第03讲 函数与方程、不等式（2个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（沪教版）

第03讲 一次函数与方程、不等式 （2个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 一次函数与方程、不等式最值 题型十 一次函数与方程、不等式的新定义问题 题型十一 一次函数与方程、不等式综合 知识点01 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 知识点02 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【核心考点一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系．根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故选：C． 【例2】 （24-25八年级下·全国·期中）一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程（为常数，且）的解，就是一次函数 的函数值为 时，相应的自变量x的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数 的图象与 轴交点的 坐标． 【答案】 横 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图象与一元一次方程的关系是解题的关键． 根据一次函数与一元一次方程的关系填空即可． 【详解】解：一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程(为常数，且)的解，就是一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数的图象与轴交点的横坐标． 故答案为：，横． 【例3】（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，一次函数图象解不等式， （1）根据图示，时，，结合图象可求解； （2）根据图示，当时，图象在轴上方，由此即可求解； （3）根据图示，结合（2）的结果，当时，满足条件，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，当时，， ∴的解为； （2）解：根据图示，当时，图象在轴上方，即， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）可得，当时，，当时，， ∴时，． 【核心考点二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（2024·上海·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）一次函数y＝5x﹣1的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】（，0）/（0.2,0） 【分析】令y=0求出x的值，进而可得出一次函数y=5x-1的图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：当y=0时，5x-1=0， 解得：x=， ∴一次函数y=5x-1的图象与x轴的交点坐标是（，0）． 故答案为：（，0）． 【点睛】本题考查了一次函数图象坐标轴的交点，牢记“x轴上点的纵坐标为零”是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）已知一次函数．    (1)在下图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象； (2)该一次函数图象与轴交点坐标为__________．当时，自变量的取值范围是__________． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）用两点法画图即可； （2）由（1）可得一次函数图象与轴交点坐标，根据图形可得当时，自变量的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴． 如图，    （2）∵时，， ∴一次函数图象与轴交点坐标为． 由图象可知，当时，自变量的取值范围是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了两点法画画一次函数图象，一次函数图形与坐标轴的交点，以及利用图象解不等式，正确画出图象是解答本题的关键． 【核心考点三 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，熟练运用数形结合思想是解题的关键．观察图象找到当时的值为3，即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故选：A 【例2】 （23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系；熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 当时，一次函数和正比例函数的图象相交于点P，从而可联立得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】一次函数与正比例函数的图象交于点 当时， 解方程得 故答案为： 【例3】（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）已知一次函数y＝﹣x+2． (1)求该直线与坐标轴的交点坐标； (2)画出一次函数的图象； (3)由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为 ． 【答案】(1)与x轴的交点坐标为（4，0）， 与y轴的交点坐标为（0，2） (2)见解析 (3)x=4． 【分析】（1）分别令x=0和y=0即可求出与y轴和x轴的坐标； （2）根据（1）中结果即可画出图象； （3）直接根据图象解答即可． 【详解】（1）解：当x=0时，y＝0+2=2， ∴与y轴的交点坐标为（0，2）． 当y=0时，0＝﹣x+2，∴x=4， ∴与x轴的交点坐标为（4，0）． （2）解：如图， （3）解：图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为x=4． 故答案为：x=4． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，画一次函数图象，以及利用函数图象解方程等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【核心考点四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象的性质与解不等式的综合，根据一次函数图象与坐标轴的交点，图象的性质即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴的交点横坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故选：D． 【例2】 （23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【答案】 【分析】本题考查从图像获取信息的能力，根据一次函数得出函数位于y轴下方时x的取值范围求解即可．理解题意并合理利用图像是关键． 【详解】解：根据图像可知：当时，， 故答案为：． 【例3】（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知一次函数． (1)在给定的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，并求出它与轴、轴交点的坐标； (2)根据图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)图象见解析；与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为 (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数的图象，明确题意、利用一次函数的性质和数形结合的思想是解题的关键． （1）根据函数解析式画出函数图象，并求出其与坐标轴交点坐标即可； （2）找出图象在轴上方的部分对应的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）函数图象如图所示． 一次函数， 当时，； 当时，； 一次函数的图象与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为． （2）由图象可得，当时，． 【核心考点五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例1】 （24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于x的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①④ 【答案】D 【分析】利用一次函数的性质对进行判断；利用一次函数的交点问题对进行判断；结合函数图象对进行判断． 【详解】解：∵直线经过第二、四象限， ∴， ∵直线与轴的交点在轴下方， ∴， ∴，故正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是，故错误； 当时，，故错误； 当时，函数， ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解是， ∴， ∴，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【例2】（24-25八年级下·上海·开学考试）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键．