第八单元 数与形（教学设计）-【大单元教学】六年级数学上册同步备课系列（人教版）

大单元教学设计 基本信息 学科 数学 实施年级 六年级 设计者姓名 井丽娜 设计者单位 呼和浩特市玉泉区小召小学 课程标准模块 综合与实践 单元名称 数与形 单元课时 2课时 一、单元学习主题分析（体现学习主题的育人价值） 主题名称 用数据说话---探究生活中的秘密 课标要求 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“学段目标”的“第三学段”中提出：“初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观的作用”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中，认识数学的价值”。同时提出：“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”。“形”的问题中包含着“数”的规律，“数”的问题也可以用“形”来帮助解决。小学阶段，虽然不要求写出一个数列的通项公式，但可以通过数形结合的方式，利用图形的规律，从不同角度用自己的语言描述出数列的通用表达式，进而达到渗透数形结合、抽象概括等数学思想的教学目的。 内容要求： 在学习过程中引导学生自主探究，在数与形之间建立联系，寻找规律，并会应用所发现的规律。 学业要求： 借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题，使学生初步了解感悟“数形结合”“归纳推理“的思想方法。 教学提示： 充分考虑学生的认知起点，遵循本阶段学生的思维特点和认知规律，为学生提供生动丰富的活动，让学生亲身参与活动过程，引导学生通过思考，得出规律，帮助学生积累基本活动经验。 数学核心素养：运算能力、几何直观、推理意识、应用意识、模型意识。 单元内容分析 单元内容简述 数形结合是一种非常重要的数学思想,把数与形结合起来解决问题,可使复杂的问题变得更简单,使抽象的问题变得更直观。 本单元中,引导学生认识利用数与形的结合,可以解决一些有趣的数学问题。 本单元的教学内容分为两个层次。一是使学生通过数与形的对照,利用图形直观形象的特点表示出数的规律;二是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。 单元结构： 主题学情分析 小学六年级的学生已具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主。学习中，学生对数形结合思想方法有一些感受和认识，特别是对以形助数来分析问题有一定体会，为更准确地定位学生的认知起点，笔者做一个简单的课前检测。下面是笔者对本班50名学生的课前测数据： 题1：用图形表示分数结果：正确率96%。 题2：当题中涉及多个量且数量关系比较复杂时，可以通过_____来分析。分析数据时，在线段图中标出_______量和________量，根据数量关系来列式求解。（请画线段图分析）：完全正确：76% 分析： 1.部分学生认为以形助数是额外的负担。 2.学生基本能读简单的图。 主题概述 主题分析： 单元大主题：数与形 核心素养：运算能力、推理意识、应用意识、模型意识。 单元大概念： 形数 数形结合 极限思想 形数：是一种与图形有关的数，就是指平面上各种规则点阵所对应的数。 数形结合：主要指的是数与形之间的--对应关系。 以形助数 以数解形 极限思想：是近代数学的一种重要思想,极限是研究无穷问题的思想方法。无穷问题一般包括无穷大、无穷小、无穷过程。 “一尺之锤, 日取其半, 万世不竭。 (《庄子·天下篇》) 二、单元学习目标设计（基于标准、教材、情，体现素养导向） 单元学习目标 目标编码 目标描述 110801 学生会用数形结合的方法解决一些数学问题。 110802 在解决问题的过程中培养学生的发现模式、应用模式的能力，提高推理能力。 110803 在解决问题的过程中掌握和体会数形结合、极限等数学思想。 三、单元学习评价设计（多主体评价，指向学习目标的达成） 评价维度 水平划分与描述 预备级 中级 高级 认知领域 学业质量描述 学生会用数形结合的方法解决一些数学问题。 学生会用数形结合的方法解决一些数学问题。在解决问题的过程中培养学生的发现模式、应用模式的能力，提高推理能力。 学生会用数形结合的方法解决一些数学问题。