专项练习五 分数四则混合运算考点汇编（八大考点＋知识梳理 ）-2024-2025学年六年级数学上学期期末题型汇总(苏教版）

专项练习五 分数四则混合运算考点汇编 【知识梳理】 知识点一：分数四则混合运算的运算顺序及简便运算 分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。 整数的运算律和运算性质对于分数同样适用。 知识点二：已知总量求部分量的实际问题 用分数乘法和减法解决已知总量求部分量的实际问题时，要借助线段图认真思考。 可以先求出几分之几对应的量，再求部分量； 也可以先求部分量所对应的分率，再用“单位‘1’的量×分率”求出部分量。 知识点三：求比一个数多或少几分之几的实际问题 ①求比一个数多几分之几的问题：已知一个量以及另一个量比它多几分之几，求另一个量时，可以列成形如或的算式解题。 ②甲比乙多（增加、上升、提高）几分之几 几分之几=（甲-乙）÷乙； 甲=乙×（1+几分之几）； 乙=甲÷（1+几分之几） ③乙比甲少（减少、下降、降低）几分之几 几分之几=（甲-乙）÷甲； 甲=乙÷（1-几分之几）； 乙=甲×（1-几分之几） 考点一 分数的四则混合运算 考点二 比多比少的列式 考点三 比较问题 考点四 求比一个数多或少几分之几的数是多少的实际问题 考点五 已知部分量，反推求单位“1” 考点六 运用转化法或倒推法解决稍难实际问题 考点七 工程问题 考点八 找不变量解决实际问题 考点一 分数的四则混合运算 1、计算下面各题。（能简算的要用简便方法算）              2、计算下面各题，怎样简便就怎样算。 （＋）×5×7     ÷＋×    （－－）×48 3、计算下面各题。          4、先找规律，再填数。         根据以上规律，请你完成下面的填空。         5、计算下面各题，注意使用简便算法。                           6、计算下面各题，注意使用简便算法。          7、脱式计算，能简算的要简算。                        8、解方程。 －2x＝        3x÷＝         ÷x＝ （x－10）×＝56    x÷（1＋）＝      x＋x＝26 9、小马虎在计算（＋）时，错把小括号去掉了，这样计算的结果与正确结果相差多少？ 考点二 比多比少的列式 1、刘叔叔去年使用微信消费1.6万元__________。使用支付宝消费多少万元？如果用算式解决问题，横线上应补充下面信息（    ）。 A．使用微信消费比支付宝少 B．使用支付宝消费比微信少 C．使用微信消费比支付宝多 D．使用支付宝消费比微信多 2、“城市书房有童话书300本，______。体育书有多少本？”为了解决这个问题，需要先设体育书有x本，后列方程“”。那么，题中所缺条件是（    ）。 A．童话书比体育书少 B．童话书比体育书多 C．体育书比童话书少 D．体育书比童话书多 3、育才小学五年级有学生480人，比六年级少，六年级有多少人？正确的列式是（  ）。 A．480×（1－） B．480÷（1－） C．480×（1＋） 4、算式可以解决的问题是（    ）。 A．公鸡有320只，母鸡的只数比公鸡多，母鸡有多少只 B．果园里有320棵苹果树，梨树的棵数比苹果树少，梨树有多少棵 C．一本书共有320页，琪琪已经看了这本书的，琪琪看了多少页 5、把合适的条件与对应的算式连起来。 户外运动商店运来足球36个，____________，运来篮球多少个？ A．篮球比足球少  a. B．篮球比足球多   b. C．篮球是足球的  c. 6、六年级学生120人，比全校学生数的少40人，求全校学生人数的正确列式是（  ）。 A． B． C． D． 考点三 比较问题 1、两根同样长的彩带，第一根先用去米后，又用去剩下的，第二根先用去它的后，再用去米，哪根彩带用去的长？（    ） A．第一根 B．第二根 C．一样长 D．无法判断 2、一件商品，第一天降价，第二天在第一天降价的基础上涨价，现价与原价相比，（   ）。 A．提高了 B．降价了 C．不变 D．无法确定 3、一件商品，商品先提价，再降价，那么商品的现价与原价相比（   ）。 A．不变 B．提高了 C．降低了 考点四 求比一个数多或少几分之几的数是多少的实际问题 1、有甲、乙、丙三根彩带。甲彩带长32米，乙彩带比甲彩带长，乙彩带长( )米；丙彩带比乙彩带短，丙彩带长( )米。 2、400千克的是( )千克；比400千克多是( )千克；( )千克的是400千克；比( )千克多千克是400千克。 3、某废品收购站半年内收购废金属300吨，收购的废塑料比废金属少，收购的废纸比废塑料多，收购废纸多少吨？ 4、一位体重100千克的人，经过一段时间的锻炼后，体重下降了，后来由于他没有继续坚持锻炼，体重又增长了，此人现在的体重是多少千克？ 5、六（1）班有48位同学，踊跃订少儿读物，有的同学订《小学生数学报》，的同学订《小学生英语报》，两种报纸都订的至少( )人，两种报纸都不订的最多( )人。 考点五 已知部分量，反推求单位“1” 1、我国农历中的节气“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天吴江的黑夜比白昼少。这一天白昼有( )小时。 2、看图列式解答。 3、一堆煤，第一天运走的吨数与总吨数的比是1∶4，第二天运走8吨后，两天正好运走了总数的。这堆煤原来有多少吨？ 4、六年级三个班参加“数学和生活”创新作品征集活动，小明得到以下信息； 六年级一班提交了多少件作品？ 5、我国自2016年全面实施二胎政策后，人口结构发生了变化。小学适龄儿童入学人数自2022年始明显增长。某小学2023年的一年级新生有420人，比2022年增加了。 （1）这所小学2022年的一年级新生有多少人？（请画出线段图，并列方程解决问题） 2022年 2023年 （2）据摸排，2024年秋季该校一年级新生人数将比2023年增加。预计2024年一年级新生有多少人？ 6、甲、乙两车同时从A、B两城相向而行，4小时相遇。甲车每小时比乙车多行16千米。