2.2.4 二次函数y=a(x-h)²+k的性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.2.4 二次函数的性质 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图像问题】 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】 考点1 y=a（x-h)²+k的图像性质 【问题1】画出函数y＝－(x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴 先列表 再描点、连线. 由函数y＝－(x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。 【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 通过列表、描点、连线得到如下图像 图像特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。 由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是： y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【典例1】抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线． 【变式1-1】已知二次函数，它的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据顶点式解答即可.即在二次函数关系式中，顶点坐标为，对称轴为. 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. 故答案为：. 【变式1-2】二次函数图象的对称轴是（） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式直接说出对称轴即可，能根据顶点式说出对称轴是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为：， 故选：B． 【变式1-3】抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数顶点式，顶点坐标为：，对称轴为：，进行解答，即可． 【详解】解：∵二次函数顶点式，顶点坐标为：，对称轴为：直线， ∴抛物线中，对称轴为：直线． 故选：B． 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【典例2】关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，有最大值 C．当时，随的增大而减小 D．图象的顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得二次函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，则在对称轴右侧随的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为 ，， ∴二次函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故A结论正确，不符合题意，D结论错误，符合题意； ∴当时，有最大值，当时，随的增大而减小，故B、C结论正确，不符合题意； 故选：D． 【变式2-1】已知二次函数，下列说法错误的是（   ） A．∵，∴抛物线开口向上； B．抛物线的对称轴为直线； C．顶点坐标为 D．在对称轴的左边（即），y随的x增大而增大． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．抛物线中，，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； B．由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； C．由解析式得，抛物线的顶点坐标为顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； D．因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式2-2】在函数的图象上，当随的增大而减小时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数顶点式可得顶点坐标为，图像开口向下，根据函数的增减性即可求解． 【详解】解：已知， ∴二次函数图象的开口向下，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴当 随 的增大而减小时， 的取值范围为， 故选：A ． 【变式2-3】已知二次函数当时，函数值y的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 当时有最大值是3， 当时，， 当时，， 当时，函数值的取值范围为． 故选：D． 【变式2-4】在二次函数中，若时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧随的增大而增大，在对称轴的左侧，随的增大而减小．本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数 ∴函数的对称轴为， 又 ， ∴二次函数开口向上， 在对称轴的左侧随的增大而减小， ∵时，随的增大而减小， ． 故选：C． 【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【典例3】若点，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线，开口向上 而点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 所以． 故选：C． 【变式3-1】已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查二次函数的性质，根据二次函数的对称轴确定各点到对称轴的距离，结合二次函数的开口方向，即可判断，，的大小关系． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上， 且，，，抛物线开口向下， ∴， 故选：A． 【变式3-2】已知的图象过点，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵的图象过点，，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-3】已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解． 【详解】解：二次函数的解析式为， 对称轴为直线，， 该抛物线开口向下， 离对称轴越远的点，其值越小， 点，，， ，，，即， ， 故选：C． 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【典例4】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可，掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在， ∴当时函数有最小值， ∴， 解得：, 综上所述：的值为或， 故选：． 【变式4-1】已知二次函数（），当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．6或 B．或2 C．或 D．6或2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质；先求出对称轴，再分两种情况讨论，当时，根据二次函数的图象和性质可知，当时，y有最小值，即可求出a的值，当时，根据二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小可知，当时，y有最小值，即可求出a的值． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数的对称轴为直线， 当时，此时当时，y有最小值，y最小=， ， 当时， ， 当时，y有最小值，y最小， ， 综上所述，a的值为或6， 故选：． 【变式4-2】当时，二次函数的最小值是1，则a的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．可知顶点为，则，那么，解方程即可，注意舍解． 【详解】解：二次函数对称轴为直线，顶点为， ∵ ∴使得最小值为1，则 ∴， 解得：或（舍）， 故答案为：． 【变式4-3】已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为0，则h的值为 ． 【答案】或6 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 由解析式可知该函数在时取得最大值4、时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为0可分如下两种情况：①若，时，取得最大值0；②若，当时，取得最大值0，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴①若，时，取得最大值0， 可得：， 解得：（舍）或； ②若，当时，取得最大值0， 可得：， 解得：（舍）或． 