当函数的图象位于函数的图象上方时，满足，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 所以关于的不等式的解集是． 故答案为：． 【例3】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 【核心考点六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例1】（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，首先将点A的横坐标代入求得其纵坐标，然后根据横坐标为方程组x的值，纵坐标为方程组y的值求解即可． 【详解】解：将代入，得：， 即直线与直线的交点坐标为， 关于x、y的方程组的解为． 故选C． 【例2】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．先求点的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解． 【详解】解：代入得， 解得， 所以点坐标为， 方程组的解就是一次函数的图象与的图象交点的坐标， 所以方程组的解． 故答案为：． 【例3】（2024八年级下·上海普陀·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，掌握相关结论即可． （1）分别将代入和即可求解； （2）方程的解表示函数和的图象的交点横坐标，据此即可求解； 【详解】（1）解：将代入函数，得， 解得， 将代入函数，得，解得； （2）解：根据图象可得方程的解是． 【核心考点七 图象法解二元一次方程组】 【例1】（2024·上海徐汇·二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【例2】（23-24八年级下·上海黄埔·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 【例3】（2024八年级·全国·专题练习）图象法解方程组． 【答案】，图象见解析 【分析】利用描点法分别画出一次函数和一次函数的函数图象，两个一次函数图象的交点即为方程组的解． 【详解】解：列表如下： x … 0 1 2 3 … … 0 2 4 x … 0 2 4 6 … … 4 3 2 1 0 画函数图象如下所示： 由函数图象可知，一次函数和一次函数的交点坐标为， ∴方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，熟知两个一次函数的交点的横纵坐标即为这两个一次函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【核心考点八 求直线围成的图形面积】 【例1】（2024·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．根据方程或方程组得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，    在中，令，得， 解得，， ∴，， ∴的面积， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线：与直线：相交于点，直线与y轴相交于点A，直线与y轴交于点B，则的面积等于 ． 【答案】9 【分析】此题主要考查了两条直线相交问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．先根据题意求出，得出P点坐标为，再求出，得出，求出点A的坐标为，点B的坐标为，然后可求出的面积即可． 【详解】解：直线：与直线：相交于点， ， 解得：， ∴P点坐标为， 把代入得， 解得：， ∴， 把代入得：， 把代入得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 的面积为：， 故答案为：9． 【例3】（23-24八年级下·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了求直线与坐标轴围成的三角形面积，先根据解析式求出，，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴． 【核心考点九 一次函数与方程、不等式最值】 【例1】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）已知直线，，，若无论x取何值，y总是取，，中的最小值，则y的最大值是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，根据题意可得y所表示的函数图象为图象在点A下方的那部分函数图象包含点A，线段，以及在点B下方的函数图象（包含）点B，据此联立函数解析式求出点A和点B的坐标即可得到答案． 【详解】解：联立，解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∵无论x取何值，y总是取，，中的最小值， ∴y所表示的函数图象为图象在点A下方的那部分函数图象包含点A，线段，以及在点B下方的函数图象（包含）点B， ∴y的最大值是2， 故选：D． 【例2】（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的函数，y的最大值为4，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值．通过转化得到，即，根据，推出，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， 即， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次的数的性质．尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图像和性质，并解决问题． (1)从数的角度，① 当时，；② 当时，；③ 当时，_____；显然，② 和③ 均为某个一次函数的一部分． (2)从形的角度，我们尝试在下面给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图像： ① 列表：（完成表格） x … 0 1 2 3 … y … ▲ 0 1 0 ▲ … ② 描点：连线．    (3)对于函数，有以下结论： ① 该函数图像关于y轴对称； ② 该函数有最大值； ③ y随x的增大而增大； 其中正确的有：_____（填序号） (4)① 方程有_____个解； ② 若关于x的方程无解，则k的取值范围是_____ ； ③ 函数与的图像相交于，两点，当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)①，；②画图见解析 (3)①② (4)①；②；③或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程的关系，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据绝对值的定义进行计算即可． （2）把x，y的值代入函数关系式进行计算即可． （3）根据图象解答即可． （4）利用函数的图象解答即可． 【详解】（1）当时，． （2）当时，， 当时，． 函数图象如图   。 （3）对于函数，有以下结论： ① 该函数图像关于y轴对称；正确， ② 该函数有最大值；正确， ③ y随x的增大而增大；错误． （4）①由图象可知，方程有2个解； ②当时，函数的图象与直线没有交点， ∴若关于x的方程无解，则k的取值范围是； ③函数与的图像相交于，两点， 如图，    由图象可知，当时，x的取值范围是或． 【核心考点十 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得y＝3⊕x＝，再根据反比例函数的性质可得函数图象所在象限和形状，进而得到答案． 【详解】由题意得y＝3⊕x＝ 当x≥3时，y＝2； 当x＜3且x≠0时，y＝− , 图象如图： 故选：B 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【例2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）定义运算：，：当 时， 当时， 如： ．如图，已知直线： 与 相交于点 ，若 结合图像，写出的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解：直接根据新定义，可得，再结合函数图象，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由图象得：此时x的取值范围是， 故答案为：． 【例3】（23-24八年级下·上海虹口·期末）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是 ； (2)一次函数的交换函数是 ； (3)当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是 ；若，求（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、三角形的面积等知识： （1）根据题目中的交换函数的定义进行求解，即可写出一次函数的交换函数； （2）根据题目中的交换函数的定义进行求解，即可写出一次函数的交换函数； （3）联立可得，可以求得当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标；根据题意和（2）的结果，可以求得两函数图象与y轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：一次函数的交换函数是； 故答案为： （2）解：根据题意得：一次函数的交换函数是； 故答案为： （3）解：联立得：， 整理得：， ∵， ∴， 即当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是1； ∵， ∴两函数解析式分别为，， 对于，当时，， 对于，当时，， ∴两函数图象与y轴的交点坐标分别为为， ∴（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为． 