已知乙车的速度是甲车的。A、B两城相距多少千米？ 7、妈妈去商场买了一条裤子、一条裙子和一双鞋，其中裤子80元，比裙子少花，买鞋花的钱是裙子的，妈妈买鞋花了多少元？ 8、某校创建节水型学校，2023年用水量12000吨，比2022年用水量减少，这所学校2022年用水多少吨？ （1）下面哪幅图正确表达了题目的意思？在相应括号里画“√”。 （2）请你列方程解决这个问题。 9、汽车上有男乘客45人，如果女乘客人数减少，恰好与男乘客人数的相等。女乘客有多少人？ 10、落实书香班级，争做读书小标兵。李华读了一本文学书的后，还剩45页。同桌赵乐读了一本科技书的，读了45页。请算一算，文学书和科技书哪一本页数多？ 11、姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多少只兔？ 考点六 运用转化法或倒推法解决稍难实际问题 1、有三堆围棋子，每堆枚数相等。第一堆的黑棋子和第二堆的白棋子一样多。第三堆有是黑棋子。这三堆棋子中，共有56枚白棋子。这三堆共有多少枚棋子？ 2、六一班教室里有一个两层的书架。小明把第二层书籍的放到第一层后，两层的书籍就一样多了。已知原来第二层比第一层多24本，原来第一层和第二层各有多少本？ 3、文文和强强都收集了一些邮票，文文把自己邮票的送给强强，两人的邮票数就同样多了。已知原来文文的邮票张数比强强多18张，他们两人原来各有多少张？ 4、师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件的个数的比徒弟加工零件个数的多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？ 5、有甲乙两桶油，甲桶油比乙桶油多12千克，从两桶油中各取出5千克后，甲桶油的等于乙桶油的，原来甲桶油是( )千克，乙桶是( )千克。 6、畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的比绵羊的多50只，这个畜牧场有山羊、绵羊各多少只？ 考点七 工程问题 1、一项工程，甲队独做要10时完成，乙队独做要15时完成，甲乙两队的工作效率比是( )，甲乙两队合做完成这项工程需要( )小时。 2、一件工作，甲工程队独做12小时可以完成，现在先甲、乙合做4小时，剩下的工作，全部交给乙完成，还需要2小时，乙单独完成这份工作需要多少天？ 3、“智能亚运”是杭州第十九届亚运会的一大亮点，120件物品由甲、乙两只电子狗进行配送，甲电子狗单独送3小时完成，乙电子狗单独送4小时完成。如果两只电子狗合作完成，需要几小时送达？ 4、甲、乙两个工程队从两端开凿一条480米长的隧道，计划30天完成。甲队计划每天开凿7.2米，乙队每天需要开凿多少米？（列方程解决问题） 5、鄂州市莲花山风景区要进行道路修缮工程，甲工程队单独修这条路需要12天完成，乙工程队单独修15天可以修完这条路的，如果甲、乙两个工程队合作来修莲花山风景区的这条路，需要几天完成？ 6、一项工程，师傅单独做需要15天完成，徒弟单独做需要18天完成，两人合作6天后，余下的由师傅单独做，师傅还要几天完成？ 考点八 找不变量解决实际问题 1、李师傅加工一批零件。第一天加工了全部零件的。第二天又加工了21个。这时已加工的与未加工的个数之比是3∶2，这批零件一共有 个，还剩 个没加工。 2、学校合唱队的男生人数是女生人数的，今年新招入1个女生后，男生人数是女生人数的。学校合唱队原来共有多少人？原来男、女生各有多少人？（提示：可以用方程解） 3、小明看一本书，第一天读了一部分，已读的和未读的页数之比是2∶5，第二天读了30页，已读的和未读的页数之比是4∶5，这本书共有多少页？ 4、某班原来男生人数和女生人数是3∶4，后来又转来2名男生，这时男生和全班人数的比是5∶11，现在男、女生人数各是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项练习五 分数四则混合运算考点汇编 【知识梳理】 知识点一：分数四则混合运算的运算顺序及简便运算 分数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。 整数的运算律和运算性质对于分数同样适用。 知识点二：已知总量求部分量的实际问题 用分数乘法和减法解决已知总量求部分量的实际问题时，要借助线段图认真思考。 可以先求出几分之几对应的量，再求部分量； 也可以先求部分量所对应的分率，再用“单位‘1’的量×分率”求出部分量。 知识点三：求比一个数多或少几分之几的实际问题 ①求比一个数多几分之几的问题：已知一个量以及另一个量比它多几分之几，求另一个量时，可以列成形如或的算式解题。 ②甲比乙多（增加、上升、提高）几分之几 几分之几=（甲-乙）÷乙； 甲=乙×（1+几分之几）； 乙=甲÷（1+几分之几） ③乙比甲少（减少、下降、降低）几分之几 几分之几=（甲-乙）÷甲； 甲=乙÷（1-几分之几）； 乙=甲×（1-几分之几） 考点一 分数的四则混合运算 考点二 比多比少的列式 考点三 比较问题 考点四 求比一个数多或少几分之几的数是多少的实际问题 考点五 已知部分量，反推求单位“1” 考点六 运用转化法或倒推法解决稍难实际问题 考点七 工程问题 考点八 找不变量解决实际问题 考点一 分数的四则混合运算 1、计算下面各题。（能简算的要用简便方法算）              【答案】；3； 【详解】（1） （2） （3） 2、计算下面各题，怎样简便就怎样算。 （＋）×5×7     ÷＋×    （－－）×48 【答案】41；；16 【分析】5×7看作一个整体，根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，把原式变为×5×7＋×5×7简算； 根据分数四则混合运算的顺序，先算除法、乘法，再算加法； 根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，把原式变为×48－×48－×48简算。 