综上，的值为或6， 故答案为：或6． 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【典例5】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把解析式设为顶点式，即，再根据二次项系数的符号决定开口方向，二次系数的绝对值决定形状可得，据此可得答案． 【详解】解：设此抛物线解析式为， ∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∴此抛物线解析式为， 故答案为：． 【变式5-1】一条抛物线与抛物线的形状相同、开口方向相反，与抛物线的顶点相同，求该抛物线的解析式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查二次函数的性质．根据二次函数的性质，结合顶点坐标即可得出解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∴设新抛物线的解析式为， ∵抛物线与抛物线的形状相同、开口方向相反， ∴， ∴新抛物线解析式为． 故选：C． 【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图像问题】 【典例6】如图，四个二次函数的图象中，分别对应的解析式是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次项系数大于零，开口向上，二次项系数小于零，开口向下，开口越小二次项系数的绝对值越大是解题的关键． 【详解】解：∵①②开口向上，③④开口向下， ∴，，，， 又∵①的开口小于②的开口，④的开口小于③的开口， ∴，， ∴∴， 故选：A． 【变式6-1】二次函数 的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，的顶点坐标为，，开口方向向下；，开口方向向上；据此即可作答． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是，顶点坐标为， 故选B． 【变式6-2】二次函数的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一分析判断即可． 【详解】解：在中由可知抛物线的开口向上，故选项A错误； 其对称轴为直线，在y轴的左侧，故选项B错误； 二次函数，当时，，即该抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），在y轴负半轴上，故选项D错误； 该抛物线开口向上，对称轴为直线，与y轴的交点在y轴负半轴上，符合以上条件的只有选项C． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了对二次函数的图像和性质的应用，运用数形结合思想的分析问题是解题关键． 【变式6-3】二次函数的图像大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上， 由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）． 故选：D． 考点2 二次函数y=a(x-h)²+k平移 平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k） 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】 【典例7】将抛物线关于轴对称后得到新抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的轴对称与解析式的关系，关键是明确顶点的对称以及抛物线开口方向的变化． 可求出抛物线的顶点坐标为，关于轴对称的抛物线顶点坐标为，可求出函数的顶点式，再根据对称之后的开口向上，可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向下， ∴关于轴对称的抛物线顶点坐标为，且对称之后的抛物线开口向上， ∴所求抛物线解析式为：． 故答案为：． 【变式7-1】把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换，先求出平移后抛物线顶点坐标，进而得到抛物线的顶点式． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移1个单位，再向下平移2个单位， ∴新抛物线的顶点为， ∴设新抛物线的解析式为： ， 代入得：， 故选：C． 【变式7-2】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解： 与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 【变式7-3】将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移规律以及图象性质，根据“左加右减，上加下减”进行计算，即可作答． 【详解】解：∵抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度， ∴， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选：A 1．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 2．二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴函数有最大值7． 故选A． 3．关于抛物线：①；②；③y，下列结论正确的是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．形状相同 D．都有最高点 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数图象的性质，根据函数解析数确定对称轴，开口方向，顶点坐标，及最高点和最低点，形状，熟练掌握各函数图象的性质是解题的关键 【详解】解：①的对称轴为y轴，开口向上，顶点坐标为， 图象有最低点； ②的对称轴为y轴，开口向下，顶点坐标为， 图象有最高点； ③的对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为， 图象有最低点； ∵三个图象的，故三个抛物线的形状相同， 故选：C. 4．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 5．已知抛物线上有三点，，，则，，为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=1，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断y3＜y2；根据二次函数的性质即可判断y1＞y2＞y3． 【详解】解：因为a=＞0，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 根据二次函数图象的对称性可知，C（2，y3）和（0，y3）关于直线x=1对称， 因为-2＜-1＜0，故y1＞y2＞y3， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 6．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：D． 7．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点，设二次函数，把（0，0）代入得，解得．故二次函数的解析式为．故选A． 考点：待定系数法求二次函数解析式． 8．二次函数无论为何值，图象的顶点一定在（    ） A．直线上 B．直线上 C．轴上 D．轴上 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，理解二次函数和一次函数图象上点的特点是解题关键．根据解析式求得抛物线的顶点坐标，然后判断该点位于直线上． 【详解】解：二次函数的顶点为， 该点一定在直线上， 故选：A． 9．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示： x … a 2 … y … 1 1 6 … 则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次函数的图像与性质，先根据表格得到对称轴，以及顶点，进而得到的值，然后再随便代入一个点即可得到的值，再根据图像的性质得到取值范围，考虑对称轴处取得最值是解题的关键． 【详解】解：设一元二次函数为， 由表格可知与关于对称轴对称， ∴对称轴为， 即， 又由表格可知当时，， 即， ∴解析式为：， 将表格中已知的点代入可解得， ∴该一元二次函数解析式为：， 当时，在对称轴处取得最小值，在处取得最大值， 当时，， ∴此时的取值范围为， 故选：A． 10．若点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数值的大小，把自变量的值代入解析式即可求出，的值，比较即可解题． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 11．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先确定抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质得当时，随的增大而减小，所以对称轴不能在直线的左边，则有，即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 又∵当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 12．