在解决问题的过程中培养学生的发现模式、应用模式的能力，提高推理能力。在解决问题的过程中掌握和体会数形结合、极限等数学思想。 人际领域 沟通与协作 在学习过程中，学生有机会与同学合作解决问题，交流彼此的想法和发现，合作与交流能力是现代学生必备的数学素养之一，通过小组讨论、合作探究等活动可以培养学生的这一能力。 在学习过程中，学生有机会与同学合作解决问题，交流彼此的想法和发现，合作与交流能力是现代学生必备的数学素养之一，通过小组讨论、合作探究等活动可以培养学生的这一能力。 在学习过程中，学生是有机会与同学合作解决问题，交流彼此的想法和发现，合作与交流能力是现代学生必备的数学素养之一，通过小组讨论、合作探究等活动可以培养学生的这一能力。 自我领域 学会学习与 学习心志 学生在学习过程中是否获得了成功的体验，这些积极的情感体验有助于培养学生的自信心和成就感，从而激发他们进一步学习数学的动力。 学生在学习过程中是否获得了成功的体验，这些积极的情感体验有助于培养学生的自信心和成就感，从而激发他们进一步学习数学的动力。 学生在学习过程中是否获得了成功的体验，这些积极的情感体验有助于培养学生的自信心和成就感，从而激发他们进一步学习数学的动力。 四、学习活动/任务设计（指向学习目标，强调学生的活动与体验） 课时 情境线 问题线 知识线 任务线 评价线 第一课时 数形结合 观察图形，通过规律来解决正方形数的问题 用数解决形的问题 用数解决形的问题 任务一：观察特点 任务二：横看 任务三：一层一层看 任务四：斜着看 任务五：继续观察，解决同类问题 水平一：能够得出结论。 水平二：得出结论，并在多种观察中对比发现，解决问题方法路径不同，但结论相同。 第二课时 数形结合 解决 + + + + + + …等于几 用形帮助数的计算问题 用形帮助数的计算问题 任务一：从3个图形中任意选一个，探究算式的和。 任务二：用数形结合解决实际问题。 水平一：得出结果 水平二：得出结论，感受极限思想，通过数形结合解决问题。 五、单元作业设计 单元评价目标 单元评价内容 基础题 1.小思和小维在玩摆图形的游戏。 仔细观察，你能找到图形与数的规律吗？画一画，填一填。 （1）摆棋子。 如果不画，这样排列下去，第9个数是（      ）。 （2）摆正方形。 按规律摆图形，请你根据上面的规律填一填。 2+4+6+8+10=（      ）×（      ） 2+4+6+8+10+12+14+16=（    ）×（     ）  ______________________=10×11  设计意图      数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。此练习就属于这种情况。 2.计算。 有些问题通过画图，解决起来就更直观，我们通过画图来帮助思考吧！ 按照这样的规律，你会计算下面的算式吗？  设计意图   数的规律和算式的规律可以借助形来理解，此题考核学生的观察能力，看学生能否从图形中找到规律列出算式，其次引导学生发现算式的规律、发现算式和的规律。从而让学生更好地体会数与形之间不是独立存在的，而是有非常紧密的联系。 能力提升 3.小维和小朋友们一起去聚餐，每张长方形桌子可坐6人，服务员把桌子拼在一起（如图）。 （1）观察，填写下表。 如果有n张桌子时，能坐（     ）个人。 如果按照上图的拼法，一共有40人就坐，需要（     ）张桌子。 （2）聚餐结束后，小思、小维、苗苗、晶晶、甜甜和乐乐6人进行羽毛球单打比赛，每2人之间都要比赛1场，小思打了5场，小维打了5场，苗苗打了5场，晶晶打了3场，甜甜打了3场，这时乐乐打了几场？分别是和谁打的? 同学们思考的时候，可以用连线的方法试一试，把你的想法在空白处画一画吧。     设计意图 利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是对于小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。此练习结合生活，不仅让学生进一步体会数形结合在学习中处处可见，而且为我们的学习提供帮助，同时深化数形结合思想在生活中的重要性。 拓展题 4.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组神奇的数列：1、1、2、3、5、8、13…在数学上，它被称为“斐波那契数列”，又称“黄金分割数列”。其实，这组神奇的数列中还蕴藏着很多有意思的规律。