【核心考点十一 一次函数与方程、不等式综合】 【例1】（23-24八年级下·上海长宁·期中）如图，直线经过点和，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合运用.首先根据题意可知不等式的解集为相当于直线在直线的下方且都在轴的下方所对应的的取值范围，据此进一步分析求解即可. 【详解】解：由题意可得：直线与直线相交于点A， ∴不等式的解集为相当于直线在直线的下方且都在轴的下方所对应的的取值范围， 观察图象可知，当时，直线在直线的下方且都在轴的下方， ∴不等式的解集为：， 故选：A. 【例2】（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象与不等式的解集，合理分析图象是解题的关键． 根据图象分析解答即可． 【详解】解：∵根据图象进行对比可得：， ∴把，代入可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）五子棋的比赛规则是：只要同色5子连成一条直线为胜利．如图是两人玩的一盘棋，若白棋①的位置是，黑棋②的位置是．解答下列问题：    (1)白棋③的位置是 ； (2)如果现在轮到黑棋走，黑棋放在 位置就获得胜利了； (3)如果现在轮到白棋走，白棋放在 位置就获得胜利了． (4)在（2）的条件下，黑棋获胜了． ①设此时黑色5子连成直线的表达式是，则方程的解是 ． ②若黑色5子连成直线的表达式中，则x的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①或或或或或；②且x为正整数 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，一次函数的应用，前三问中，先确定坐标轴的位置，再找坐标；第四问中，一次函数与坐标轴交点问题、与不等式的关系是解题的关键． （1）根据已知①②的坐标，建立平面直角坐标系，然后确定③的位置； （2）根据获胜原则和坐标系确定黑子位置； （3）根据获胜原则和坐标系确定白子位置； （4）①根据图形和方程解的意义得出结论；②根据图形确定自变量的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，建立直角坐标系，坐标原点如图所示：    ∴白棋③的位置是， 故答案为：； （2）解：根据图形，如果现在轮到黑棋走，黑棋放在或位置就获得胜利了， 故答案为：或； （3）解：根据图形，如果现在轮到白棋走，白棋放在位置就获得胜利了， 故答案为：； （4）①由题意知，方程的解是或或或或或． 故答案为：或或或或或； ②有图形可知，x的取值范围是且x为正整数． 故答案为：且x为正整数． 【变式训练1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）已知一次函数（a，b是常数且）中，x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 3 2 1 则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由表格数据可知：当时，； ∴方程的解是， 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点A．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题：    (1)关于x的方程的解是___________；关于x的不等式的解集是___________； (2)直接写出关于x的不等式组的解集； (3)若点，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图像找到两函数图像在x轴上方部分对应的x的范围即可； （3）根据图像找到图象在图象上方所对应的x的范围即可． 【详解】（1）解：一次函数和的图象，分别与轴交于点、， 关于的方程的解是， 关于的不等式的解集，为， 故答案为：，； （2）根据图象可以得到关于的不等式组的解集； （3）点， 由图象可知，不等式的解集是． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，正确利用数形结合解题是解题关键． 【变式训练2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（23-24八年级下·上海虹口·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．先根据一次函数与坐标轴的交点排除B、C、D，进而可得出A正确． 【详解】解：∵， ∴一次函数过点，故B、C、D不合题意， A、由一次函数的图象可得即，而正比例函数图象可得，符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期末）已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为 ． 【答案】（-5，0） 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴一次函数的图象与轴交点的坐标为（-5，0）， 故答案为：（-5，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）已知，如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，B，都在格点上，若是的边上的高． （1）的面积____________；线段的长为____________；线段的长为____________． 【类比探究】如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，直线垂直于x轴，垂足为点，直线与直线线相交于点． （2）写出点，点的坐标； （3）尝试求出点到直线的距离． 【答案】（1）7；；；（2）（，0），（2，）；（3）点到直线的距离为 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积，利用勾股定理求出线段的长，利用面积法求出边上的高的长； （2）令中，求出坐标；当时求出坐标即可； （3）利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出点到直线的距离． 【详解】（1）； ； ∵ ∴； 故答案为：7；；； （2）令中，得， 解得， ∴； 当时，， ∴； （3）解：如图所示，过点作交于点H，则线段的长度即为点到直线的距离． 在中，，根据勾股定理得 ． 则 ∴点B到直线的距离为． 【点睛】此题考查了勾股定理与网格，勾股定理的计算，一次函数图象上点的坐标特点，利用面积法求三角形某条边上的高，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 【变式训练3 利用图象法解一元一次方程】 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）一次函数 和的部分对应值如表所示，其中，设这两个一次函数的图象交于点，则所在的范围是（　　） x 1 3 5 2 6 10 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两直线的交点问题，正确理解函数图象交点的意义是解题的关键． 当时，， ，则；当时，， ，则；在和之间存在两个函数值相等，即可求解． 【详解】解：当时，， ，则； 当时，， ，则； ∴在和之间存在两个函数值相等， ∵这两个一次函数的图象交于点， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海金山·期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【答案】（1）x＝2；（2）﹣1；（3）x＝﹣1． 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为−3时对应的自变量的值即可． 【详解】解：（1）当x＝2时，y＝0， 所以方程kx+b＝0的解为x＝2； （2）当x＝1时，y＝﹣1， 所以代数式k+b的值为﹣1； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣3， 所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键． 【变式训练4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 1．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与不等式的解集，数形结合是解题的关键．根据图象解答即可． 【详解】解：∵直线交坐标轴于， ∴不等式的解集为． 故选D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式．本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 【详解】解：直线与直线分别交x轴于点、， ∵， ∴一个正数和一个负数的积为负数， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的不等式的解集是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当 ，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式； （1）利用直线与轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （2）利用直线与轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （3）结合函数图象直接写出答案． 