3.6二次函数的应用（分层培优提分练）数学鲁教版五四制九年级上册

3.6二次函数的应用（分层培优提升） 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 3．（23-24九年级上·山西大同·期末）小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（    ） A． B． C． D． 4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（    ） A． B． C．8 D． 5．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（   ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴 6．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边上，记，， 图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 7．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·广西钦州·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（    ） A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米 9．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点、、、分别从点、、、同时出发，均以的速度向点、、、匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，四边形的周长最小值为（   ） A．18 B． C．24 D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·新疆哈密·期中）汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：s）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了 ． 12．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为 ． 13．（24-25九年级上·广东·期中）如图所示的坐标系，一位篮球运动员身高，在离篮圈水平距离处跳起投篮，这次跳投时，球在他头顶上方处出手，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为．球出手时，他跳离地面的高度为 ． 14．（24-25九年级上·广东·期中）如图，一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点P的坐标为，如果一辆货车高，宽，那么这辆货车 （填“能”或“不能”）从该隧道内通过． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则 ，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为 米． 三、解答题 16．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离起跳点的水平距离为时，达到最大高度． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求该运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 17．（24-25九年级上·全国·期中）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； (2)求每盒猪肉粽售价定为多少元时，每天销售猪肉粽所获利润最大，最大利润是多少？ 18．（24-25八年级上·全国·期中）某商业集团准备购进A，两款打印机在甲、乙两个商场进行销售，两款打印机每台的利润如下表所示： 甲商场 乙商场 A款（元/台） 95 60 款（元/台） 70 45 为迎接双十一，该商业集团新进了40台A款，60台款调配给甲、乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场． (1)设该集团调配给甲商场A款台，求总利润与的函数表达式； (2)若这100台打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 20．（24-25九年级上·广西钦州·期中）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 21．（24-25九年级上·福建福州·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·全国·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为； ②x的取值范围是； ③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为． 其中，正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．① 24．（24-25九年级上·全国·期中）如图为抛物线型拱桥的横截面，当水面宽度为米时，拱顶离水面的距离为米，当水面下降米时，水面的宽度为 米． 25．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数解析式，“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为 ． 26．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P距地面的距离）时，水线的跨度． 请你结合所学知识解决下列问题： (1)在图2中建立以为单位长度，点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A与垂直的直线为y轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． (2)若喷水池中心C到A的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内? (3)在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，，，，，） 27．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是 ． 28．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图是劳动公园一个桥拱的示意图，拱跨m，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得m，，且m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 ． 29．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，抛物线交x轴于和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求出点B的坐标，然后根据图象，直接写出函数值时，自变量x的取值范围； (3)若点P在抛物线上，当时，求点P的坐标； 30．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 (1)求y与x之间的解析式； (2)若公司销售该商品获得的日利润（日利润=每件利润×日销售量）为w（元），求w与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围，然后求出w的最大值． 31．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 32．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，在正方形中，O为对角线的中点，．动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度和每秒1个单位长度．当点P出发后，过点P作于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积为S． (1)当点P在线段上运动时，用含t的代数式表示的长； (2)当点O在的内部时，求t的取值范围； (3)求S与t之间的函数关系式． 