如，丁丁在计算1²+1²+2²+3²+5²+8²+13²时，想到了用“数形结合”的方法来探索，于是他以这组数列中的各个数作为正方形的边长构造成正方形，再拼成如下图所示的长方形来研究。 （1）观察上面的图形和算式，请你帮丁丁把下面的算式补充完整. （2） 若按此规律继续拼长方形，则序号为（     ）的长方形面积是273。 设计意图       练习巩固不能仅限于知识表面的逻辑结构，要进入知识深层次的理解，并生成一份可供学生学习的材料，并以这份材料作为“生长点”，引导学生对所学知识进行思维整合与拓展。在这个思考过程中，使学生达到对数学知识的主动复习，起到融会贯通的作用。 六、学习效果自评 学习表现 ❀❀❀ ❀❀ ❀ 认知领域 学业质量描述 学生会用数形结合的方法解决一些数学问题。在解决问题的过程中培养学生的发现模式、应用模式的能力，提高推理能力。在解决问题的过程中掌握和体会数形结合、极限等数学思想。 人际领域 沟通与协作 积极参与小组活动，与他人交流互动，且能大胆表达自己的想法，在交流互动中敢于质疑，也能及时进行反思。 自我领域 学会学习与 学习心志 能利用学科知识、思想和方法，细化要解决的问题，有独立思考、合作探究的好习惯，且在解决问题的过程中敢于尝试，质疑、反思，不怕失败。 七、反思性教学改进（实施后填写） 八、课时板书设计 第一课时板书设计如下图 第二课时板书设计如下图 数形结合 + + + + + + …=1 第1课时 数与形 核心素 养 运算能力 数形结合 推理意识 模型思想 课标描述 内容要求： 在学习过程中引导学生自主探究，在数与形之间建立联系，寻找规律，并会应用所发现的规律。 学业要求： 借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题，使学生初步了解感悟“数形结合”“归纳推理“的思想方法。 教学内容分析 等差数列之和与正方形面积关系 学习重点：探究图形中隐藏着的数的规律。 学情分析 学生已经具备了一定的数形结合经验。并用数形结合解决问题。 教学难点：体会数形结合、归纳推理等基本的数学思想。 学习目标确定 1. 自主探究发现图形中隐藏着的数的规律，会应用发现的规律解决数学问题。 2. 在解决数学问题的过程中，体会数形结合、归纳推理等基本的数学思想。 3. 提升数学学习兴趣，增强数形结合解决问题的意识。 教师活动 学生活动 活动意图 学习活动设计 环节一：谈话导入 同学们，提到“数学”，你首先想到的是什么？ 师：按照大家想到的内容分类，一类称为“数”，另一类称为“形”，“数”和“形”是数学学习中两个重要的研究对象。“数”与“形”之间有什么关系呢？通过今天这节课的学习，看看你有没有新的认识。 环节二：自主探究 （一）提出问题 请同学们仔细观察这组图形，你能发现怎样的规律？ 师：谁能看懂这组算式表示的意思？ 师：横着一行一行地看，第一幅图可以看成每行一个，有1行，一共有1×1=1个小正方形；第二幅图，可以看成每行有2个，有2行，一共有2×2=4个小正方形；第三幅图一共有3×3=9个小正方形。 师：同一个算式，观察的角度不同，对算式的理解也就不同。 2. 斜着观察。 有一位同学是这样列式： 1 1＋2＋1 1＋2＋3＋2＋1，老师给点提示： 3. 一层一层观察。 有同学还有不同的列式，他写出来的1，3，5在哪里？ （二）小结 从不同角度观察这组图，都能用数或者算式来表达不同的规律，发现了“形”里面藏着“数”。我们发现的规律还有什么应用价值呢？ 生1：我想到数学的学习离不开数，我们学过很多数，包括整数、小数和分数。 生2：我们还学过很多图形，比如正方形、长方形、平行四边形等。 1.横着观察。 生1：我发现第一幅图有1个小正方形，第二幅图有4个小正方形，第三幅图有9个小正方形。 生2：我发现的小正方形的个数也是1,4,9。但我是这样记录的， 1×1=1， 2×2=4， 3×3=9。 生2：如果每个小正方形的边长是1厘米，第一幅图的面积就是1×1=1（平方厘米），还可以是1的平方；第二幅图的面积就是2×2=4平方厘米，也可以表示为2的平方。第三幅图的面积就是3×3=9平方厘米，也就是3的平方。 生1：我是斜着观察的。我发现的规律是：第一幅图就是1，第二幅图就是1+2+1，第三幅图是1+2+3+2+1。 生2：这组算式都是连续几个自然数从1开始加，像小山一样，然后逐渐减少，再加回到1。把这些算式和刚才的平方数的结果结合起来看，我还发现，这个算式中最大的加数是几，结果就是几的平方。 