【详解】（1）直线与轴的交点是， 当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； （2）直线与轴的交点是， 当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； （3）根据图象可得，当时，． 故答案为：． 【变式训练5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 1．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）如图，直线和相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用图象法解不等式，先由题意得到，关于的不等式的解集就是直线在直线上方的图象对应的自变量的取值范围，过作轴的垂线，如图所示，数形结合即可得到答案，理解图象法解一元一次不等式是解决问题的关键． 【详解】解：直线和相交于点， 将代入直线得到，解得， 关于的不等式的解集就是直线在直线上方的图象对应的自变量的取值范围， 过作轴的垂线，如图所示： 关于的不等式的解集为， 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·开学考试）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．利用函数图象，直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，直线和直线的交点为， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·上海闵行·开学考试）在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组； (3)不等式 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及二元一次方程组，属于基础题，关键是正确作出图象，根据图象进行求解． （1）求出两直线与坐标轴的交点，连接即可； （2）由图象可知两直线的交点即可确定方程组的解； （3）由图象可知，不等式的解集为：． 【详解】（1）解：对于函数， 当，， 当，，解得：， ∴直线与两坐标轴交点为， 同理可求直线与两坐标轴交点为， ∴可画图象如图所示： （2）解：由图象可知：两直线的交点为， ∴方程组的解为：； （3）解：由图象可知：不等式的解集为：． 【变式训练6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识．解题的关键是了解二元一次方程组的解与两个二元一次方程整理成的一次函数图象的交点坐标的关系．将点A的横坐标代入求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解． 【详解】解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴， ∵直线与直线交于点A， ∴关于x、y的方程组的解为：， 故选：B． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】当时，，解得，则点P的坐标为， 所以关于x，y的二元一次方程组中的解为． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可； （2）根据两条直线的交点坐标求出方程组的解即可；根据图象求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是； （2）解：两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是； 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象的图象在一次函数的上面， ∴于的不等式的解集为； （3）解：根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在x轴的上面， ∴关于的不等式的解集为； 根据函数图象可知：当时，一次函数的函数值小于4， ∴不等式的解集为． 【变式训练7 图象法解二元一次方程组】 1．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）已知，如图，方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解的定义知，该方程组的解就是组成方程组的两个二元一次方程的图象的交点． 【详解】根据函数y=kx+b和y=mx+n的图象知， 一次函数y=kx+b与y=mx+n的交点(−1,1)就是该方程组的解． 故选C 【点睛】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于交点即是方程的解 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数和二元一次方程的关系，一次函数图象上点的横纵坐标都是一次函数对应的二元一次方程的一组解，据此进行解答即可． 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴满足，即方程的一组解为． 故答案为： 3．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画一次函数图象，用图像法求解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握画一次函数的图象的方法，以及用图象法求解二元一次方程组的方法和步骤． （1）按照列表、描点、连点的步骤即可画出该一次函数图象； （2）根据图象，找出两个一次函数图象的交点坐标，即可解答． 【详解】（1）解：列出表格如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 1 …… 画出函数图形如下： （2）解：∵可整理为，可整理为， ∴由图可知，的解为． 【变式训练8 求直线围成的图形面积】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 2．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了两直线相交问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解，也考查了三角形面积公式． 先求出，，从而得出，联立方程组即可求出点C的坐标，再根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】直线中，令，则 直线中，令，则 ， 将与联立 解得： 点C的坐标为 故答案为：． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】此题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点，直线与坐标轴围成的三角形的面积，熟练掌握求一次函数与坐标轴交点坐标的方法与技巧是解决问题的关键． （1）当时，则，解得：，当时，则，可得出点A、B的坐标； （2）根据A，B两点的坐标得，，进而可由三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，则，解得：， ∴； 当时，则， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【变式训练9 一次函数与方程、不等式最值】 1．（2024·山东济宁·三模）已知无论x取何值，y总是取与中的最小值，则y的最大值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题意可知，y的最大值就是两函数相交时y的值，联立两方程求出y的值即可． 【详解】解：由题意得，当y1=y2时，x+1=-2x+4， 解得x=1， ∴y=1+1=2， ∵当时，；当x>1时，， ∴y的最大值为2， 故选：C． 【点睛】此题考查了求两条直线的交点坐标，正确理解题意是解题的关键． 2．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点C，直线分别与x轴，y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数，分别求出直线，直线与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】解：当时，解得， 当时，解得， ∴， 即最大值与最小值之差为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·浙江台州·期中）一般地，对于一次函数，（其中a，b，c，d为常数，且，，定义一个新函数，称y是与的“平均中项”，y是关于x的“平均中项函数”．如：一次函数，，若y是与的“平均中项”，则y是关于x的“平均中项函数”，即． (1)根据函数研究的途径与方法，填写下表，并在图①中画出的大致图象； x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 2.5 1 0.5    (2)观察图象，当 时，y有最小值；当时，x的取值范围是 ； (3)对于三个数a，b，c，用表示这三个数中的最大数， 例如：，对于，，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）先根据求出y的值，然后进行描点，连线，画出图象即可； （2）根据图象求出y最小值；根据图象得出当时，求出x的取值范围即可； （3）根据函数图象分三种情况：当时，当时，当时，分别求出的最小值，即可求出结果。 