方的非负性 1、绝对值的非负性： 根据绝对值的定义可知，是一个非负数，恒大于等于0。即≥0。 2、偶次方的非负性： 任何数的偶次方都恒大于等于0。即。 几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。即，则；，则；，则。 （例题讲解） 例7-1．已知，则的值为　　 A．13 B．5 C．3 D．2 【答案】 【分析】先利用绝对值和平方的值非负的性质，得到和的值，然后将转化为：，代入值可求得． 【解析】， ，， ，， ． 故选． （练习题） 1．若与互为相反数，则　　 A． B．1 C．2 D． 【答案】． 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出、，然后相加即可． 【解析】与互为相反数， ， ，， 解得，， 所以，． 故选． 2．若，则的值为　7　． 【答案】7． 【分析】根据非负数的性质，可求出、的值，然后将代数式化简再代值计算． 【解析】， ，， ，； ． 故答案为：7． 3．已知满足，则的值是 　73　． 【答案】73． 【分析】根据绝对值和算术平方根可知，从而计算得的值． 【解析】， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：73． 4．已知，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【解析】根据题意得，，， 解得，， ． 故答案为：． 5．如果，那么的值为 　　． 【答案】． 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，进而可得出结论． 【解析】， ，， ，， ． 故答案为：． 题型八：科学记数法 1、科学记数法定义： 把一个大于绝对值大于10或绝对值小于1的数表示为的形式叫做科学记数法。在中，，为整数。 （例题讲解） 例8-1．今年1月3日，我国的嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国已经成功开始了对月球背面的研究，填补了国际空白．月球距离地球的平均距离为384000千米，数据384000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解析】将384000用科学记数法表示为：． 故选． 例8-2．生物学家发现了一种病毒，其长度约为，数据0.0000000052用科学记数法表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解析】； 故选． （练习题） 1．经国家统计局初步核算，2023年我国国内生产总值1260582亿元，按不变价格计算，比上年增长．其中数据“1260582亿”用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解析】1260582亿． 故选． 2．芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石．目前我国的芯片制造工艺已经达到了（纳米），已知，将用科学记数法可表示　　． A． B． C． D． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解析】． 故选． 3．习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步．”“学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为　　 A．126300000 B．12630000 C．1263000000 D．1263000 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，由此解答即可． 【解析】用科学记数法表示的数的原数为126300000， 故选． 4．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数；由此将科学记数法表示的数还原成原来的数即可得到答案． 【解析】，原数中“0”的个数是7． 故选． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$