专题7 数列（考点精讲）-【中职专用】2025年河北省高职单招数学备考复习讲练测

专题7 数列 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 3 【知识清单】 4 【考点分类剖析】 7 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 7 考点二：数列通项公式的简单应用 9 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 10 考点四：由递推关系求数列中的项 11 考点五：等差数列的基本运算 12 考点六：等差数列性质的运用 15 考点七：等比数列的基本运算 16 考点八：等比数列性质的应用 18 考点九：等差、等比数列的设项问题 19 考点十：等差、等比数列应用 21 【考纲要求】 （1）数列的概念：了解数列及有关概念；理解数列的通项公式. （2）等差数列：了解等差数列的概念；了解等差数列前n项和公式推导过程；掌握等差数列的通项公式及前n项和公式. （3）等比数列：了解等比数列的概念；了解等比数列前n项和公式推导过程；掌握等比数列的通项公式及前n项和公式. （4）数列应用举例：掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简单实际问题的方法. 【考向预测】 1.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 2. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式； 3. 由an与Sn的关系求通项公式； 4. 由递推关系求数列中的项； 5. 等差数列的基本运算； 6. 等差数列性质的运用； 7. 应用问题中的对称项的设法； 8. 等比数列的基本运算； 9. 等比数列性质的应用； 10. 等比数列的设项问题. 【知识导图】 【知识清单】 1. 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n) 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫做数列{an}的前n项和 2. 数列的表示方法 通项 公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4. 数列的分类 5. 常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 6. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第_2__项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差__，通常用字母_d__表示，定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 7. 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 8. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 9.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 10.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 【考点分类剖析】 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 例1．观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式． (1)（    ），7，12，（    ），22，27，…； (2)，，（    ），，，，（    ），…； (3)1，，（    ），2，，（    ），，…； (4)，，（    ），，…． 【答案】(1)2，17， (2) ， ， (3) ， ， (4) ， 【分析】（1）由 ， 可知相邻两项的差相等，进而可得通项公式； （2）把 写成 ，分析规律可得结果； （3） 由 ，，分析规律即可得通项公式； （4）由， 可得数列的通项公式. 【详解】（1）因为 ， ， 原数列为2，7，12，17，22，27，…，相邻两项的差都是5， 故 . （2）由 ，原数列可化为，， ，，，， ，…， 可得 . （3）由 ， ，原数列可化为 ，， ， ，，，， 得 . （4）因为原数列可化为 ， ， ， ，…， 所以 . 【变式探究】1．数列，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给的四项可知分子是从0开始的偶数，分母比分子大1，从而可求得通项 【详解】由0，，，，…可知各项的分子是从0开始的偶数，分母比分子大1， 所以它的一个通项公式可以为， 故选：C 2．数列的一个通项公式为 . 【答案】 【分析】观察数列规律可得. 【详解】观察数列可知，数列的一个通项公式为. 故答案为：. 考点二：数列通项公式的简单应用 例1．已知数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的前项和，可得数列的项，进而可得值. 【详解】由已知数列的前项和， 则， 故选：C. 例2．已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是数列的第10项． 【分析】（1）利用给定的递推公式，代值计算即可. （2）利用方程的正整数解即可得解. 【详解】（1）数列中，，， 所以. （2）若为数列中的项，则， 即，整理得，而，解得， 所以是数列的第10项. 【方法归纳】　判断某数是否为数列中的项的方法及步骤 (1)将所给项代入通项公式中． (2)解关于n的方程． (3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项． 【变式探究】1．已知数列的前项和为，则（    ） A．162 B．81 C．243 D．486 【答案】A 【分析】根据与之间的关系进行求解即可. 【详解】数列的前项和为，所以， 故选：A 2．数列的通项公式是. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 【答案】(1) (2)是，第16项 【分析】（1）利用数列的通项公式能求出这个数列的第4项； （2）令，求出方程的解，即可判断． 【详解】（1）解：数列的通项公式是． 这个数列的第4项是：． （2）解：令，即， 解得或（舍， 是这个数列的项，是第16项． 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 例1．已知数列的前项和满足，则 . 【答案】10 【分析】由公式，将代入即可得结果. 【详解】由题得. 故答案为：10. 例2．已知数列的前项和，则 . 【答案】5 【分析】根据给定条件，利用的关系列式计算即得. 【详解】数列的前项和，所以. 故答案为：5 【变式探究】1. 设数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过赋值即可求解. 【详解】由题意令，可得：， 故选：B 2. 已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求得结果. 【详解】因为为数列的前项和，，则. 故选：D. 考点四：由递推关系求数列中的项 例1．已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】根据递推公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，，， 累加可得，解得. 