4.3.3 等比数列的前n项和（第2课时 等比数列前n项和的性质及应用）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高一数学（选修一）第四章 数列 第2课时等比数列前n项和的性质及应用 4.3.3 等比数列的前n项和 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.掌握等比数列前 项和的性质及其应用. 2.能够运用学过的数列知识解决等差数列与等比数列的综合问题. 3.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题. 情景导入 同学们，前面我们就用等差数列的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质. 新知探究 问题1　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示　若等比数列{an}的项数有2n项，则 其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1， 容易发现两个式子中对应项之间存在联系，即 若等比数列{an}的项数有2n＋1项， 则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1， 从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶. 课本例题 例4　为了恢复生态，某地决定从今年开始逐步将6 370万亩耕地退耕还林，计划今年退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积比上一年递增12%，那么经过6年该地区退耕还林的面积共有多少万亩(精确到1万亩)? 解：根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从今年起，每年退耕还林的面积(单位：万亩)组成一个等比数列{an}，其中a1＝515，q＝1＋12%＝1.12，n＝6， 答　经过6年该地区退耕还林的面积共有约4 179万亩. 【题型一】等比数列中连续 项和性质的应用 例1 等比数列 的前 项和为 , , ,则 为( ) A A.28 B.32 C.21 D.28或 [解析] 因为 为等比数列,易知公比 ,所以 , , 也为等比数 列,即7, , 成等比数列,所以 ,解得 或 . 因为 ,所以 .故选A. 8 等比数列前 项和为 （且 ）,则 , , 仍成等比数列,其公比为 （ 或 ， 为奇数）. 概念归纳 【题型二】等比数列中不连续 项和性质的应用 例2 已知等比数列 的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求 此数列的公比和项数. 解 设等比数列 的公比为 ,项数为 . 由已知得 , ,有 ,得 , 所以 , ,所以 . 故此数列的公比为2,项数为8. 10 （1）在等比数列 中,若项数为偶数,则有 ,且 ；若项数为奇数,则 . （2）解题时要注意观察序号之间的联系,发现解题契机,注意应用整体思想. 概念归纳 【题型三】等比数列前 项和公式的实际应用 例3 已知点 ， ， ，连接 的各边中点得到 ，连接 的各边中点得到 ，依此无限继续下去，得到一系列三角形： ， ， ， ，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数 ( ) C A. B.5 C.10 D.15 12 [解析] 由题意可知， .因为 ，所以 ， 则 ，所以 ， ， ， 这一系列三角形的 面积构成了首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，可 知该式无限趋近于10.故选C. 13 （1）解应用问题的核心是建立数学模型. （2）一般步骤:审题，抓住数量关系，建立数学模型. （3）注意问题是求什么 . 概念归纳 课堂练习 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于 A.3∶4 　　　 B.2∶3　　　 C.1∶2 　　　 D.1∶3 解析： 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝　 ，得S15∶S5＝3∶4. 2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为______. 解析： 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}是公比为2的等比数列， 3 分层练习-基础 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 011，偶数项之和为2 022，则这个数列的公比为 A.8 　　　 B.－2 　　　C.4 　　　 D.2 答案：D 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于（ ） 解： 易知q≠－1， 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6， 且S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1， 答案：A 3.某工厂去年产值为a，计划今后5年每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为（ ） A.1.14a B.11a(1.15－1) C.1.15a D.10a(1.16－1) 解析： 从今年起到第5年，这个厂的总产值为 a×1.1＋a×1.12＋a×1.13＋a×1.14＋a×1.15 答案：B 4.某住宅小区计划至少植树100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于______. 解： 每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列， 由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102. 由于26＝64,27＝128， 则n＋1≥7，即n≥6.故至少需要6天. 答案：6 5.设等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，则数列{an}的公比为______. 解： 易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)， 故q3＝27，则q＝3. 答案：3 6.一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数. 解： 方法一　设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N*). 由已知得a1＝1，q≠1， ① ② 由②÷①，得q＝2， 方法二　∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q， ∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，项数n＝8. 分层练习-拓展 7.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y).若a1＝ ，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和 Sn＝________. 解析： 令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)， 证明：方法一　设此等比数列的公比为q，首项为a1， 当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1， 方法二　根据等比数列的性质有 S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)， S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn， 课堂小结 (1)等比数列奇数项和、偶数项和的性质. (2)等比数列中的片段和性质. (3)等比数列前n项和的实际应用. 2.方法归纳：公式法、分类讨论. 3.常见误区：应用等比数列片段和性质时易忽略其成立的条件. S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 则S6＝≈4 179(万亩). ∴S7＝＝381，解得a1＝3. 解： 由＝q，可知q＝2. A. B.－ C. D. 即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝. ＝a×＝11a(1.15－1). 其前n项和Sn＝＝＝2n＋1－2. 则 ∴＝85，即4n＝256，∴n＝4.故公比为2，项数为8. ∴q＝＝＝2. 又Sn＝85＋170＝255，由Sn＝，得＝255， 1－ 又an＝f(n)，∴＝＝f(1)＝a1＝， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn＝＝1－. 当q≠1时，Sn＝(1－qn)，S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)， ∴S＋S＝2[(1－qn)2＋(1－q2n)2]＝2(1－qn)2(2＋2qn＋q2n). 8.已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n). ∴S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a， Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a， ∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n). 又Sn(S2n＋S3n)＝2(1－qn)(2－q2n－q3n) ＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)， ∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n). $$