精品解析：湖南省邵阳市洞口县2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024年下学期九年级期中质量监测试题 数学 时量：120分钟 分值：120分 一、单选题（从每个小题四个选项中选择一个正确的，填涂在答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 反比例函数图象过点，则是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，根据待定系数法求反比例函数的方法即可，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数图象过点， ∴， 故选：． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意， 故选：A． 3. 如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 4. 关于反比例函数，下列叙述正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 函数图象在第一、三象限 C. 当时， D. 其图象既是轴对称图形也是中心对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质解答； 【详解】解：A、因为反比例函数的图象是双曲线，当时，图象位于第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大，本选项错误，不符合题意； B、当时，图象位于第二、四象限，本选项错误，不符合题意； C、当时，在第二象限，在第四象限，本选项错误，不符合题意； D、反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，也是轴对称图形，本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记相关性质是关键． 5. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程；方程移项后提取公因式即可求解． 【详解】解：原方程可化为：， 即， 即或， 解得：， 故答案为：D． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 所有的矩形都是相似形 B. 对应边成比例的两个多边形相似 C. 对应角相等的两个多边形相似 D. 有一个角等于的两个等腰三角形相似 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形相似，缺一不可．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意； B、对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意； C、对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意； D、有一个角等于的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意； 故选：D． 7. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 两个相等的实数根 C. 两个不相等的实数根 D. 两个根分别为一个正根，一个负根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，根据求出判别式的值，然后根据判别式的值判断即可． 【详解】解：方程，整理为：， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：B． 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析．根据每个函数图象分析出对应的参数范围，再综合对比即可． 【详解】解：当时，∴反比例函数图象在一、三象限，函数的图象经过一、二、三象限，故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当时，∴反比例函数图象在二、四象限，函数的图象经过二、三、四象限，故C，D选项都不符合题意． 故选：A． 9. 如图，在中，D、E分别为、边上的点，，与相交于点F，若，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，可得，，再利用相似三角形对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， 故选：B． 10. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （ ） A. 741 B. 600 C. 465 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，然后根据选项分别求出n的数值，即可作出判断． 【详解】解：通过观察图形可知： 第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点， 则前5行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点， 前10行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点， 前n行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点， 其中n为正整数， ∴当n（n＋1）=741时，解得：（舍），， 当n（n＋1）=600时，解得： （舍）， 当n（n＋1）=465时，解得：（舍），， 当n（n＋1）=300时，解得：（舍），， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 反比例函数的比例系数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】化为一般形式后可直接得出比例系数. 【详解】解：， ∴比例系数为， 故答案为. 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，将函数化为一般形式是解题的关键． 12. 如图，反比例函数的图象经过点A，过点A作轴，垂足为点B，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A，轴， ∴， 故答案为：． 13. 点P为线段的黄金分割点， ，，_______（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念与黄金比值，掌握黄金比值为是解题的关键．根据黄金分割的定义得到，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，，， ∴． 故答案为：． 14. ，，，的面积为，则的面积为__________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为：， 故答案为：． 15. 是关于x的方程的根，其中a，b，c分别为三边的长，则的是_______三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一元二次方程的解的含义，把代入再整理即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的根， ∴， ∴， ∴的是等腰三角形； 故答案为：等腰 16. 关于x的一元二次方程有实数根，那么k的取值范围是_______ ． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后即可求解． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 17. 如图，线段CD两个端点坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为___． 【答案】（7，4） 【解析】 【详解】解：根据位似图形可得：A(6,6)，B(8,2)， 则根据线段的中点求法可得：点E的坐标为(7,4). 故答案为：（7，4） 18. 如图，四边形为平行四边形，A在x轴上，且，反比例函数在第一象限内过点C，且与交于点E．若E为的中点，且，则的长为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，过点C作轴于点D，过点E作轴于点F，根据平行四边形的性质可得，设，在和中表示出，再根据点C与点E都在反比例函数的图像上，得到，进而表示出，在利用平行四边形的面积与的面积关系得出关于t的方程，解方程得t，即可得解． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点E作轴于点F，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， 设，则， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵点C与点E都在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，66分．除填空外，其他都要写必要的解答过程） 19. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程；解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用分解因式法把方程化为，再解一元二次方程； （2）求解，再用求根公式解一元二次方程即可； 【小问1详解】 解：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， 解得：，． 20. 已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． （1）求y与x的函数关系式： （2）求时，y的值． 【答案】（1）； （2）时，． 【解析】 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； 【小问2详解】 解：当时，． 21. 参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 … （1）__________________． （2）请画出函数的图象； （3）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 【答案】（1） （2）见解析 （3）①减小；②右；2；③ 【解析】 【分析】（1）把代入函数即可解答； （2）用一条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入， 得， ∴， 故答案为； 【小问2详解】 函数图象如图所示： 【小问3详解】 解：①当时，随的增大而减小； ②的图象是由的图象向右平移2个单位长度而得到的； ③图象关于点中心对称； 故答案为：①减小；②右；2；③． 【点睛】本题考查了类反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握列表，描点，连线作图及数形结合得到函数性质． 22. 