【详解】（＋）×5×7 ＝×5×7＋×5×7 ＝21＋20 ＝41 ÷＋× ＝×＋ ＝＋ ＝＋ ＝ （－－）×48 ＝×48－×48－×48 ＝30－4－10 ＝26－10 ＝16 3、计算下面各题。          【答案】；； ； 【分析】（1）分数整数连乘，从左往右直接约分计算； （2）除以一个分数，也就是乘这个数的倒数；分数连除，先将除法转化成乘法，再从左往右约分计算； （3）分数乘除混合计算，先将除法转化成乘法，再从左往右约分计算； （4）观察发现分子都是2，分母中的两个因数相差2，那么可以将拆为（），拆为（），拆为（），拆为（），再去掉小括号，交换数的位置简便计算，交换数的位置凑整进行计算，注意交换位置要带着数前面的符号一起交换；据此计算。 【详解】（1） （2） （3） （4） 4、先找规律，再填数。         根据以上规律，请你完成下面的填空。         【答案】；；；； 【分析】根据 ，，可知两数之差乘两数之和等于两数的平方差，据此解答即可。 【详解】因为，，， 所以两数之差乘两数之和等于两数平方的差， 所以，。 5、计算下面各题，注意使用简便算法。                           【答案】；； ；8；66 【分析】（1）（5）运用乘法分配律，用括号外面的数分别乘括号里的每个数，再按照从左到右的顺序进行计算； （2）（4）（6）先按照分数除法的计算方法把算式改写成分数乘法的形式，然后再运用乘法分配律进行计算； （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的加法，最后再算括号外的乘法。 【详解】 6、计算下面各题，注意使用简便算法。          【答案】； ； 【分析】先算括号里的加法，再算括号外的除法； 根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c的逆用：a×b＋a×c＝a×（b＋c），把原式变为×（－）简算即可； 先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算中括号外的除法； 先把除法变为乘法、把小数化成分数，原式变为：×＋×，再根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c的逆用：a×b＋a×c＝a×（b＋c），把原式变为：×（＋）进行简算。 【详解】÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝ ＝×（－） ＝× ＝    ＝÷[－（＋）] ＝÷[－] ＝÷[－] ＝÷ ＝× ＝ ＝×＋× ＝×（＋） ＝×1 ＝ 7、脱式计算，能简算的要简算。                        【答案】8；；； ；8；36 【分析】（1）（2）根据乘法分配律，进行简便运算。 （3）把除以转换为乘，再根据乘法分配律，进行简便运算。 （4）先算括号里面的加法，再算括号外面的乘法。 （5）先算小括号里面的减法，再计算中括号里面的乘法，最后计算括号外面的除法。 （6）先根据乘法交换率，把乘15调到前面，看成一个乘数，再根据乘法分配律，进行简便运算。 【详解】 8、解方程。 －2x＝        3x÷＝         ÷x＝ （x－10）×＝56    x÷（1＋）＝      x＋x＝26 【答案】x＝；x＝；x＝ X＝74；x＝；x＝42 【分析】－2x＝，根据等式的性质1，方程两边同时加上2x，再减去，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2即可； 3x÷＝，根据等式的性质2，方程两边同时乘，再同时除以3即可； ÷x＝，根据等式的性质2，方程两边同时乘x，再同时除以即可； （x－10）×＝56，根据等式的性质2，方程两边同时除以，再根据等式的性质1，方程两边同时加上10即可； x÷（1＋）＝，先计算出1＋的和，再根据等式的性质2，方程两边同时乘1＋的和即可； x＋x＝26，先化简方程左边含有x的算式，即求出＋的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以＋的和即可。 【详解】－2x＝ 解：－2x＋2x－＝－＋2x 2x＝－ 2x＝－ 2x＝ 2x÷2＝÷2 x＝× x＝ 3x÷＝ 解：3x÷×＝× 3x＝× 3x＝ 3x÷3＝÷3 x＝× x＝ ÷x＝ 解：÷x×x÷＝÷×x x＝÷ x＝× x＝ （x－10）×＝56 解：（x－10）×÷＝56÷ x－10＝56× x－10＝64 x－10＋10＝64＋10 x＝74 x÷（1＋）＝ 解：x÷＝ x÷×＝× x＝ x＋x＝26 解：x＋x＝26 x＝26 x÷＝26÷ x＝26× x＝42 9、小马虎在计算（＋）时，错把小括号去掉了，这样计算的结果与正确结果相差多少？ 【答案】 【分析】本题是关于四则混合运算的题目，分数四则混合运算与整数四则混合运算的顺序相同，有括号的要先算括号里面的，没有括号时要先算乘除，后算加减，同一级的运算就从左往右计算。根据有括号和没有括号两种不同的计算顺序，比较两个式子，再求它们的差即可解答。 【详解】 正确结果：（＋） ＝＋ ＝＋× ＝＋× ＝＋× 去掉小括号的计算结果：＋ ＝＋ ＝＋× ＋×－（＋×） ＝＋×－－× ＝－ ＝ 考点二 比多比少的列式 1、刘叔叔去年使用微信消费1.6万元__________。使用支付宝消费多少万元？如果用算式解决问题，横线上应补充下面信息（    ）。 A．使用微信消费比支付宝少 B．使用支付宝消费比微信少 C．使用微信消费比支付宝多 D．使用支付宝消费比微信多 【答案】A 【分析】求比一个数多或少几分之几是多少，用这个数乘（1±几分之几）；已知比一个数多或少几分之几是多少，求这个数，用已知数÷（1±几分之几）；据此逐项分析各选项即可。 【详解】A．使用微信消费比支付宝少，是将使用支付宝消费的钱数看作单位“1”，使用微信消费比支付宝少，则使用微信消费是支付宝的（1－），求使用支付宝消费的钱数，用1.6÷（1－）解答；符合题意。 B．