33．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为∶ (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 34．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）小明同学经常运用数学知识对网球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，网球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． (1)本次吊球能否过网？并说明理由； (2)若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，他应该向正前方移动多少米吊球，才能让网球经过点C正上方． 35．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）某大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，，如图（1），在比例图上，以直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）． (1)求出图（2）中以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围． (2)如果与的距离，求大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.6二次函数的应用（分层培优提升） 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（    ） A．1秒 B．2秒 C．2.4秒 D．3秒 【答案】D 【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了已知函数值求自变量的值，根据题意可知当时符合题意，进而求出答案即可． 【详解】当时，， 解得或， 所以球弹起后又回到地面所经过的时间是3秒． 故选：D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）若一种服装销售盈利y（万元）与销售数量x（万元）满足函数关系式，则盈利（   ） A．最大值为5万元 B．最大值为7万元 C．最小值为5万元 D．最大值为6万元 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求二次函数的最值；将二次函数化为，由二次函数的性质，即可求解；掌握二次函数最值的求法是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， （万元）； 故选：B． 3．（23-24九年级上·山西大同·期末）小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即的长度）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确求出一元二次方程的解． 令，再解关于x的方程，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去） 故选B 4．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，设的速度为a，根据题意可得：的面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：设的速度为a， 根据题意可得：的面积为， ∴最大值为：， 故选：C． 5．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，玉带桥的拱顶离水面的平均高度为，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为，则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（   ） A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴 B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为轴 C．以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴 D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为轴 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及二次函数图象与性质，根据题意，结合二次函数图象与性质即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由抛物线的图象与性质可知，二次函数为的对称轴为轴，顶点坐标为， 该抛物线所在的平面直角坐标系是以水面为轴，以抛物线的对称轴为轴， 故选：C． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边上，记，， 图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出函数解析式是解题的关键． 设（m为常数），根据等腰直角三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，得到，根据三角形和矩形的面积得到结论． 【详解】解：设（m为常数）， 在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 即， ∴y与x成一次函数关系， ∵， ∴S与x成二次函数关系． 故选：A． 7．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，有一矩形纸片，，，将该矩形纸片沿垂直于的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸盒，则长方体纸盒的最大容积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为，长方体的体积为，根据题意列出二次函数求得最大值即可；本题主要考查二次函数的应用，根据题意准确列出二次函数是解题的关键． 【详解】解：设折成的长方体盒子的底面一边长为，则其相邻的边长为， 长方体的体积为， 根据题意得： ， 所以该纸筒的最大容积为， 故选：B． 8．（24-25九年级上·广西钦州·期中）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（    ） A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用；设苗圃的一边长为米，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设苗圃的一边长为米，面积为， 根据题意得， ∵墙最大可用长度为米 ∴，即 当时，随的增大而减小， ∴当时，最大为平方米 故选：D． 9．（24-25九年级上·安徽铜陵·阶段练习）如图1是抛物线形石拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据图示，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为，把顶点坐标代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，二次函数图象经过，顶点坐标为，设二次函数解析式为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， 故选：A ． 10．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点、、、分别从点、、、同时出发，均以的速度向点、、、匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，四边形的周长最小值为（   ） A．18 B． C．24 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值、勾股定理．根据题意和图形可以得到四边形的周长与运动时间t的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可解答本题． 【详解】解：设点运动的时间为秒，则，， 由勾股定理得， 四边形的周长， 设 ∵， ∴当时，取得最小值，此时， ∴四边形的周长的最小值， 故选：B． 