【详解】（1）解：填表如下： x 0 1 2 y 2 1.5 1 0 1 函数图象，如图所示：    （2）解：根据函数图象可知：当时，y有最小值； ， ∵时，， ∴此时函数解析式为：， ∵时，， ∴此时函数解析式为：， 联立， 解得：， ∴与y的交点坐标为； 联立， 解得：， 与y的交点坐标为； 联立， 解得：， 与的交点坐标为； 根据函数图象可知：当时，． （3）解：根据函数图象可知：当时，的函数值最大， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； 当时，的函数值最大， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； 当时，的函数值最大， ∴， 当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，新定义运算，画函数图象，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的图象和性质，理解题意． 【变式训练10 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 1．（23-24八年级下·重庆潼南·期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ①； ②若，则或4； ③的解集为或； ④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据新定义，分类计算判断即可． 【详解】因为，且， 所以， 故①正确； 当即时，， 解得符合题意； 当即时，， 所以与矛盾，不合题意， 所以②错误； 当即时，， 解得， 所以不等式的解集是； 当即时，， 解得， 所以不等式的解集是； 综上，不等式的解集为或； 所以③正确； 当即时，， 当即时， 函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．    所以④正确； 正确的结论有①③④，共三个， 故选C． 【点睛】本题考查了新定义运算、一元一次不等式和一次函数的图象和性质，正确新定义的内涵是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：一次函数和一次函数互为 “相反函数”，如和互为“相反函数”．若点既是图像上的点，又是它的“相反函数”图像上的点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、新定义函数等知识点，掌握“相反函数”的定义是解题的关键． 根据“相反函数”的定义写出的“相反函数”，然后与联立即可解答． 【详解】解：由“相反函数”可得函数的“相反函数”为， 则有：，解得：， 所以点的坐标为． 故答案为． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）定义运算：当时，；当时，；如：； (1) ______，当时， ______； (2)若，求x的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若，直接写出x的取值范围是_______． 【答案】(1)，x (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解： （1）直接根据新定义，即可求解； （2）直接根据新定义，可得，解出即可； （3）直接根据新定义，可得，再结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：，当时，； 故答案为：，x； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由图象得：此时x的取值范围是， 故答案为：． 【变式训练11 一次函数与方程、不等式综合】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将沿x轴翻折得到，使点B刚好落在y轴正半轴的点C处，过点C作交于点D，则的长为（   ） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形面积的计算，先求出点B的坐标为，点A的坐标为，根据勾股定理求出，根据折叠得出，求出，再求出的长即可． 【详解】解：当时， ， ∴点B的坐标为； 当时，， 解得， ∴点A的坐标为． 在中，， ． 由折叠可知，， ． ， ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组交点问题． 根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案． 【详解】解：直线与直线相交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·重庆南川·开学考试）如图，直线：与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴y轴交于、，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了求两直线的交点坐标，直线围成的图形面积： （1）将直线与直线的解析式组成方程组，求出，，即得点的坐标； （2）首先求出点B、A、D的坐标，可得的长，然后求出与的面积，即可得的面积． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 点的坐标为； （2）解：把，代入得，， ∴点B的坐标为 在中，令， 解得：， 点坐标为； 把，代入得，， 点的坐标为； ， ，， 的面积为：． 1．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，直线（和是常数且）交轴、轴于点、，下列结论正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式等知识点，掌握数形结合是解题的关键． 根据一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式以及函数的图象逐项判断即可． 【详解】解：如图：由函数图象可知直线（k和b是常数且）交x轴，y轴分别于点，． ∴方程的解是，即A选项错误，不符合题意； 由函数与的图象关于y轴对称，则函数的图象与x轴交点的横坐标为，所以方程的解是，即B选项错误，不符合题意； 由函数图象可知：当时，函数的图象在x轴的上方，不等式的解集是，即C选项正确，符合题意； 由函数图象可知：不等式的解集是，即D选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，根据一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：由图象得： ①当时，，错误； ②关于的方程的解为，正确； ③当时，，正确； ④关于的方程的解为，正确； 故选：C． 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是直线位于直线的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：关于的不等式表示的是直线位于直线的上方， 则由函数图象可知，关于的不等式的解为， 故选：C． 4．（23-24八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征．熟练掌握一次函数与坐标轴的交点，点坐标的平移，关于轴对称的点坐标的特征是解题的关键． 由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到，然后根据在第四象限求得当时，存在点P的影像点Q，然后求解作答即可． 【详解】解：由“影像点”可知，当时，、关于轴对称，当时，向下平移8个单位得到， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴当时，存在点P的影像点Q， ∵， ∴的最大值为， 故选：A． 5．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论： ①它们的交点在直线上； ②； ③不等式的解集为； ④它们与x轴围成的三角形的面积为． 其中，正确的序号是 ．     A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 根据两个函数的交点即可判断①；根据当，图象在第一象限，来判定②；找出一次函数的图象位于一次函数的图象的上方时，x的取值范围即可判断③；分别把，代入函数得出三角形的底和高，利用面积计算公式即可判断④． 【详解】一次函数和交于一点， ， 解得：， ①正确； 一次函数和交点在第一象限，且交点横坐标为1， 把代入得：故②正确； 函数图象它们的交点在直线上， 有函数图象可知的解集为，故③正确； 把代入得：， 当代入得：， 当代入得：， 与x轴围成的三角形的面积为：，故④错误； 综上所述：正确的有①②③； 故选：C． 6．（23-24八年级下·四川广安·期末）直线与直线的交点是 ，故当x 时，直线上的点在直线上相应点的上方；当x 时，直线上的点在直线上相应点的下方． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的相交问题，根据解二元一次方程组，可得交点坐标，根据图象法，可得答案． 【详解】解：联立方程组， 解得， 如图： 观察图象，可得交点坐标是， 故当时，直线上的点在直线上相应点的上方； 当时，直线上的点在直线上相应点的下方， 故答案为：，，． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，画出图象，利用数形结合思想解答是解题的关键． 根据图象可对①②③进行判断；把，代入，得，解得：，则不等式化为，即可得，再根据不等式的解集为，可得，求解，即可对④进行判断． 【详解】解：如图， 直线、是常数，经过、两点，其中， 直线与轴的交点横坐标在和0之间，故①正确； 由图象可得关于x的不等式的解集为，故②正确； 由图象可知：的图象比的图象平缓， ∴，故③错误； 把，代入，得 ，解得：， 不等式化为， ∵的解集为 ∴ ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 8．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，一次函数与的图象交于点．，且分别交x轴于点，点，则的解集 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 观察函数图象，写出和的解集，取公共部分即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 当时， ∴的解集为． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式及一次函数与一元一次方程，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 根据所给函数图象，利用数形结合的思想及一次函数与一元一次不等式的关系，对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知，点的纵坐标为2， 则， 解得， 所以点的横坐标为1．故①错误． 因为点坐标为， 所以当时，函数的图象在轴下方，即， 则不等式的解集为．故②正确． 因为函数和函数交点的横坐标为1， 所以方程的解为．故③错误． 由函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即， 当时，函数的图象在轴上方，即， 所以关于的不等式组的解集为． 故④正确． 故答案为：②④． 10．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点且与x轴垂直的直线，直线l与直线m相交于点C，点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键，根据三角形的面积公式求解，进行分类讨论． 【详解】解：设， 当时，， 解得：， 当时，， ，， ， 当时，， 解得：， 当时，， 故答案为：或． 11．（23-24八年级下·全国·课后作业）利用函数图象解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案； （2）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案． 【详解】（1）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为； （2）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线 确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想． 12．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一次函数图象及性质，已知自变量值求函数值，代数式求值等． （1）将代入中即可求出的值，再将代入中，继而求出的值； （2）根据图象可得本题答案． 【详解】（1）解：点在直线：上， ， 点在直线：上， ， ∴； （2）解：∵，交点为， ∴． 13．（23-24八年级下·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两组的解，转化为直线上的点，根据两点确定一条直线，作图即可． （2）找到直线在直线的上方时，的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：， 当时，；当时，； 故直线过点， 作图如下： 由图可知：与交于点， ∴方程组的解为：； （2）解：由图象可知：当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为：． 【点睛】本题考查利用图象法解二元一次方程组和一元一次不等式．熟练掌握两条直线的交点坐标，即为二元一次方程组的解，是解题的关键． 14．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．    (1)求A､B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，并求此时M点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，动点问题的函数关系，三角形全等的性质，分情况讨论是解答本题的关键． （1）由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； （2）由面积公式求出S与t之间的函数关系式； （3）由得，则t时间内移动了，可算出t值，并得到M点坐标． 【详解】（1）解：令得， ； 令得， ． （2）解：∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动， ， ， 即的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式为：．    （3）解：因为， ． 若，则， ， 解得或． 当； 当． 当或时， 此时M点的坐标． 15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）下面是小宇同学写的一篇数学日记，请你认真阅读并完成相应学习任务． 用一次函数的观点认识方程（组）、不等式 任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以一元一次方程的解，相当于某个一次函数的图象与轴交点的横坐标．如图，一次函数的图象与轴交点的横坐标为，则方程的解为 任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式，相当于求某个一次函数的函数值大于或小于时，自变量的取值范围．如图，根据图象可知，一次函数，当时，的取值范围是，所以不等式的解集为 ； 任何一个含未知数和的二元一次方程，都可以改写成（，是常数，）的形式．含未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．如图，直线与直线的交点的坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 任务： (1)上述材料“”处不等式“”的解集为______，“”处二元一次方程组的解为______； (2)上述材料中主要运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．统计思想    C．方程思想 (3)①如图4，直线与直线的交点坐标火，则关于，的二元一次方程组的解为______； ②如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过数形相结合的思想作答即可； （3）①通过观察图象求解即可； ②通过观察图象求解即可． 【详解】（1）解：∵经过， ∴的解集为， ∵直线与直线的交点的坐标为， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：，； （2）解：上述材料中主要运用的数学思想是数形相结合的思想， 故选. （3）解：①∵直线与直线的交点坐标火， ∴关于，的二元一次方程组的解为； ②由关于轴的对称点为，在图中作， ∵与轴交于， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一次函数与方程、不等式 （2个知识点+11大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 题型九 一次函数与方程、不等式最值 题型十 一次函数与方程、不等式的新定义问题 题型十一 一次函数与方程、不等式综合 知识点01 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 知识点02 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【核心考点一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例1】（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级下·全国·期中）一次函数与一元一次方程的关系：从“数”的角度看，一元一次方程（为常数，且）的解，就是一次函数 的函数值为 时，相应的自变量x的值；从“形”的角度看，一元一次方程的解就是一次函数 的图象与 轴交点的 坐标． 【例3】（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）已知函数的图象，利用图象回答下列问题： (1)直接写出方程的解； (2)直接写出不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【核心考点二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例1】（2024·上海·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）一次函数y＝5x﹣1的图象与x轴的交点坐标是 ． 【例3】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）已知一次函数．    (1)在下图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象； (2)该一次函数图象与轴交点坐标为__________．当时，自变量的取值范围是__________． 