使用支付宝消费比微信少，是将使用微信消费的钱数看作单位“1”，使用支付宝消费比微信少，则使用支付宝消费是微信的（1－），求使用支付宝消费的钱数，用1.6×（1－）解答；不符合题意； C．使用微信消费比支付宝多，是将使用支付宝消费的钱数看作单位“1”，使用微信消费比支付宝多，则使用支付宝消费是微信的（1），求使用支付宝消费的钱数，用1.6÷（1）解答；不符合题意； D．使用支付宝消费比微信多，是将使用微信消费的钱数看作单位“1”，使用支付宝消费比微信，则使用支付宝消费是微信的（1＋），求使用支付宝消费的钱数，用1.6×（1＋）解答，不符合题意。 所以横线上应补充下面信息使用微信消费比支付宝少。 故答案为：A 2、“城市书房有童话书300本，______。体育书有多少本？”为了解决这个问题，需要先设体育书有x本，后列方程“”。那么，题中所缺条件是（    ）。 A．童话书比体育书少 B．童话书比体育书多 C．体育书比童话书少 D．体育书比童话书多 【答案】B 【分析】，设体育书有x本，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，可知体育书本数×童话书对应分率＝童话书本数，因此将体育书本数看作单位“1”，童话书本数是体育书的，据此得出关于童话书对应分率描述的选项即可。 【详解】根据题中列出的方程分析可知，童话书比体育书多，所以将体育书看成单位“1”，可得出童话书比体育书多。 故答案为：B 3、育才小学五年级有学生480人，比六年级少，六年级有多少人？正确的列式是（  ）。 A．480×（1－） B．480÷（1－） C．480×（1＋） 【答案】B 【分析】由题意可知，以六年级人数为单位“1”，五年级的人数是六年级的（1－），五年级有480人，用数量480除以对应的分率（1－），即是单位“1”的量，也就是六年级有多少人。 【详解】480÷（1－） ＝480÷ ＝480× ＝540（人） 六年级有540人。 故答案为：B。 4、算式可以解决的问题是（    ）。 A．公鸡有320只，母鸡的只数比公鸡多，母鸡有多少只 B．果园里有320棵苹果树，梨树的棵数比苹果树少，梨树有多少棵 C．一本书共有320页，琪琪已经看了这本书的，琪琪看了多少页 【答案】B 【分析】A．把公鸡的只数看作单位“1”，母鸡的只数比公鸡多，则母鸡的只数是公鸡的（1＋），单位“1”已知，用公鸡的只数乘（1＋），即是母鸡的只数； B．把苹果树的棵数看作单位“1”，梨树的棵数比苹果树少，则梨树的棵数是苹果树的（1－），单位“1”已知，用苹果树的棵数乘（1－），即是梨树的棵数； C．把这本书的总页数看作单位“1”，琪琪已经看了这本书的，单位“1”已知，用总页数乘，即是琪琪看的页数。 【详解】A．求母鸡有多少只，列式为：320×（1＋），不符合题意； B．求梨树有多少棵，列式为：320×（1－），符合题意； C．求琪琪看了多少页，列式为：320×，不符合题意。 5、把合适的条件与对应的算式连起来。 户外运动商店运来足球36个，____________，运来篮球多少个？ A．篮球比足球少  a. B．篮球比足球多   b. C．篮球是足球的  c. 【答案】见详解 【分析】选择条件：A.篮球比足球少，把足球的个数看作单位“1”， 篮球比足球少，可得：篮球的个数是足球个数的（1－），根据求比一个数少几分之几的数是多少，用乘法计算，用36×（1－），即可求出运来的篮球个数。 选择条件：B.篮球比足球多，把足球的个数看作单位“1”， 篮球比足球多，可得：篮球的个数是足球个数的（1＋），根据求比一个数多几分之几的数是多少，用乘法计算，用36×（1＋），即可求出运来的篮球个数。 选择条件：C.篮球是足球的，把足球的个数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用36×，即可求出运来的篮球个数。 【详解】选择条件：A.篮球比足球少。 36×（1－） ＝36× ＝30（个） 即运来篮球30个。 选择条件：B.篮球比足球多。 36×（1＋） ＝36× ＝42（个） 即运来篮球42个。 选择条件：C.篮球是足球的。 36×＝6（个） 即运来篮球6个。 如图： 6、六年级学生120人，比全校学生数的少40人，求全校学生人数的正确列式是（  ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把全校的总人数看成单位“1”，六年级的人数如果加上40人就是全校总人数的，即全校总人数的对应的数量是人，由此用除法求出总人数。 【详解】有分析可知，全校的总人数是： 故选C。 考点三 比较问题 1、两根同样长的彩带，第一根先用去米后，又用去剩下的，第二根先用去它的后，再用去米，哪根彩带用去的长？（    ） A．第一根 B．第二根 C．一样长 D．无法判断 【答案】B 【分析】求一个数的几分之几用乘法计算。 第一根用去的长度：第一根总长度－米＝第一次剩下的长度，第二次用的长度＝第一次剩下的长度×。两次用去的长度＝米＋（第一根总长度－米）×； 第二根用去的长度：两次用去的长度＝第二根总长度×＋米。 两根一样长，假设都为a米，用字母表示后再比较。 【详解】由分析可知： 第一根用去的米数为：＋（a－）×＝＋a－＝a＋－； 第二根用去的米数为：a×＋＝a＋。 观察可知，第二根比第一根多用米。 2、一件商品，第一天降价，第二天在第一天降价的基础上涨价，现价与原价相比，（   ）。 A．提高了 B．降价了 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】把这件商品的原价看作单位“1”，一件商品先降价，降价后的价格相当于原价的（1－）；后在降价的基础上涨价，是把降价后的价格看作单位“1”，也就是现价是原价的（1－）×（1＋），据此求出现价，再用现价与原价进行比较即可。 【详解】1×（1－）×（1＋） ＝1×× ＝ ＜1 现价与原价相比，降价了。 故答案为：B 3、一件商品，商品先提价，再降价，那么商品的现价与原价相比（   ）。 A．不变 B．提高了 C．降低了 【答案】C 【分析】假设原价100元，将原价看作单位“1”，先提价，是原价的（1＋）；再将提价后的价格看作单位“1”，降价，是提价后价格的（1－），根据分数乘法的意义可得：原价×提价后对应分率×降价后对应分率＝现价，最后现价和原价比较即可。 【详解】假设原价100元。 100×（1＋）×（1－） ＝100×× ＝120× ＝96（元） 96＜100 考点四 求比一个数多或少几分之几的数是多少的实际问题 1、有甲、乙、丙三根彩带。甲彩带长32米，乙彩带比甲彩带长，乙彩带长( )米；丙彩带比乙彩带短，丙彩带长( )米。 【答案】 40 30 【分析】对于乙彩带的长度： 已知乙彩带比甲彩带长，这里把甲彩带的长度看作单位“1”。 那么乙彩带的长度是甲彩带的（1＋）。 求乙彩带的长度，就是求32米的（1＋）是多少，用乘法计算。 对于丙彩带的长度： 已知丙彩带比乙彩带短，此时把乙彩带的长度看作单位“1”。 那么丙彩带的长度是乙彩带的（1－）。 先求出乙彩带的长度，再求丙彩带的长度，同样用乘法计算。 【详解】求乙彩带的长度： 32×（1＋） ＝32× ＝40（米） 求丙彩带的长度： 40×（1－） ＝40× ＝30（米） 乙彩带长40米，丙彩带长30米。 2、400千克的是( )千克；比400千克多是( )千克；( )千克的是400千克；比( )千克多千克是400千克。 【答案】 250 650 640 【分析】（1）求400千克的是多少千克，把400千克看作单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义求解。 （2）求比400千克多是多少千克，把400千克看作单位“1”，则要求的质量是400千克的（1＋），单位“1”已知，根据分数乘法的意义求解。 （3）求多少千克的是400千克，把要求的质量看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求解； （4）求比多少千克多千克是400千克，即要求的质量比400千克少千克，根据分数减法的意义求解。 【详解】（1）400×＝250（千克） 400千克的是250千克； （2）400×（1＋） ＝400× ＝650（千克） 比400千克多是650千克； （3）400÷ ＝400× ＝640（千克） 640千克的是400千克； （4）400－＝（千克） 比千克多千克是400千克。 3、某废品收购站半年内收购废金属300吨，收购的废塑料比废金属少，收购的废纸比废塑料多，收购废纸多少吨？ 【答案】300吨 【分析】由题意可知，收购的废塑料是收购废金属的（1－），求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，据此用300×（1－）列式求出收购的废塑料的吨数，收购的废纸是废塑料的（1＋），求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，据此用300×（1－）×（1＋）列式解答。 【详解】300×（1－）×（1＋） ＝300×× ＝300×（×） ＝300×1 ＝300（吨） 答：收购废纸300吨。 4、一位体重100千克的人，经过一段时间的锻炼后，体重下降了，后来由于他没有继续坚持锻炼，体重又增长了，此人现在的体重是多少千克？ 【答案】96千克 【分析】将原来的体重看作单位“1”，体重下降了，是原来体重的；再将下降后体重看作单位“1”，体重又增长了，是下降后体重的，原来体重×下降后对应分率×又增长后对应分率＝现在的体重，据此列式解答。 【详解】 （千克） 5、六（1）班有48位同学，踊跃订少儿读物，有的同学订《小学生数学报》，的同学订《小学生英语报》，两种报纸都订的至少( )人，两种报纸都不订的最多( )人。 【答案】 20 12 【分析】将总人数看作单位“1”，订《小学生数学报》的对应分率＋订《小学生英语报》的对应分率超过单位“1”，超过单位“1”的部分是至少两种都订的对应分率，总人数×至少两种都订的对应分率＝至少两种都订的人数； 如果订《小学生英语报》的全都订《小学生数学报》，则两种报纸都不订的人数最多，两种都不订的是总人数的（1－），总人数×两种都不订的对应分率＝两种都不订的人数，据此列式计算。 【详解】48×（＋－1） ＝48×（＋－1） ＝48× ＝20（人） 48×（1－） ＝48× ＝12（人） 两种报纸都订的至少20人，两种报纸都不订的最多12人。 考点五 已知部分量，反推求单位“1” 1、我国农历中的节气“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天吴江的黑夜比白昼少。这一天白昼有( )小时。 【答案】15 【分析】把白昼的时间看作单位“1”，则黑夜的时间为（1－），黑夜与白昼的时间之和是24小时，根据分数除法的意义解答即可。 【详解】24÷（1－＋ 1） ＝24÷ ＝15（小时） 2、看图列式解答。 【答案】20÷（1－）＝32（吨） 【分析】由图可知，是把甲的吨数看作单位“1”，乙比甲少，即乙是甲的（1－），又知乙是20吨，要求甲是多少吨，就是求单位“1”的量，用除法解答。 【详解】20÷（1－） ＝20÷ ＝20× ＝32（吨） 所以甲是32吨。 3、一堆煤，第一天运走的吨数与总吨数的比是1∶4，第二天运走8吨后，两天正好运走了总数的。这堆煤原来有多少吨？ 【答案】96吨 【分析】根据“第一天运走的吨数与总吨数的比是1∶4”可得：第一天运走的吨数是总吨数的；把这堆煤总量看作单位“1”，则第二天运走的8吨，占总吨数的－，根据分数除法的意义，用除法即可求出这堆煤的总吨数。 【详解】8÷（－） ＝8÷ ＝96（吨） 答：这堆煤原来有96吨。 4、六年级三个班参加“数学和生活”创新作品征集活动，小明得到以下信息； 六年级一班提交了多少件作品？ 【答案】24件 【分析】把总件数看作单位“1”，总件数的一半也就是；已知六年一班提交的作品件数占总件数的，则六年二班提交的作品件数占总件数的（）；六年二班提交了16件作品，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用16除以（），计算出总件数；最后用总件数乘，所得结果即为六年一班提交了多少件作品。 