二、填空题 11．（24-25九年级上·新疆哈密·期中）汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：s）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的解析式得出其顶点式，再利用二次函数的性质求出的最大值即可得出结论．利用配方法求出二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：， 汽车刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园，则矩形花园的最大面积为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．设，则，，再求面积最大值即可． 【详解】解：设，则， ， 此函数的对称轴为：， ，故函数有最大值， 当时，函数取得最大值， 则：， 故答案为：100． 13．（24-25九年级上·广东·期中）如图所示的坐标系，一位篮球运动员身高，在离篮圈水平距离处跳起投篮，这次跳投时，球在他头顶上方处出手，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为．球出手时，他跳离地面的高度为 ． 【答案】 【分析】由题意可得所求抛物线的顶点坐标为且过点；不妨设所求抛物线的解析式为，根据待定系数法，将代入，即可求出a的值，进而得到函数关系式；再求出当时，对应的y值，接下来列式计算，即可得到他跳离地面的高度. 本题主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，正确的设解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意知抛物线的顶点坐标为且过点， ∴设， 将代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 当时，， 即球出手时的高度为， ， ∴他跳离地面的高度为． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·广东·期中）如图，一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点P的坐标为，如果一辆货车高，宽，那么这辆货车 （填“能”或“不能”）从该隧道内通过． 【答案】能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据抛物线顶点坐标，设出抛物线的解析式，将点代入解析式求出解析式，再求出当时的值，然后求出横坐标之差的绝对值，再与3作比较即可得到答案． 【详解】解；设抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴． ∴， ∴抛物线的表达式为； 当时，得：， 解得：，， ∵， ∴货车能从该隧道内通过， 故答案为：能． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则 ，主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为 米． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为米，则，且主桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解的值，根据顶点坐标，对称的性质，两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：主桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为米，则， ∴， 解得，， ∴， ∴倒影点的坐标为， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影点之间的距离为， 故答案为：；． 三、解答题 16．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离起跳点的水平距离为时，达到最大高度． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)求该运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据点及顶点坐标，然后设抛物线的顶点式求解即可； （2）求出函数解析式中时的值即可得出答案． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题解决． 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线顶点坐标是， 设关于的函数表达式为，抛物线过， ， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：在中， 令得， 解得或（舍去）， 运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为米． 17．（24-25九年级上·全国·期中）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； (2)求每盒猪肉粽售价定为多少元时，每天销售猪肉粽所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元 (2)定价70元，最大利润为1800元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； （2）由题意得，当时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式，根据二次函数的性质及的取值范围求利润的最大值． 本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式． 【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元， 则， 解得：，经检验是方程的解， 猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元； （2）解：由题意得，∵时，每天可售出100盒， ∴当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒， ， 配方，得：， ， ∴开口向下， 当时，取最大值，最大值为元． 答：关于的函数解析式为，且最大利润为1800元． 18．（24-25八年级上·全国·期中）某商业集团准备购进A，两款打印机在甲、乙两个商场进行销售，两款打印机每台的利润如下表所示： 甲商场 乙商场 A款（元/台） 95 60 款（元/台） 70 45 为迎接双十一，该商业集团新进了40台A款，60台款调配给甲、乙两个商场，其中70台给甲商场，30台给乙商场． (1)设该集团调配给甲商场A款台，求总利润与的函数表达式； (2)若这100台打印机全部销售出去，如何调配才能让商业集团的利润最大，并求出利润的最大值． 【答案】(1)； (2)甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台，最大利润为7250元． 【分析】本题主要查了二次函数的实际应用： （1）设该集团调配给甲商场A款x台，则调配给乙商场A款台，调配给甲商场B款台，调配给乙商场B款台．根据题意，列出函数关系式，即可求解； （2）根据二次函数的性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：设该集团调配给甲商场A款x台，则调配给乙商场A款台，调配给甲商场B款台，调配给乙商场B款台．根据题意，得 ． 由题意，得， 解得． 所以． （2）解：因为， 所以y随x的增大而增大． 所以当时，y有最大值，最大值为（元）． 所以要使商业集团的利润最大，这100台打印机的调配方案为甲商场A款40台，B款30台，乙商场A款0台，B款30台． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】(1)； (2)此球一定能投中． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 20．（24-25九年级上·广西钦州·期中）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 【答案】[建立模型]；[运用模型]张 【分析】本题考查了二次函数的应用． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张． 