二次函数，当，则y的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最大值为：， 当时，函数有最小值为：， ∴； 故答案为：． 13．已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线，则在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在讨论对称轴的位置，根据最小值为进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大， 当时，则当时，y有最小值， ∴， ∴， 解得或，都不符合题意； 当时，则当时，y有最小值， ∴， ∴， 解得（舍去） 当时，则函数在或处取得最小值， 当时，在处取得最小值，此时或（舍去）； 当时，在处取得最小值，此时或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：1或． 14．在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ． 【答案】24 【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解． 【详解】抛物线的对称轴是 过点作于点，如下图所示 则，则 则以为边的等边的周长为． 故答案为24． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键． 15．已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)抛物线与轴的交点坐标为 (3)时，函数值随着的增大而减小 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算自变量的值为所对应的函数值即可； （3）根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，函数值随着的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.4 二次函数的性质 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图像问题】 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】 考点1 y=a（x-h)²+k的图像性质 【问题1】画出函数y＝－(x+1)2－1的图象, 指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴 先列表 再描点、连线. 由函数y＝－(x+1)2－1的图象，观察其特点是：开口方向向下；顶点坐标是(-1,-1)；对称轴是直线x=-1。 【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点. 通过列表、描点、连线得到如下图像 图像特点是：开口方向向上； 对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。 由【问题1】【问题2】概括二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质是： y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 【考点1 二次函数y=a(x-h)²+k的顶点、对称轴】 【典例1】抛物线的对称轴是 ． 【变式1-1】已知二次函数，它的顶点坐标为 ． 【变式1-2】二次函数图象的对称轴是（） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1-3】抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【考点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质】 【典例2】关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，有最大值 C．当时，随的增大而减小 D．图象的顶点坐标为 【变式2-1】已知二次函数，下列说法错误的是（   ） A．∵，∴抛物线开口向上； B．抛物线的对称轴为直线； C．顶点坐标为 D．在对称轴的左边（即），y随的x增大而增大． 【变式2-2】在函数的图象上，当随的增大而减小时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知二次函数当时，函数值y的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式2-4】在二次函数中，若时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点3二次函数y=a(x-h)²+k的y值大小比较】 【典例3】若点，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知的图象过点，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【考点4二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题探究】 【典例4】已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4-1】已知二次函数（），当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．6或 B．或2 C．或 D．6或2 【变式4-2】当时，二次函数的最小值是1，则a的值是 ． 【变式4-3】已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为0，则h的值为 ． 【考点5根据二次函数y=a(x-h)²+k的性质写解析式】 【典例5】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为 ． 【变式5-1】一条抛物线与抛物线的形状相同、开口方向相反，与抛物线的顶点相同，求该抛物线的解析式（   ） A． B． C． D． 【考点6二次函数y=a(x-h)²+k的图像问题】 【典例6】如图，四个二次函数的图象中，分别对应的解析式是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】二次函数 的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】二次函数的图像大致是（    ） A．B．C．D． 【变式6-3】二次函数的图像大致为（   ） A．B．C．D． 考点2 二次函数y=a(x-h)²+k平移 平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k） 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【考点7二次函数y=a(x-h)²+k图像变换问题】 【典例7】将抛物线关于轴对称后得到新抛物线的函数表达式为 ． 【变式7-1】把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【变式7-3】将抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 1．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的的最大值是（   ） A．7 B． C．2 D． 3．关于抛物线：①；②；③y，下列结论正确的是（　　） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．形状相同 D．都有最高点 4．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 5．已知抛物线上有三点，，，则，，为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 7．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 8．二次函数无论为何值，图象的顶点一定在（    ） A．直线上 B．直线上 C．轴上 D．轴上 9．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示： x … a 2 … y … 1 1 6 … 则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“＞”，“＝”或“＜”） 11．若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 12．二次函数，当，则y的取值范围 ． 13．已知关于x的二次函数，当时，函数有最小值，则k的值为 ． 14．在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ． 15．已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标； (3)试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$