【详解】 （件） （件） 5、我国自2016年全面实施二胎政策后，人口结构发生了变化。小学适龄儿童入学人数自2022年始明显增长。某小学2023年的一年级新生有420人，比2022年增加了。 （1）这所小学2022年的一年级新生有多少人？（请画出线段图，并列方程解决问题） 2022年 2023年 （2）据摸排，2024年秋季该校一年级新生人数将比2023年增加。预计2024年一年级新生有多少人？ 【答案】（1）图见详解；336人 （2）480人 【分析】（1）已知2023年的一年级新生人数比2022年增加了，是把2022年的一年级新生人数看作单位“1”，先画一条线段表示2022年的一年级新生人数，平均分成4份，2023年的一年级新生人数比2022年多1份，据此画出表示2023年的一年级新生人数的线段长度，并在线段图上标注信息和数据，完成线段图。 把2022年的一年级新生人数看作单位“1”，2023年的一年级新生人数比2022年增加了，则2023年的一年级新生人数是2022年的（1＋）；得出等量关系：2022年的一年级新生人数×（1＋）＝2023年的一年级新生人数，据此列出方程，并求解。 （2）已知2024年秋季该校一年级新生人数比2023年增加，把2023年的一年级新生人数看作单位“1”，则2024年秋季该校一年级新生人数是2023年的（1＋），单位“1”已知，根据分数乘法的意义解答，即可求解。 【详解】（1）如图： 解：设这所小学2022年的一年级新生有人。 （1＋）＝420 ＝420 ＝420÷ ＝420× ＝336 答：这所小学2022年的一年级新生有336人。 （2）420×（1＋） ＝420× ＝480（人） 6、甲、乙两车同时从A、B两城相向而行，4小时相遇。甲车每小时比乙车多行16千米。已知乙车的速度是甲车的。A、B两城相距多少千米？ 【答案】448千米 【分析】已知乙车的速度是甲车的，那么甲车每小时比乙车多行甲车速度的 ，甲车速度是单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义，用16千米除以，计算出甲车的速度，用甲车的速度乘，求出乙车的速度。 甲乙两车同时从A、B两城相向而行，4小时相遇，则甲乙两车的速度和×时间＝A、B两城的距离。据此可解决本题。 【详解】 ＝ ＝16×4 ＝64（千米） 乙车的速度为：（千米） ＝112×4 ＝448（千米） 答：A、B两城相距448千米。 【点睛】同时相向而行：速度和×时间＝路程和 7、妈妈去商场买了一条裤子、一条裙子和一双鞋，其中裤子80元，比裙子少花，买鞋花的钱是裙子的，妈妈买鞋花了多少元？ 【答案】230元 【分析】将裙子价格看作单位“1”，裤子价格是裙子的（1－），裤子价格÷对应分率＝裙子价格；再将裙子价格看作单位“1”，裙子价格×鞋的对应分率＝鞋的价格，据此列式解答。 【详解】裙子价格：80÷（1－） ＝80÷ ＝80× ＝100（元） 鞋价格：100×＝230（元） 答：妈妈买鞋花了230元。 8、某校创建节水型学校，2023年用水量12000吨，比2022年用水量减少，这所学校2022年用水多少吨？ （1）下面哪幅图正确表达了题目的意思？在相应括号里画“√”。 （2）请你列方程解决这个问题。 【答案】（1）见详解 （2）15000吨 【分析】（1）已知2023年用水量比2022年用水量减少，是把2022年用水量看作单位“1”，把它平均分成5份，则2023年用水量比2022年少一份，由此判断第二幅图符合题意。 （2）设这所学校2022年用水x吨；2023年用水量是2022年的（1－），用2022年的用水量×（1－）＝2023年用水量，列方程：x×（1－）＝12000，解方程，即可解答。 【详解】 （1） （2）解：这所学校2022年用水x吨。 x×（1－）＝12000 x＝12000 x＝12000÷ x＝12000× x＝15000 9、汽车上有男乘客45人，如果女乘客人数减少，恰好与男乘客人数的相等。女乘客有多少人？ 【答案】30人 【分析】把男乘客的人数看作单位“1”，用男乘客人数×，求出男乘客的人数；把女乘客人数看作单位“1”，女乘客总人数的（1－）对应的是男乘客人数的，求女乘客人数，用男乘客人数的÷（1－），即可解答。 【详解】45×÷（1－） ＝27÷ ＝27× ＝30（人） 答：女乘客有30人。 10、落实书香班级，争做读书小标兵。李华读了一本文学书的后，还剩45页。同桌赵乐读了一本科技书的，读了45页。请算一算，文学书和科技书哪一本页数多？ 【答案】文学书页数多 【分析】李华读了一本文学书的后，还剩没读，还剩45页，则文学书共有页；赵乐读了一本科技书的，读了45页，则科技书共有页；计算出两本书的总页数，再进行比较即可。 【详解】文学书： （页） 科技书： （页） 11、姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多少只兔？ 【答案】姐姐70只；妹妹50只 【分析】将姐姐养的只数看成单位“1”，如果姐姐卖掉，还剩下1－＝；假设妹妹增加10只，这是妹妹养的只数就和姐姐剩下的只数相等，即（120＋10）就是姐姐养的只数的（1＋），由此用除法求出姐姐养的只数，进而得出妹妹养的只数；据此解答。 【详解】（120＋10）÷（1－＋1） ＝130÷ ＝70（只） 120－70＝50（只） 考点六 运用转化法或倒推法解决稍难实际问题 1、有三堆围棋子，每堆枚数相等。第一堆的黑棋子和第二堆的白棋子一样多。第三堆有是黑棋子。这三堆棋子中，共有56枚白棋子。这三堆共有多少枚棋子？ 【答案】120枚 【分析】由题可知，三堆围棋的枚数相等，因为第一堆的黑棋子和第二堆的白棋子一样多，所以第一堆的白棋子＝第二堆的黑棋子，第一堆的白棋子＋第一堆的黑棋子＝第一堆的白棋子＋第二堆的白棋子，即第一堆的白棋子和第二堆的白棋子的和正好是一堆棋子枚数，把这堆棋子的枚数看作单位“1”，又知第三堆有是黑棋子，则白棋子有（1－），再把第一、二堆的白棋子总量看作1，根据这三堆棋子中，共有56枚白棋子，用56枚除以三堆白棋子所占的分率，求出一堆棋子的数量，再乘3，就是三堆棋子的总数。 