【核心考点三 利用图象法解一元一次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【例2】 （23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则＝ ． 【例3】（23-24八年级下·上海青浦·阶段练习）已知一次函数y＝﹣x+2． (1)求该直线与坐标轴的交点坐标； (2)画出一次函数的图象； (3)由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为 ． 【核心考点四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例1】（24-25八年级下·上海杨浦·阶段练习）一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （23-24八年级下·上海嘉定·阶段练习）如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【例3】（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知一次函数． (1)在给定的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，并求出它与轴、轴交点的坐标； (2)根据图象，直接写出时的取值范围． 【核心考点五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例1】 （24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②关于x的方程的解是；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①④ 【例2】（24-25八年级下·上海·开学考试）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． 【例3】（24-25八年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【核心考点六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 【例1】（24-25八年级下·上海长宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是 ．    【例3】（2024八年级下·上海普陀·专题练习）如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 【核心考点七 图象法解二元一次方程组】 【例1】（2024·上海徐汇·二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海黄埔·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【例3】（2024八年级·全国·专题练习）图象法解方程组． x … 0 1 2 3 … … 0 2 4 x … 0 2 4 6 … … 4 3 2 1 0 【核心考点八 求直线围成的图形面积】 【例1】（2024·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【例2】（24-25八年级下·上海·期中）如图，直线：与直线：相交于点，直线与y轴相交于点A，直线与y轴交于点B，则的面积等于 ． 【例3】（23-24八年级下·上海·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求的面积． 【核心考点九 一次函数与方程、不等式最值】 【例1】（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）已知直线，，，若无论x取何值，y总是取，，中的最小值，则y的最大值是（    ） A． B．3 C． D．2 【例2】（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的函数，y的最大值为4，则a的取值范围是 ． 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次的数的性质．尝试用你积累的经验和方法，研究函数的图像和性质，并解决问题． (1)从数的角度，① 当时，；② 当时，；③ 当时，_____；显然，② 和③ 均为某个一次函数的一部分． (2)从形的角度，我们尝试在下面给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图像： ① 列表：（完成表格） x … 0 1 2 3 … y … ▲ 0 1 0 ▲ … ② 描点：连线．    (3)对于函数，有以下结论： ① 该函数图像关于y轴对称； ② 该函数有最大值； ③ y随x的增大而增大； 其中正确的有：_____（填序号） (4)① 方程有_____个解； ② 若关于x的方程无解，则k的取值范围是_____ ； ③ 函数与的图像相交于，两点，当时，x的取值范围是 ． 【核心考点十 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 【例1】（23-24八年级下·上海嘉定·期中）定义新运算：a※b=，则函数y=3※x的图象大致是(   ) A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）定义运算：，：当 时， 当时， 如： ．如图，已知直线： 与 相交于点 ，若 结合图像，写出的取值范围是 ． 【例3】（23-24八年级下·上海虹口·期末）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是 ； (2)一次函数的交换函数是 ； (3)当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是 ；若，求（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积． 【核心考点十一 一次函数与方程、不等式综合】 【例1】（23-24八年级下·上海长宁·期中）如图，直线经过点和，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【例3】（23-24八年级下·上海徐汇·期中）五子棋的比赛规则是：只要同色5子连成一条直线为胜利．如图是两人玩的一盘棋，若白棋①的位置是，黑棋②的位置是．解答下列问题：    (1)白棋③的位置是 ； (2)如果现在轮到黑棋走，黑棋放在 位置就获得胜利了； (3)如果现在轮到白棋走，白棋放在 位置就获得胜利了． (4)在（2）的条件下，黑棋获胜了． ①设此时黑色5子连成直线的表达式是，则方程的解是 ． ②若黑色5子连成直线的表达式中，则x的取值范围是 ． 【变式训练1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）已知一次函数（a，b是常数且）中，x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 3 2 1 则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点A．方程的解是 ． 3．（23-24八年级下·上海青浦·期中）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题：    (1)关于x的方程的解是___________；关于x的不等式的解集是___________； (2)直接写出关于x的不等式组的解集； (3)若点，求关于x的不等式的解集． 【变式训练2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（23-24八年级下·上海虹口·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期末）已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）已知，如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，B，都在格点上，若是的边上的高． （1）的面积____________；线段的长为____________；线段的长为____________． 【类比探究】如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，直线垂直于x轴，垂足为点，直线与直线线相交于点． （2）写出点，点的坐标； （3）尝试求出点到直线的距离． 【变式训练3 利用图象法解一元一次方程】 1．（23-24八年级下·上海宝山·期末）一次函数 和的部分对应值如表所示，其中，设这两个一次函数的图象交于点，则所在的范围是（　　） x 1 3 5 2 6 10 A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 3．（23-24八年级下·上海金山·期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【变式训练4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 1．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为 ． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的不等式的解集是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当 ，． 【变式训练5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 1．