据调查，2022年国庆假某景点累计接待游客为36万人次，2024年国庆假该景点接待游客为81万人次． （1）求2022年国庆假期到2024年国庆假期该景点累计接待游客的年平均增长率； （2）该景点某商户购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件，据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【答案】（1）累计接待游客的年平均增长率为； （2）该纪念品的售价单价应定为每件50元． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用； （1）设该景点国庆假期累计接待游客的年平均增长率为，根据2024年国庆假该景点接待游客为81万人次，再建立方程求解即可； （2）设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件，由题意得，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：设该景点国庆假期累计接待游客的年平均增长率为，则 ， ∴， 解得：，（舍去）， ∴累计接待游客的年平均增长率为； 【小问2详解】 设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， ∵，要让利给顾客， ∴该纪念品的售价单价应定为每件50元． 23. 如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． （1）求小明的身高； （2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】（1）米 （2）变短了，变短了米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． 【小问2详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题； （1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【小问1详解】 解：将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． 小问2详解】 一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标． 25. 已知长方形甲的长、宽、周长C 和面积S分别如图1所示 （1）长方形乙的长为x，宽为y，它的周长和面积分别是甲长方形的周长和面积的一半，即，请求出x，y的值． （2）是否存在长方形丙，周长和面积分别是长方形乙的一半，即满足若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）不存在符合条件的长方形丙，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设长方形乙的长为x，宽为y，则，，整理得到，在求解一元二次方程即可； （2）设长方形丙两条邻边长分别为x和，，由于，则不存在． 小问1详解】 解∵， ∴， ∵设长方形乙的长为x，宽为y， ∴， ∴，即 代入得， 解得，或（因y是宽小于长，故舍去） ∴，； 【小问2详解】 解：不存在符合条件的长方形丙，理由如下： 要使成立 则， ∴设长方形丙两条邻边长分别为x和， ， ， ∴方程无解 不存在符合条件的长方形丙． 26. 如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题： （1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与相似？ （2）当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； （3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 【答案】（1）当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似 （2）或3或或秒时，是等腰三角形 （3）的值为， 【解析】 【分析】（1）如图①所示，当时，是直角三角形．解决问题的要点是将的三边长、、用时间表示，这需要利用相似三角形比例线段关系； （2）分三种情形讨论，如图3中，当点在线段上时，；如图4中，当点在线段上时，；如图5中，当点在线段上时，；如图6中，当点在线段上时，．分别列出方程即可解决问题． （3）本问要点是根据题意，列出一元二次方程并求解．假设存在时刻，使，则此时，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻；点到的距离利用的面积公式得到． 【小问1详解】 解：如图1中， 在中，，， ． 、分别是、的中点． ∴，，且， ①时， ，， ∴， ∴， 由题意得：，， 即， 解得； ②如图2中，当时，， ， ， ， 当为或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【小问2详解】 解：如图3中，当点在线段上时，由，可得，． 如图4中，当点在线段上时，由，可得，解得． 如图5中，当点在线段上时，由，过点Q作于G， ∴，， ∴，即， 解得． 如图6中，当点在线段上时，由，过点P作于M， ∴，， ∴，即， 解得． 综上所述，或3或或秒时，是等腰三角形． 【小问3详解】 解：假设存在时刻，使， 则此时，如图，作于． ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ， 即， 解得，（舍去）． 当时， ，， ，， ． ， ． 此时的值为，． 【点睛】本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法．所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度．注意题中求时刻的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期九年级期中质量监测试题 数学 时量：120分钟 分值：120分 一、单选题（从每个小题四个选项中选择一个正确的，填涂在答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 反比例函数图象过点，则是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，则（ ） A. B. C. D. 4. 关于反比例函数，下列叙述正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 函数图象在第一、三象限 C. 当时， D. 其图象既轴对称图形也是中心对称图形 5. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 所有的矩形都是相似形 B. 对应边成比例的两个多边形相似 C. 对应角相等的两个多边形相似 D. 有一个角等于的两个等腰三角形相似 7. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 两个相等的实数根 C. 两个不相等的实数根 D. 两个根分别为一个正根，一个负根 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，D、E分别为、边上的点，，与相交于点F，若，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 10. 如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，前行的点数和不能是以下哪个结果 （ ） A. 741 B. 600 C. 465 D. 300 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 反比例函数的比例系数为_________. 12. 如图，反比例函数的图象经过点A，过点A作轴，垂足为点B，则________． 13. 点P为线段的黄金分割点， ，，_______（结果保留根号）． 14. ，，，的面积为，则的面积为__________． 15. 是关于x的方程的根，其中a，b，c分别为三边的长，则的是_______三角形． 16. 关于x的一元二次方程有实数根，那么k的取值范围是_______ ． 17. 如图，线段CD两个端点坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为___． 18. 如图，四边形为平行四边形，A在x轴上，且，反比例函数在第一象限内过点C，且与交于点E．若E为的中点，且，则的长为_______ ． 三、解答题（共8小题，66分．除填空外，其他都要写必要的解答过程） 19. 解下列方程 （1） （2） 20. 已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． （1）求y与x的函数关系式： （2）求时，y的值． 21. 参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … 4 2 1 … … m 4 2 1 … （1）__________________． （2）请画出函数的图象； （3）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，y随x的增大而___________；（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向__________平移__________个单位长度而得到的； ③图象关于点__________中心对称．（填点的坐标） 22. 据调查，2022年国庆假某景点累计接待游客为36万人次，2024年国庆假该景点接待游客为81万人次． （1）求2022年国庆假期到2024年国庆假期该景点累计接待游客的年平均增长率； （2）该景点某商户购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件，据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 23. 如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． （1）求小明的身高； （2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． （1）求该反比例函数和一次函数表达式； （2）在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 25. 已知长方形甲的长、宽、周长C 和面积S分别如图1所示 （1）长方形乙的长为x，宽为y，它的周长和面积分别是甲长方形的周长和面积的一半，即，请求出x，y的值． （2）是否存在长方形丙，周长和面积分别是长方形乙的一半，即满足若存在，请求出长方形丙的长和宽．若不存在，请说明理由． 26. 如图，在中，，，，D、E分别是、的中点，连接．点P从点D出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接，设运动时间为，解答下列问题： （1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点三角形与相似？ （2）当t为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案即可）； （3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得分四边形所成的两部分的面积之比为？若存在，求出此时t的值以及点E到的距离h；若不存在．请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $