2.2.2 二次函数y=ax²+c的图像和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.2.2 二次函数的图像和性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图像性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 考点 1 y=ax²+c的图像性质 【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象． 【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣1， ∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0）， ∴其图象如图所示： 二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象． 【解答】解：列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 … 描点、连线如图． 二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 总结： 1.y=ax²+c的图像的性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【典例1】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1-3】抛物线的对称轴是（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【考点2 二次函数y=ax²+c图像性质】 【典例2】对于抛物线的说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．图象经过第一、二、三象限 C．函数最小值是2 D．当时，随的增大而减小 【变式2-1】下列各点中，是二次函数图像上的点是（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】二次函数开口方向是（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【变式2-3】对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【典例3】已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知点，点在抛物线上，则的大小关系（   ） A． B． C． D．无法比较 【变式3-3】点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【典例4】抛物线与直线的一个交点为，那么b的值是（） A．5 B．6 C．-5 D．-6 【变式4-1】二次函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 1．下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象上有三点，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到 D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 5．当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 6．已知二次函数，则（　　） A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值 C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值 7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+1的大致图象是（　　） A．B． C． D． 8．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若为直角，则 10．已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则抛物线的顶点坐标为 ． 11．抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 12．已知二次函数． (1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2 二次函数的图像和性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图像性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 考点 1 y=ax²+c的图像性质 【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象． 【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣1， ∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0）， ∴其图象如图所示： 二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象． 【解答】解：列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 … 描点、连线如图． 二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 总结： 1.y=ax²+c的图像的性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【典例1】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 【变式1-1】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线顶点坐标的求法，能根据抛物线的顶点式，写出顶点坐标是解题关键．已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标即可． 【详解】抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 【变式1-2】抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了求抛物线的对称轴的方法．已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出对称轴． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线，即：y轴． 故选：C． 【变式1-3】抛物线的对称轴是（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴， 故选：B． 【考点2 二次函数y=ax²+c图像性质】 【典例2】对于抛物线的说法不正确的是（   ） A．开口向上 B．图象经过第一、二、三象限 C．函数最小值是2 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数，， 该函数的图象开口向上，图象经过第一、二象限，对称轴是轴，顶点坐标为，有最小值2，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故选项A、C、D说法正确，选项B说法错误， 故选：B． 【变式2-1】下列各点中，是二次函数图像上的点是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 分别把、0、代入二次函数解析式中计算出对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：A.当时，，故选项不合题意； B.当时，，故选项不合题意； C.当时，，故选项符合题意； D．当时，，故选项不合题意； 故选：C． 【变式2-2】二次函数开口方向是（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据即可判断． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向上， 故选：A． 【变式2-3】对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线，且开口向上，再由可知，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出答案． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键． 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【典例3】已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意，得二次函数的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性，和时的函数值相等，根据函数图象，当，随的增大而减小，当，随的增大而增大，进行解答，即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线轴， ∴和时的函数值相等， ∵， ∴时，随的增大而增大， ∵，，在二次函数上 ∴． 故选：D． 【变式3-1】设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． 【变式3-2】已知点，点在抛物线上，则的大小关系（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象上点的特点，判断点，点在抛物线对称轴的距离位置，即可比较大小． 【详解】∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴 ∴在y轴右侧，y随x增大而增大 ∵ ∴ 故选：B． 【变式3-3】点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的性质．根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴，开口向上 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 点关于抛物线的对称轴的对称点为 ∵ ∴． 故选：C． 【变式3-4】若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求得函数图象的开口方向和对称轴，根据各点离对称轴的距离求解即可． 【详解】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【典例4】抛物线与直线的一个交点为，那么b的值是（） A．5 B．6 C．-5 D．-6 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数一次函数的交点问题．把代入即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 把代入得到，解得， ∴一次函数为， 故选：B 【变式4-1】二次函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的图像开口方向和顶点坐标得出答案． 【详解】二次函数中，，图象开口向上，顶点坐标为， 符合条件的图象是B． 故选：B． 1．下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，一次函数中当一次项系数为正时，y的值随x值的增大而增大，一次项系数为负时，y的值随x值的增大而减小，二次函数中，二次项系数为正时，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，二次项系数为负时，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：A、函数在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； B、函数中，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； C、函数中，y的值随x值的增大而增大，符合题意； D、函数中，y的值随x值的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数（其中a、c是常数，），其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选B． 3．函数的图象上有三点，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象上有三点，，得到，由得，即可得到答案． 【详解】∵函数的图象上有三点，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数的性质，熟练准确求出函数值是解题的关键． 4．关于二次函数 的图象，下列说法中，正确的是（　　）． A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数 的图象向左平移1个单位得到 D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.二次函数 的对称轴为直线，故A选项不符合题意； B. 二次函数 的顶点坐标，故B选项不符合题意； C. 二次函数 的图像可以由二次函数 的图像向上平移1个单位得到，故C选项不符合题意； D. 二次函数 的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D选项符合题意． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键． 5．当时，二次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为：， 故选D． 【点睛】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 6．已知二次函数，则（　　） A．当时，y有最小值 B．当时，y有最小值 C．当时，y有最大值 D．当时，y有最大值 【答案】C 【分析】根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴当时，y有最大值，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性和顶点坐标． 7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+1的大致图象是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线y＝﹣x2+1的图像顶点为（0，1），对称轴为y轴，开口向下即可判断求解． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+1的图像顶点为（0，1），对称轴为y轴，开口向下 ∴大致图象如下： 故选A． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知抛物线y＝ax2+k的特点． 8．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式可以得到二次函数的增减性，即当时，y随x增大而增大，然后求出当时，，当时，，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，，当时，， 当时，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了求二次函数函数值的范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质． 9．如图，抛物线与过点且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若为直角，则 【答案】/ 【分析】直线与轴交于点，如图，则，利用二次函数的性质得到，再证明为等腰直角三角形得到，所以，然后把点坐标代入即可得到的值． 【详解】解：设直线与轴交于点，如图，则， ， ， 过点且平行于轴， 为等腰三角形， ∵轴， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质． 10．已知一元二次方程的两个实数根分别是和，则抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再代入到抛物线解析式中，再求得顶点坐标即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是a和b， ∴， 则抛物线解析式为：， ∴抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．也考查了抛物线顶点坐标为 11．抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 12．已知二次函数． (1)填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … －2 －1 0 1 2 … y … … (2)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1) x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 图象见解析 (2) 【分析】（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可． 【详解】（1） x … －2 －1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$