生1：第一幅图只有1层，就有1个正方形；第二幅图在第一幅图的基础上，多了一层，这一层是3个，所以就是1+3（个）；第三幅图在第二幅图基础上又增加了一层，这一层有5个，所以是1+3+5（个）。 生2：我还发现：图中有几层加数的个数就是几，就是几的平方。 激发探究兴趣 自主探究，探寻规律，培养推理意识。 环节三：灵活应用 （1） 借助刚才找到的规律，你能直接写出结果吗？如果有困难，可以借助画图来帮忙。（1）1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝（ ）² （2）1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝（ ） 1. 解决第（1）个问题。 师：加数的个数和正方形的层数之间真的有这样的规律吗？ 用1+3+5+7+9+11和1+3+5+7+9+11+13+15验证规律确实成立。 师：同学们由数的规律联想到图形，又根据图形特征发现了算式中新的规律，找到了数与形之间的密切联系。 2. 解决第（2）个问题。 小结：同学们特别善于观察和思考，让数和形拉起手，帮助我们解决了这些问题。 （二）请同学们认真观察这一组图，第5幅图最外层有多少个小正方形？ 师：通过这道题再一次让我们看到了形里面藏着数，感受到了数和形之间有着密不可分的联系。 (三)师生共同回忆之前学习中应用的数形结合思想。 1. 解决第（1）个问题。 生：根据前面的经验，这个算式中一共有7个加数，就是7层，所以是边长为7的正方形，和就是7的平方。 生：我提示大家，这个算式还可以看成是从1开始，几个连续奇数相加，和就是几的平方。 生：第二个题目其实也是可以运用规律的，我发现1+3+5+7可以利用规律直接算出结果，4的平方等于16；后面5+3+1运用加法交换律转化为1+3+5，利用规律计算3的平方等于9；再将它们相加，就是25。 生1：我把这幅图中最外层小正方形的个数数出来并排成一行：8、16、24，相邻的两个数相差8，接着算下去，24后面是32、40，所以第5幅图最外层应该有40个小正方形。 生2：我是用算式来表示图形中存在的规律。最外层=整体-内部。整体和内部都是正方形，第一幅图整体的个数是3²，内部是1²，最外层的个数为3²-1²。第二幅图，整体的个数是5²，内部是3²，最外层为5²-3²。依此类推，到第五幅图就是11²-9²=40。 进一步体会数形结合，应用规律解决问题，培养应用意识和模型意识。 梳理知识脉络，数形结合始终伴随着数学的学习以及解决问题中。 环节四：全课总结 师：通过今天的研究，说说你对数形结合有什么新的认识？ 板书设 计 第2课时 数与形 核心素养 运算能力 数形结合 推理意识 模型思想 课标描述 内容要求： 在学习过程中引导学生自主探究，在数与形之间建立联系，寻找规律，并会应用所发现的规律。 学业要求： 借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题，使学生初步了解感悟“数形结合”“归纳推理“的思想方法。 教学内容分析 探究等比数列和 教学重点：感受“形”与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。 学情分析 学生已经具备了一定的数形结合经验。并用数形结合解决问题。 教学难点：在探究过程中积累基本的活动经验，感悟数形结合、归纳推理的数学思想。 学习目标确定 1．引导学生探究数与形之间的关系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。 2．引导学生经历猜想与验证的过程，体会数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。 3．在解决实际问题的过程中，感受数学知识的奥妙，激发学习数学的兴趣。 教师活动 学生活动 活动意图 学习活动设计 一、回顾旧知，结合情景，引入课题。 师：观察算式，它有什么特点？ + + + + + + … 师：算式的和是多少呢？ 同学们可以试着算一算。 “无数个”就是没有尽头的意思。按照这样的规律没有尽头地加下去，很多同学一时想不出答案。当我们用数计算遇到困难时可以借助图形来帮忙。你们想到借助什么图形？有的同学说圆，有的说正方形，还有线段图。请你们从这3个图形中任选一个。按算式的要求一直加下去，看看能不能找到和是多少。 