【详解】1－＝ 56÷（＋1） ＝56÷ ＝56× ＝40（枚） 40×3＝120（枚） 2、六一班教室里有一个两层的书架。小明把第二层书籍的放到第一层后，两层的书籍就一样多了。已知原来第二层比第一层多24本，原来第一层和第二层各有多少本？ 【答案】原来第一层有30本，第二层有54本 【分析】假设原来第一层有x本，第二层有（x＋24）本，把原来第二层的总本数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用（x＋24）×即可求出第二层书籍的是多少本；把第二层书籍的放到第一层后，两层的书籍就一样多，则原来第二层的本数－第二层书籍的＝原来第一层的本数＋第二层书籍的，据此列方程为（x＋24）－（x＋24）×＝x＋（x＋24）×，然后解出方程即可，进而求出原来第二层有多少本。 【详解】解：设原来第一层有x本，第二层有（x＋24）本。 （x＋24）－（x＋24）×＝x＋（x＋24）× x＋24－x－＝x＋x＋ x＋＝x＋ ＝x＋－x －＝x－x ＝x x＝÷ x＝× x＝30 30＋24＝54（本） 3、文文和强强都收集了一些邮票，文文把自己邮票的送给强强，两人的邮票数就同样多了。已知原来文文的邮票张数比强强多18张，他们两人原来各有多少张？ 【答案】文文54张；强强36张 【分析】将文文原来的邮票数看成单位“1”，送给强强后，还剩下1－＝，此时两人同样多，则强强原来的邮票数是文文的－＝，两人原来相差1－＝，对应的数量为18张，根据分数除法的意义，用18÷求出文文原来的数量，再用文文原来的数量减去18求出强强原来的数量；据此解答。 【详解】18÷[1－（1－－）] ＝18÷[1－] ＝18÷ ＝18×3 ＝54（张） 54－18＝36（张） 答：文文原来有54张，强强原来有36张。 【点睛】找出与已知量对应的分率是解答本题的关键。 4、师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件的个数的比徒弟加工零件个数的多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？ 【答案】师傅480个；徒弟360个 【分析】假设均取，则应有840×＝525个；师傅的比徒弟的多60个，则徒弟的与师傅的－60个相等，即（525－60）对应徒弟的（＋），由此求出徒弟的个数，进而得出师傅的个数；据此解答。 【详解】（840×－60）÷（＋） ＝465÷ ＝360（个） 840－360＝480（个） 答：师傅加工480个零件，徒弟加工360个零件 【点睛】本题主要考查应用假设法解决分数除法问题，理解（525－60）对应徒弟的（＋）是解题的关键。 5、有甲乙两桶油，甲桶油比乙桶油多12千克，从两桶油中各取出5千克后，甲桶油的等于乙桶油的，原来甲桶油是( )千克，乙桶是( )千克。 【答案】 41 29 【分析】已知甲桶油比乙桶油多12千克，假设原来乙桶油有x千克，甲桶油有（x＋12）千克，从两桶油中各取出5千克后，现在甲桶油有（x＋12－5）千克，乙桶油有（x－5）千克；已知现在甲桶油的等于乙桶油的，根据分数乘法的意义，可列方程为（x＋12－5）×＝（x－5）×，然后解出方程即可，进而求出原来甲桶油千克数。 【详解】解：设原来乙桶油有x千克，甲桶油有（x＋12）千克。 （x＋12－5）×＝（x－5）× （x＋7）×＝（x－5）× x＋＝x－ ＋＝x－x ＝x x＝÷ x＝×6 x＝29 甲桶油：29＋12＝41（千克） 原来甲桶油是41千克，乙桶是29千克。 6、畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的比绵羊的多50只，这个畜牧场有山羊、绵羊各多少只？ 【答案】山羊500只；绵羊300只 【分析】假设均取，则应有800×＝400只；又山羊的比绵羊的多50只，则绵羊的与山羊的－50只相等，即（400＋50）相当于山羊的（＋），故山羊有450÷＝500只，绵羊有800－500＝300只；据此解答。 【详解】（800×＋50）÷（＋） ＝450÷ ＝500（只） 800－500＝300（只） 答：这个畜牧场有山羊500只，绵羊300只。 考点七 工程问题 1、一项工程，甲队独做要10时完成，乙队独做要15时完成，甲乙两队的工作效率比是( )，甲乙两队合做完成这项工程需要( )小时。 【答案】 3∶2 6 【分析】把这项工程看作单位“1”，①依据工作效率＝工作总量÷工作时间解答：甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，；②依据合作的工作时间＝工作总量÷合作工作效率解答：两人合作的工作效率是，。 【详解】① ② 一项工程，甲队独做要10时完成，乙队独做要15时完成，甲乙两队的工作效率比是3∶2，甲乙两队合做完成这项工程需要6小时。 【点睛】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系。 2、一件工作，甲工程队独做12小时可以完成，现在先甲、乙合做4小时，剩下的工作，全部交给乙完成，还需要2小时，乙单独完成这份工作需要多少天？ 【答案】9天 【分析】把这件工作的总量看作单位“1”， 甲工程队独做12小时可以完成，则甲的工作效率是，完成这件工作，甲一共做了4小时，乙做了（4＋2）小时，根据“工作量＝工作效率×工作时间”求出甲4小时完成的工作量，再用总工作量减去甲4小时完成的工作量就是乙（4＋2）小时完成的工作量，再根据“工作量÷工作时间＝工作效率”求出乙的工作效率，再根据“工作量÷工作效率＝工作时间”即可解答。 【详解】（1－×4）÷（4＋2） ＝÷6 ＝ （天） 答：乙单独完成这份工作需要9天。 【点睛】本题考查了工作量、工作效率、工作时间的关系，求出乙的工作效率是解题的关键。 3、“智能亚运”是杭州第十九届亚运会的一大亮点，120件物品由甲、乙两只电子狗进行配送，甲电子狗单独送3小时完成，乙电子狗单独送4小时完成。