21．（24-25九年级上·福建福州·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数解析式为，下列能反映这一变化过程的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，将二次函数化成顶点式并结合实际意义确定函数图象成为解题的关键． 先将关系式化为顶点式确定抛物线的对称轴和最值，再结合实际意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴函数图像是对称轴为，最值为600，开口方向向下的抛物线， ∵时间不可能为负，飞机着陆后滑行就回停止， ∴C选项符合题意． 故选C． 22．（24-25九年级上·全国·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 23．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．有下列结论： ①S与x之间的函数关系式为； ②x的取值范围是； ③的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为． 其中，正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．① 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，，列不等式组，解不等式组即可求出自变量的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求的值，可以判断③． 【详解】解：根据题意得：，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为．则的长为 ， 墙长为，， 解得， 的取值范围为，故②错误； 根据题意得：， 解得，， ， ， 的长有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③错误． 故选：D． 24．（24-25九年级上·全国·期中）如图为抛物线型拱桥的横截面，当水面宽度为米时，拱顶离水面的距离为米，当水面下降米时，水面的宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．根据所建立的直角坐标系可得，设抛物线的解析式为，求出抛物线的解析式为，根据题意可得：当水面下降米时，，求出此时自变量的值，即可求解． 【详解】解：由如可知，以拱桥的顶点为原点，抛物线的对称轴为轴，建立直角坐标系， 水面宽度为米，拱顶离水面的距离为米， ， 设抛物线的解析式为，将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当水面下降米时，， ， 解得：，， 当水面下降米时，水面的宽度为米， 故答案为：． 25．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度h（单位：）与飞行时间（单位：）满足函数解析式，“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求出函数表达式为：，再将其化为顶点式，问题随之得解． 【详解】解：根据题意有： ， 解得：， ∴函数表达式为：， 将化为顶点式为：， 当时，函数有最大值，且为：， 即则“水火箭”升空的最大高度为， 故答案为：． 26．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与实践 如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P距地面的距离）时，水线的跨度． 请你结合所学知识解决下列问题： (1)在图2中建立以为单位长度，点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A与垂直的直线为y轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． (2)若喷水池中心C到A的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内? (3)在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内 (3)王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内 【分析】本题主要考查了抛物线的性质及其在实际问题中的应用，熟练抛物线的解析式、抛物线的对称性和与x轴的交点等性质是解题的关键； （1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出a值，即可得出解析式； （2）表示出水池的半径，在加上水平距离即可； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的x值，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，构造平面直角坐标系如图所示． 由题意可知，，抛物线的顶点， 设抛物线的函数解析式为， 将点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由题可知C为喷水池中心，则为喷水池的半径时，喷出的水都落在水池内， ，， ∴． 答：喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内． （3）解：当时，， 解得， ． 答：王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内． 27．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，本题中由图像得出为中点是解题的关键． 由题意可知，易证，可得，根据二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，列出二次函数解析式即可解题． 【详解】解：若点在上时，如图   ，， ， 在和中，，， ， 由二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，此时， ， 即， ， 当时，代入得到 解得：，（不合题意舍去）， ， ， ∵， 矩形的面积为； 故答案为：． 28．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图是劳动公园一个桥拱的示意图，拱跨m，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得m，，且m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的应用；可设二次函数的表达式为，由题可求，，代入求解，即可求解；理解实际意义，会用待定系数法求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 可设二次函数的表达式为， ， ， ， ， ， 解得：， 二次函数的表达式为． 29．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，抛物线交x轴于和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求出点B的坐标，然后根据图象，直接写出函数值时，自变量x的取值范围； (3)若点P在抛物线上，当时，求点P的坐标； 【答案】(1) (2)，当时， (3)、，或 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的函数表达式； （2）先求出点B的坐标，然后结合图象即可求解； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点P的纵坐标为m，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，， 解得， ∴， ∴当时，； （3）解：∵，， ∴， ． 设点的纵坐标为，则， ， ， ． 当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 解得：，， 点的坐标为或． 综上所述：点的坐标为、，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解含绝对值符号的一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解答本题的关键． 30．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表： 销售单价x（元） 40 60 80 日销售量y（件） 80 60 40 (1)求y与x之间的解析式； (2)若公司销售该商品获得的日利润（日利润=每件利润×日销售量）为w（元），求w与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围，然后求出w的最大值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目． （1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值． 【详解】（1）设解析式为， 将和代入， 可得， 解得：， 所以与的关系式为：； （2）解：由题意得：， ，， ， ， 抛物线开口向下，函数有最大值． 当时，． 答：公司销售该商品获得的最大日利润是2025元． 31．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 【答案】(1)①；②矩形的面积最大为 (2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，面积最大是，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键； （1）①根据题意可直接进行求解；②由①根据二次函数的性质可进行求解； （2）分别计算甲、乙两种方案的面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①∵的长为， 的长为， ； ②∵甲中的长不超过墙长， ， 由可知： ， 时，随的增大而增大， 当时，矩形的面积最大，最大为 ； （2）解：乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下： 乙方案中，设的长为，矩形的面积为， 则， 方案乙中的长大于墙长， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大为， ， 乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是． 32．（24-25九年级上·吉林四平·期中）如图，在正方形中，O为对角线的中点，．动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度和每秒1个单位长度．当点P出发后，过点P作于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积为S． (1)当点P在线段上运动时，用含t的代数式表示的长； (2)当点O在的内部时，求t的取值范围； (3)求S与t之间的函数关系式． 【答案】(1)当时；当时， (2)当点O在的内部时，t的取值范围是，且 (3)当时，；当时， 【分析】（1）首先求出，然后根据题意分和两种情况分别表示即可； （2）首先由（1）可得，当时，点P和点O重合，然后求出当时，点O在线段上，然后当线段经过点O时，利用勾股定理和正方形的性质得到，然后求出此时，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况：和时，然后分别根据正方形的性质，等腰直角三角形的性质和三角形面积公式表示即可． 【详解】（1）解：∵O为对角线的中点， ∴ ∵动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度 ∴当点P在线段上运动时，即时时，； 当点P在线段上运动时，即时时，； （2）解：当点P在线段上运动时， 由（1）可得，当时，点P和点O重合， 当时， ∴此时点P和点C重合，点Q和点B重合，点M和点D重合， ∴此时点O在线段上， 如图所示，当点P在线段上运动时，当线段经过点O时， ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 综上所述，当当点O在的内部时，t的取值范围是，且； （3）解：如图所示，当点P在线段上运动时，即时， ∵四边形是正方形 ∴ ∵，将线段绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴四边形是正方形 ∴ ∴正方形的面积 ∴与重叠部分图形的面积为； 如图所示，当点P在线段上运动时，即时， ∵， 同理可得，，，是等腰直角三角形，四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴正方形的面积 ∴的面积 ∴与重叠部分图形的面积为． 【点睛】此题考查了二次函数和几何动点问题，旋转的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是正确分情况讨论． 33．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线型，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为∶ (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）设拱桥抛物线的函数表达式为：，根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （3）令求得的值，再与3.2比较大小即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：， 相邻两支柱间的距离均为， ， ，两点都在抛物线上， ， ， ． （2）解：由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到或的距离为9米，三辆车并排宽共6米， 因此只需考虑当时，的值与3.2的大小即可判定， 当时，， 不能并排行驶宽、高的三辆汽车． 34．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）小明同学经常运用数学知识对网球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，网球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． (1)本次吊球能否过网？并说明理由； (2)若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，他应该向正前方移动多少米吊球，才能让网球经过点C正上方． 【答案】(1)本次吊球能过网 (2)他应该向正前方移动1米吊球 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、函数平移、二次函数性质，解题的关键是熟悉二次函数的平移． （1）根据二次函数解析式和过点解得，令，解得对应函数的垂直距离，再与比较大小即可求解； （2）向正前方移动米吊球，二次函数关系变为，将点代入，即可求得向正前方移动距离． 【详解】（1）解：将点代入二次函数关系， 则，解得：， 则二次函数关系为， 当时，， ∵球网的高度为， ∴本次吊球能过网； （2）解：设向正前方移动米吊球，则二次函数关系为：， 根据题意过点，则， 解得（舍去）， 故他应该向正前方移动1米吊球． 35．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）某大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面的比例图上，跨度，拱高，线段表示大桥拱内桥长，，如图（1），在比例图上，以直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）． (1)求出图（2）中以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围． (2)如果与的距离，求大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）因为在y轴上，故设抛物线的解析式为，把A点坐标代入解析式求出a即可． （2）因为点、的纵坐标相同，都是，令，解出x的值，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点的坐标为， ∴设抛物线关系式为， ， ∴点坐标为，点坐标为， ∵、在抛物线上 ， 解得， ∴所求抛物线表达式为 ； （2）解：， ∴、、点的纵坐标相等， ， ∴、点的纵坐标都为， 将、点的纵坐标代入抛物线表达式得， 解得或， ∴点的坐标为 ，点的坐标为 ， 则 ， 即， 答：大桥拱内实际桥长约为． ( 34 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$