生1：这些分数的分子都是1，分母不同。 后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍。 生2：前一个分数是和它相邻的后一个分数的2倍。 生3：后一个分数是和它相邻的前一个分数的 。 生：通分后把前面的数相加等于，但是后面是省略号，按照这个规律继续加下去，后边还有很多加数，有无数个啊! 观察特点，方便规律地寻找。 感受无限，为极限思想铺垫。 二、自主探究，学习新知。 （一）圆 师：一起来交流，说说你是怎样画的？ 师补充：如果继续往下加，下一个数加在哪里？ 师：如果在空白部分一直不停地加下去，你们发现了什么？ 师：像这样不停的加下去，再想象一下这个圆的样子？ 师：有的同学从图中发现了规律，还有的同学则从算式中、也就是数中发现了规律。我们再来看选择线段图的同学们是怎么研究的。 （二）线段图 展示线段图。 师：再感受一下，这样一直加下去，和应该是多少？ （三）正方形 师：哪位同学选的是正方形，来演示一下不断累加的过程。 师：按这样的规律加下去，这个算式的和是多少？为什么？ 师：有的同学认为等于1；有的同学觉得越来越接近1，但不等于1。我们不着急得到最终的结果，先回顾同学们画图的收获。 （四）总结收获 师：一开始我们对结果没有什么想法，但是通过画图，同学们知道，这个算式的和与谁有关系呢？ 师：无论是觉得等于1，还是觉得和1很接近，我们找到了研究的方向，结果一定与1有关！你们觉得继续画图能解决这个问题吗？ 师：画图虽然很直观，但也有它的局限性，就是一直画下去也不能够精准地表示出结果。当图解决不了问题的时候，我们可以借助数进行推理。既然都说“和”与1有关系，我们就从1开始研究。 课件出示：1= + 师：我们可以把1改写成 + ，然后把第二个 改写成 + ，将第二个再改写成 + ，像这样一层一层地改写下去。 师：按这样的规律继续等分，分得完吗？ 师：如果是无限次、没有尽头，可以怎么表示？ 反过来看这个等式， + + + + + + …等于几？ （五）小结 师：可能有的同学还没有完全理解这个算式为什么等于1，这个问题确实有难度，同学们到了初中、高中时还会继续学习。我们在寻求结果的过程中体会到了数与形之间的关系。你有什么收获呢？ 我国的数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微。我们就带着华老先生的这句名言，利用刚才研究的成果继续解决问题。 生：把这个圆看作“1”先通过平均分，找到了这个圆的1/2，就这样，每一次都把剩下的空白部分的图形平均分成2份，将其中的一份涂上颜色，依次加下去。 生：涂色部分越来越多、空白部分越来越少。 生1：涂色部分越来越接近一个整圆。 生2：算式的和越来越接近1。 生：我觉得和越来越接近1。 生叙述涂色过程。 生1：我觉得应该等于1，因为如果一直这样涂下去，一定能涂满整个图形。 生2：我不同意她的说法，只能说是无限接近1，因为放大后肯定还有空白。 生：和1有关系。 有的同学说“不能”有的说“能” 生：分不完，能无限次地等分。 生：可以用省略号表示。 生：等于1。 感受到了数与形确实有着十分密切的联系，不仅可以互相帮助，在一定条件下还可以互相转化。 将本节课目标以问题形式出示给学生，把目标简化，再做循序渐进的演变。 引导学生自主探索。 通过对比，研究路径不同，但思想一致，结论一致。 多种图示解决虽然烦琐，但这是一种重要的解决问题的策略和方法，自主探讨，并通过观察，发现规律，参与合作交流，归纳总结，获取解决问题的方法，让学生获得一定的情感体验，享受了成功的愉悦。提高了学生分析，推理，概括的能力，发展了学生的推理意识。 此环节是本课的重点，也是本课的难点。 根据具体需要选择合适的统计图，培养数据意识。 三、巩固深化，解决问题。 1．小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？ 活动建议是：请你们先把重要的数据标在括号里，试着连线解决问题。 课堂本解决 旨在巩固对本课核心内容的掌握。 四、课堂总结，拓展延伸。 师：在我们本学期的学习中，在很多地方都运用过数形结合的思想方法，它们一直陪伴着我们。 “数”能更精准地表达事物，“形”能更直观地表达事物。 数形结合是重要的数学思想方法，希望同学们在今后的学习中不断应用它，使之成为大家学习数学、解决问题的有力工具。 板书设 计 数形结合 + + + + + + …=1 学科网（北京）股份有限公司 $$