如果两只电子狗合作完成，需要几小时送达？ 【答案】小时 【分析】方法一：用需要配送的物品的总件数分别除以甲、乙用的时间，得出甲、乙电子狗每小时配送的件数，再用总件数除以甲、乙每小时配送的件数和，即可得两只电子狗合作，几小时可以送完。 方法二：将这批物品看作工作总量“1”，甲电子狗单独送3小时完成，计算出甲的工作效率，乙电子狗单独送4小时完成，计算出乙的工作效率。合作完成，工作时间＝工作总量÷工作效率之和，据此可以解答。选择喜欢的方法解决即可。 【详解】方法一： 120÷（120÷4＋120÷3） ＝120÷（30＋40） ＝120÷70 ＝（小时） 方法二：将这批物品看作工作总量“1” ＝ ＝ ＝（小时） 答：如果两只电子狗合作完成，需要小时送达。 4、甲、乙两个工程队从两端开凿一条480米长的隧道，计划30天完成。甲队计划每天开凿7.2米，乙队每天需要开凿多少米？（列方程解决问题） 【答案】8.8米 【分析】设乙队每天需要开凿x米；甲队计划每天开凿7.2米，30天开凿7.2×30米；乙队计划每天开凿x米，30天开凿30x米；甲队开凿的米数＋乙队开凿的米数＝隧道的长度，列方程：7.2×30＋30x＝480，再运用等式的性质解方程，等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；据此解答。 【详解】解：设乙队每天需要开凿x米。 7.2×30＋30x＝480 216＋30x＝480 216＋30x－216＝480－216 30x＝264 30x÷30＝264÷30 x＝8.8 答：乙队每天需要开凿8.8米。 5、鄂州市莲花山风景区要进行道路修缮工程，甲工程队单独修这条路需要12天完成，乙工程队单独修15天可以修完这条路的，如果甲、乙两个工程队合作来修莲花山风景区的这条路，需要几天完成？ 【答案】7.5天 【分析】已知一个数的几分之几是多少，求这个是用除法计算，列式：15÷，求出乙工程队单独修完这条路需要多少天。 把公路总长度看作单位“1”，根据：工作总量÷工作时间＝工作效率，分别求出甲、乙两队的工作效率，甲、乙两个工程队合作所需要的时间＝1÷甲、乙两队的工作效率之和，据此列式解答。 【详解】15÷ ＝15× ＝20（天） 1÷（1÷12＋1÷20） ＝1÷（） ＝1÷ ＝1× ＝7.5（天） 答：需要7.5天完成。 6、一项工程，师傅单独做需要15天完成，徒弟单独做需要18天完成，两人合作6天后，余下的由师傅单独做，师傅还要几天完成？ 【答案】4天 【分析】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，工作总量－两人效率和×合作天数＝剩余工作量，剩余工作量÷师傅效率＝师傅还需要的天数。 【详解】[1－（＋）×6]÷ ＝[1－×6]÷ ＝[1－]÷ ＝×15 ＝4（天） 答：师傅还要4天完成。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。 考点八 找不变量解决实际问题 1、李师傅加工一批零件。第一天加工了全部零件的。第二天又加工了21个。这时已加工的与未加工的个数之比是3∶2，这批零件一共有 个，还剩 个没加工。 【答案】 60 24 【分析】首先，因为已加工的与未加工的个数之比是3：2，那么已加工的零件个数占这批零件总个数的＝。这一步是根据比例关系得出已加工零件在总数中的占比。接着，我们知道第一天加工了全部零件的，然后，第二天加工了21个零件。那么从整体来看，第二天加工的21个零件加上第一天加工的零件（占总数的）就等于已加工的零件（占总数的）。所以，21个零件所对应的占比就是已加工零件占总数的减去第一天加工零件占总数的。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。据此求出这批零件的总个数。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。据此求出还剩下没加工的零件个数。 【详解】这批零件一共有： 21÷（－） ＝21÷（－） ＝21÷ ＝21× ＝60（个） 2、学校合唱队的男生人数是女生人数的，今年新招入1个女生后，男生人数是女生人数的。学校合唱队原来共有多少人？原来男、女生各有多少人？（提示：可以用方程解） 【答案】合唱队原来51人；原来男生24人；女生27人。 【分析】由题意可知，是把原来女生人数看作单位“1”，是把后来的女生人数看作单位“1”，设原来女生人数为x人，则后来女生人数是人，等量关系式原来女生人数的＝后来女生人数的，据此列方程解答，即可求出原来女生人数，再根据求一个数的几分之几，用乘法计算，求出男生人数，男女生加起来即可得原来合唱队人数。据此解答。 【详解】解：设原来女生人数为x人，则后来女生人数是人。 （人） （人） 3、小明看一本书，第一天读了一部分，已读的和未读的页数之比是2∶5，第二天读了30页，已读的和未读的页数之比是4∶5，这本书共有多少页？ 【答案】189页 【分析】由“第一天读了一部分，已读的和未读的页数比是2∶5”可知：这本书的总页数分为2＋5＝7份，已读的占总页数的；第二天读了30页，已读的和未读的页数比是4∶5，这时把这本书的总页数分为4＋5＝9份，已读的占总页数的，那么第二天读的30页就是总页数的－，据此即可求出这本书共有多少页。 【详解】30÷（－） ＝30÷ ＝189（页） 4、某班原来男生人数和女生人数是3∶4，后来又转来2名男生，这时男生和全班人数的比是5∶11，现在男、女生人数各是多少？ 【答案】男生有20人，女生有24人 【分析】把女生人数看作单位“1”，某班原来男生人数和女生人数是3∶4，即原来男生人数占女生人数的，现在男生和全班人数的比是5∶11，这说明女生人数有11－5＝6（份），则现在男生人数占女生人数的，所以现在比原来多了女生的－，用2÷（－）即可求出女生人数，进而可以求出现在的男生人数。 【详解】11－5＝6（份） 2÷（－） ＝2÷（－） ＝2÷ ＝24（人） 24×＝20（人） 学科网（北京）股份有限公司 $$