故答案为：. 例2．已知数列中，，（为大于1的正整数），则 ． 【答案】/ 【分析】利用递推公式，逐一计算，可得答案. 【详解】由，则，，，. 故答案为：. 【变式探究】1. 在数列中，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据递推式先求出，再由递推式可求出 【详解】因为在数列中，，， 所以， 所以， 故答案为： 2．已知数列满足，且，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用数列的递推式依次求得即可得解. 【详解】因为，， 所以，. 故选：C. 考点五：等差数列的基本运算 例1．已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据等差中项的概念求值. 【详解】由题意：. 故选：D 例2．与的等差中项和等比中项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 结合等差中项与等比中项的定义即可求解． 【详解】 与的等差中项是， 与的等比中项是 故选：A 例3．等差数列中，若，则等于（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据等差数列“下角标和”的性质即可求解. 【详解】因为为等差数列，且， 所以，所以，所以. 故选：B. 例4．记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．240 B．225 C．120 D．30 【答案】A 【分析】利用等差数列通项公式以及即可求出首项和公差，再代入公式即可得结果. 【详解】设等差数列的公差为．因为，，即 解得所以，所以． 故选：A． 例5．已知是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．15 B．20 C．25 D．－25 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和公式求得首项和公差即可求解. 【详解】设公差为， 则有，即， 联立解得，所以， 故选:B. 【方法归纳】等差数列基本量的求法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【变式探究】1. 若、、成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】因为、、成等差数列，则. 故选：A. 2．在等差数列中，满足，，则（    ） A．11 B．14 C．15 D．17 【答案】B 【分析】根据等差数列通项公式的性质求解． 【详解】是等差数列，则， 故选：B． 3．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 【答案】C 【分析】根据等差数列前项和公式，可得，再由等差数列的性质可知，从而求得. 【详解】由等差数列前项和公式，可知：， 所以， 由等差数列的性质“当时，”可知：， 所以. 故选：C. 考点六：等差数列性质的运用 例1．已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，解得， 故选：D. 例2．在等差数列中，，则其前10项和（    ） A．72 B．80 C．36 D．40 【答案】D 【分析】由等差数列的性质可得，由等差数列的前项和公式可求. 【详解】由等差数列的性质可得， 由题意，. 故选：D. 例3．等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的求和公式结合等差中项的性质求出的值，再利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且，则， 因此，. 故选：B. 【变式探究】1．已知等差数列，，= 【答案】e 【分析】由等差中项的性质计算即可. 【详解】由等差数列性质可知：， 又，故. 故答案为：e 2. 已知等差数列满足，则的前15项的和为（    ） A．30 B．20 C．15 D．5 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】． 故选：A 考点七：等比数列的基本运算 例1．在等比数列中，，，则和的等比中项为（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项的定义可得结果. 【详解】根据等比中项的定义可得和的等比中项为. 故选：C 例2．等比数列中，，公比，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列通项公式直接求解即可. 【详解】数列为等比数列，，解得：. 故选：C. 例3．已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（    ） A．或1 B．或1 C． D． 【答案】A 【分析】分别利用等比数列的通项公式和前项和公式，解方程组可得或. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，依题意得， 解得或. 故选：A. 【变式探究】1．已知实数是2、8的等比中项，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】 由等比中项的定义列方程求解即可. 【详解】因为实数是2、8的等比中项， 所以，得， 故选：A 2．在等比数列中，若，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义求出公比，结合等比数列的通项公式计算即可求解. 【详解】由题意知，设等比数列的公比为， 则， 所以. 故选：A 3．已知等比数列满足，，则数列前项的和 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知条件求出，，再结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】由等比数列满足，， 则等比数列，即， 代入可得， 则数列前8项的和， 故选：A. 考点八：等比数列性质的应用 例1．等比数列中，，，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质有，结合已知即可求. 【详解】由等比数列的性质知. 故选：C 例2．已知是等比数列，若，则的值为（    ） A．9 B． C． D．81 【答案】A 【分析】利用等比数列性质，列式计算得解. 【详解】等比数列的公比为，则，又， 所以. 故选：A 【变式探究】1．在等比数列中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列下标和性质直接求解即可. 【详解】由等比数列性质知：. 故选：D. 2．已知为等比数列，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质直接计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选:B. 考点九：等差、等比数列的设项问题 例1．成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数. [分析]　已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解． 【解析】　设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 则： 由①，得a＝.代入②，得d＝±. ∴四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 【方法归纳】三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下： (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…． (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． 例2．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为 . 【答案】2,4,8 【分析】设出这三个数根据题意联立方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】设这三个数为 则或 所以三个数按从小到大为2,4,8 『方法归纳』　等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq． (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，，aq，aq3． 【变式探究】1．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 【解析】　设等差数列的前三项分别为a－d，a，a＋d，由题意，得， 即，解得. ∵等差数列{an}是递增数列，∴d＝4. ∴等差数列的首项为3，公差为4. ∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1. 2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为__ __． [解析]设这四个数分别为a、aq、aq2、aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列， ∴，整理得，解得q＝2，a＝3．因此所求四个数为3,6,12,24． 考点十：等差、等比数列应用 例1．5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通4640个5G基站要到（    ） A．2022年10月底 B．2022年9月底 C．2022年8月底 D．2022年7月底 【答案】B 【分析】转化为等差数列，利用等差数列求和公式进行求解 【详解】由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G基站数量为等差数列，则公差为40， 假设要经过k个月，则， 解得：，所以预计A地区累计开通4640个5G基站要到2022年9月底， 故选：B． 例2．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署． 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是（    ） A．10万人 B．12万人 C．14万人 D．16万人 【答案】D 【分析】设第三年脱贫人口为万，则第二年脱贫人口为万，第一年脱贫人口为万，根据题意列出方程求解即可得解. 【详解】设第三年脱贫人口为万，根据题意，第二年脱贫人口为万，第一年脱贫人口为万， 三年完成脱贫任务则，解得， 所以第一年脱贫人口应为16万. 故选：D 【变式探究】1．随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产．经统计，年月份到月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中月份的产量为吨，月份的产量为吨，则月到月这四个月的产量之和为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】利用等差数列下标和的性质可求得结果. 【详解】设年的产量为，由题意可知，数列是等差数列， 则，，则月到月这四个月的产量之和为吨. 故选：C. 2. 某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低， 所以6年后，价格降低为（元）， 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 数列 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 3 【知识清单】 4 【考点分类剖析】 7 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 7 考点二：数列通项公式的简单应用 9 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 10 考点四：由递推关系求数列中的项 11 考点五：等差数列的基本运算 12 考点六：等差数列性质的运用 15 考点七：等比数列的基本运算 16 考点八：等比数列性质的应用 18 考点九：等差、等比数列的设项问题 19 考点十：等差、等比数列应用 21 【考纲要求】 （1）数列的概念：了解数列及有关概念；理解数列的通项公式. （2）等差数列：了解等差数列的概念；了解等差数列前n项和公式推导过程；掌握等差数列的通项公式及前n项和公式. （3）等比数列：了解等比数列的概念；了解等比数列前n项和公式推导过程；掌握等比数列的通项公式及前n项和公式. （4）数列应用举例：掌握从实际情境中抽象出等差数列和等比数列模型解决简单实际问题的方法. 【考向预测】 1.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 2. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式； 3. 由an与Sn的关系求通项公式； 4. 由递推关系求数列中的项； 5. 等差数列的基本运算； 6. 等差数列性质的运用； 7. 应用问题中的对称项的设法； 8. 等比数列的基本运算； 9. 等比数列性质的应用； 10. 等比数列的设项问题. 【知识导图】 【知识清单】 1. 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n) 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫做数列{an}的前n项和 2. 数列的表示方法 通项 公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3. an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4. 数列的分类 5. 常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 6. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第_2__项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差__，通常用字母_d__表示，定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 7. 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 8. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 9.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 10.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 【考点分类剖析】 考点一：由数列的前几项求数列的通项公式 例1．观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式． (1)（    ），7，12，（    ），22，27，…； (2)，，（    ），，，，（    ），…； (3)1，，（    ），2，，（    ），，…； (4)，，（    ），，…． 【变式探究】1．数列，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．数列的一个通项公式为 . 考点二：数列通项公式的简单应用 例1．已知数列的前项和，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2．已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【方法归纳】　判断某数是否为数列中的项的方法及步骤 (1)将所给项代入通项公式中． (2)解关于n的方程． (3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，则不是该数列的项． 【变式探究】1．已知数列的前项和为，则（    ） A．162 B．81 C．243 D．486 2．数列的通项公式是. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 考点三：由an与Sn的关系求通项公式 例1．已知数列的前项和满足，则 . 例2．已知数列的前项和，则 . 【变式探究】1. 设数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 考点四：由递推关系求数列中的项 例1．已知数列满足，，则 . 例2．已知数列中，，（为大于1的正整数），则 ． 【变式探究】1. 在数列中，，，则 ． 2．已知数列满足，且，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 考点五：等差数列的基本运算 例1．已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 例2．与的等差中项和等比中项分别是（    ） A． B． C． D． 例3．等差数列中，若，则等于（    ） A． B．0 C． D．1 例4．记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．240 B．225 C．120 D．30 例5．已知是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．15 B．20 C．25 D．－25 【方法归纳】等差数列基本量的求法 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 【变式探究】1. 若、、成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，满足，，则（    ） A．11 B．14 C．15 D．17 3．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（   ） A．64 B．14 C．10 D．3 考点六：等差数列性质的运用 例1．已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 例2．在等差数列中，，则其前10项和（    ） A．72 B．80 C．36 D．40 例3．等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知等差数列，，= 2. 已知等差数列满足，则的前15项的和为（    ） A．30 B．20 C．15 D．5 考点七：等比数列的基本运算 例1．在等比数列中，，，则和的等比中项为（    ） A．10 B．8 C． D． 例2．等比数列中，，公比，若，则（    ） A． B． C． D． 例3．已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（    ） A．或1 B．或1 C． D． 【变式探究】1．已知实数是2、8的等比中项，则（    ） A． B． C．4 D．5 2．在等比数列中，若，则（    ） A．4 B．8 C． D． 3．已知等比数列满足，，则数列前项的和 A． B． C． D． 考点八：等比数列性质的应用 例1．等比数列中，，，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 例2．已知是等比数列，若，则的值为（    ） A．9 B． C． D．81 【变式探究】1．在等比数列中，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知为等比数列，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 考点九：等差、等比数列的设项问题 例1．成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数. 【方法归纳】三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下： (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…． (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． 例2．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为 . 『方法归纳』　等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq． (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，，aq，aq3． 【变式探究】1．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为__ __． 考点十：等差、等比数列应用 例1．5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通4640个5G基站要到（    ） A．2022年10月底 B．2022年9月底 C．2022年8月底 D．2022年7月底 例2．党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一，作出了新的部署． 某地区现有28万农村贫困人口，如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务，并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半，为了按时完成脱贫攻坚任务，那么第一年需要完成的脱贫任务是（    ） A．10万人 B．12万人 C．14万人 D．16万人 【变式探究】1．随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产．经统计，年月份到月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中月份的产量为吨，月份的产量为吨，则月到月这四个月的产量之和为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 2. 某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$