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）如图，直线和相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海嘉定·开学考试）直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象（如图所示），则关于x的不等式的解集为 ． 3．（24-25八年级下·上海闵行·开学考试）在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组； (3)不等式 【变式训练6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，函数和的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【变式训练7 图象法解二元一次方程组】 1．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期末）已知，如图，方程组的解是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若点在一次函数的图象上，则方程的一组解为 ． 3．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． x …… 0 1 2 3 …… y …… 1 …… 【变式训练8 求直线围成的图形面积】 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，与y轴别相交于点A，B，则的面积是 ． 3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． 【变式训练9 一次函数与方程、不等式最值】 1．（2024·山东济宁·三模）已知无论x取何值，y总是取与中的最小值，则y的最大值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，直线分别与x轴，y轴交于点A和点C，直线分别与x轴，y轴交于点B和点C，点是内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为 ． 3．（23-24八年级下·浙江台州·期中）一般地，对于一次函数，（其中a，b，c，d为常数，且，，定义一个新函数，称y是与的“平均中项”，y是关于x的“平均中项函数”．如：一次函数，，若y是与的“平均中项”，则y是关于x的“平均中项函数”，即． (1)根据函数研究的途径与方法，填写下表，并在图①中画出的大致图象； x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 2.5 1 0.5    (2)观察图象，当 时，y有最小值；当时，x的取值范围是 ； (3)对于三个数a，b，c，用表示这三个数中的最大数， 例如：，对于，，，求的最小值． 【变式训练10 一次函数与方程、不等式的新定义问题】 1．（23-24八年级下·重庆潼南·期末）定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ①； ②若，则或4； ③的解集为或； ④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）定义：一次函数和一次函数互为 “相反函数”，如和互为“相反函数”．若点既是图像上的点，又是它的“相反函数”图像上的点，则点的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）定义运算：当时，；当时，；如：； (1) ______，当时， ______； (2)若，求x的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若，直接写出x的取值范围是_______． 【变式训练11 一次函数与方程、不等式综合】 1．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点．将沿x轴翻折得到，使点B刚好落在y轴正半轴的点C处，过点C作交于点D，则的长为（   ） A． B． C．5 D．4 2．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，方程组的解为 ． 3．（23-24八年级下·重庆南川·开学考试）如图，直线：与x轴、y轴交于点A、B，直线：分别与x轴y轴交于、，直线与相交于点P． (1)求点P的坐标； (2)求的面积． 1．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，直线（和是常数且）交轴、轴于点、，下列结论正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 2．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 4．（23-24八年级下·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，第一象限内的点和在第四象限内的，若满足：，那么称点Q为点P的“影像点”，例如：点的影像点为点，点的影像点为点，如图，若点在直线上，当时，存在点P的影像点Q，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 5．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）一次函数和在同一坐标系中的图像如图所示，则下列结论： ①它们的交点在直线上； ②； ③不等式的解集为； ④它们与x轴围成的三角形的面积为． 其中，正确的序号是 ．     A．②③ B．①④ C．①②③ D．①②④ 6．（23-24八年级下·四川广安·期末）直线与直线的交点是 ，故当x 时，直线上的点在直线上相应点的上方；当x 时，直线上的点在直线上相应点的下方． 7．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）直线 （k、b是常数，）经过两点，其中，下列四个结论： ①方程的解在和0之间； ②关于x的不等式的解集为； ③； ④关于x的不等式的解集为时，． 其中正确的结论有 ．（只需填写序号） 8．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，一次函数与的图象交于点．，且分别交x轴于点，点，则的解集 ．    9．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，函数（k，b为常数，）的图象经过点，与函数的图象交于点A，下列结论：①点A的横坐标为2；②关于x的不等式的解集为；③关于x的方程的解为；④关于x的不等式组的解集为．其中正确的是 （只填写序号）． 10．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点且与x轴垂直的直线，直线l与直线m相交于点C，点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是 ． 11．（23-24八年级下·全国·课后作业）利用函数图象解下列方程 (1) (2) 12．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求，的值； (2)直接写出关于的不等式的解集． 13．（23-24八年级下·安徽·期末）在直角坐标系内，已知直线，请画出直线，并由图象解答： (1)写出方程组的解； (2)写出不等式的解集． 14．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，直线与x轴､y轴分别交于A､B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．    (1)求A､B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)当t为何值时，并求此时M点的坐标． 15．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）下面是小宇同学写的一篇数学日记，请你认真阅读并完成相应学习任务． 用一次函数的观点认识方程（组）、不等式 任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以一元一次方程的解，相当于某个一次函数的图象与轴交点的横坐标．如图，一次函数的图象与轴交点的横坐标为，则方程的解为 任何一个以为未知数的一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式，相当于求某个一次函数的函数值大于或小于时，自变量的取值范围．如图，根据图象可知，一次函数，当时，的取值范围是，所以不等式的解集为 ； 任何一个含未知数和的二元一次方程，都可以改写成（，是常数，）的形式．含未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求自变量为何值时两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标．如图，直线与直线的交点的坐标为，则二元一次方程组的解为 ． 任务： (1)上述材料“”处不等式“”的解集为______，“”处二元一次方程组的解为______； (2)上述材料中主要运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．统计思想    C．方程思想 (3)①如图4，直线与直线的交点坐标火，则关于，的二元一次方程组的解为______； ②如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，则不等式的解集为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$