专题02 等式与不等式（真题速递）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

专题02 等式与不等式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海青浦·一模）已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）. A． B． C． D． 3．（2024·上海金山·一模）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海松江·一模）已知，以下四个数中最大的是（    ） A．b B． C． D． 5．（2024·上海杨浦·一模）已知实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 二、填空题 6．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 7．（2024·上海杨浦·一模）不等式的解集为 . 8．（2024·上海崇明·一模）不等式的解为 ． 9．（2024·上海静安·一模）若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则 . 10．（2024·上海徐汇·一模）不等式的解集为 . 11．（2024·上海静安·一模）不等式的解集为 . 12．（2024·上海嘉定·一模）函数的定义域为 . 13．（2024·上海奉贤·一模）已知，则不等式的解集为 ． 14．（2024·上海青浦·一模）不等式的解集为 ． 15．（2024·上海崇明·一模）已知为正实数，且满足，则的最大值是 ． 16．（2024·上海长宁·一模）设全集为，集合，则 ． 17．（2024·上海金山·一模）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 三、解答题 18．（2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等式与不等式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质举反例可得ABD错误；作差由完全平方可得C正确； 【详解】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，令，满足，但，故B错误； 对于C，因为实数、满足，所以，故C正确； 对于D，令，满足，但，故D错误； 故选：C. 2．（2024·上海青浦·一模）已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，以及对数函数的性质、幂函数的性质、正弦函数的图象性质求解. 【详解】对A，取，则，A错误； 对B，取，则，即，B错误； 对C，取，满足，但，C错误； 对D，因为幂函数在定义域上单调递增，且，所以，D正确； 故选：D. 3．（2024·上海金山·一模）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式进行判断即可． 【详解】由得， 是的必要不充分条件， ， 故选：B． 4．（2024·上海松江·一模）已知，以下四个数中最大的是（    ） A．b B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得，而、都是正数，故只需让它们的平方作差与0比较大小即可. 【详解】由题意，所以， 由基本不等式可得，同时注意到，所以， ， 而、都是正数，所以. 故选：D. 5．（2024·上海杨浦·一模）已知实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】根据分式不等式化简可得或，即可根据集合间的关系求解. 【详解】由得，解得或， 由于或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 二、填空题 6．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 7．（2024·上海杨浦·一模）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】首先将分式不等式转化为二次不等式，利用一元二次不等式的解法，求得其解集即可. 【详解】分式不等式可以转化为，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 8．（2024·上海崇明·一模）不等式的解为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式后可求原不等式的解. 【详解】不等式的解即为， 故原不等式的解为， 故答案为： 9．（2024·上海静安·一模）若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则 . 【答案】（答案不唯一，可以为或其它字母表示的表达式） 【分析】根据给定的信息，取正数，作差变形推导即可得解. 【详解】取正数，则，当且仅当时取等号， 因此，即， 于是“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”. 显然，取. 故答案为： 10．（2024·上海徐汇·一模）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】通过因式分解利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式化为，解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 11．（2024·上海静安·一模）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将不等式转化成一元二次不等式求解即可. 【详解】由不等式，得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 12．（2024·上海嘉定·一模）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13．（2024·上海奉贤·一模）已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的判别式的符号，判断不等式恒成立. 【详解】因为，所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（2024·上海青浦·一模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】化不等式一边为0，再转化成一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 15．（2024·上海崇明·一模）已知为正实数，且满足，则的最大值是 ． 【答案】100 【分析】利用基本不等式的变形，得到，即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最大值为. 故答案为： 16．（2024·上海长宁·一模）设全集为，集合，则 ． 【答案】 【分析】先解一元二次不等式再根据补集定义计算即可. 【详解】由， 则． 故答案为：. 17．（2024·上海金山·一模）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【答案】 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 三、解答题 18．（2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)严格单调增区间为 和 ,严格单调减区间为 和 . (2) 【分析】（1）直接求导，令导函数大于0和小于0即可； （2）转化为，解出即可. 【详解】（1）， 令，解得或者， 令，解得或， 所以，该函数的严格单调增区间为和，严格单调减区间为和. （2），即， ，即，利用穿根法解得. 所以解集为. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$