专题03 函数（真题速递，40题）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

专题03 函数（真题速递，40题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2024·上海宝山·一模）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以不存在零点，故A错误； 对于B：令 没有实数解，所以不存在零点，故B错误； 对于C：令，所以零点为1，又因为， 所以在为增函数，故C正确； 对于D：在单调递增，在单调递减，故D错误. 故选：C. 2．（2024·上海崇明·一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义及基本函数的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为R，且，所以为奇函数， 又是严格增函数，正确； 对于B，的定义域为R，且，所以不为奇函数，错误； 对于C，的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，是严格增函数，错误； 对于D，的定义域为R，且，所以为奇函数， 但为周期函数，不是定义域R上的严格增函数，错误. 故选：A 3．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】利用正弦的和角公式及辅助角公式结合三角函数的图象与性质计算即可. 【详解】由可得， 即，其中， 所以原方程化为，即， 不妨令，因为，所以， 易知时，成立，即满足题意； 又的周期为，且， 所以在区间上还有一个根，如图所示， 故选：C 4．（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为， 根据题意可得，即，解得. 因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时. 故选：B. 5．（24-25高三上·上海松江·期末）设函数与均是定义在上的函数，有以下两个命题：①若是周期函数，且是上的减函数，则函数必为常值函数；②若对任意的a，，有成立，且是上的增函数，则是上的增函数．则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】A 【分析】用反证法判断命题①，用反例判断命题②． 【详解】①若是周期函数，设是它的正周期，即， 假设函数不是常值函数，设，且，又恒成立，因此， 取，其中是不大于的最大整数，则， 而， 所以，这是是减函数矛盾，所以不成立， 所以，即是常值函数，①是真命题； ②取，，则对任意的，，，满足， 但是减函数，②是假命题． 故选：A． 6．（2024·上海青浦·一模）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（    ）. A．有4 个零点，其中只有一个零点在区间上 B．有4 个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C．有5 个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间 上 D．有5 个零点，都不在上 【答案】D 【分析】根据题意，由函数零点的定义可判断时，函数有两个零点，然后结合函数奇偶性的性质，即可得到时的零点，从而得到结果. 【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，故，即0是函数的一个零点； 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增，且， 即此时函数在和内各有一个零点，在上无零点， 又函数是定义在R上的奇函数， 故函数在和也内各有一个零点， 综合上述可知函数有5 个零点，都不在上 故选：D 7．（2024·上海杨浦·一模）小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法可以比较两人淋雨量判断①，结合函数的单调性可判断②③. 【详解】①若两人结伴迎风行走，设体型较高大魁梧的人身高为，宽度为，厚度为，另一人身高为，宽度为，厚度为， 则， 又，，， 则，， 即， 即体型较高大魁梧的人淋雨是较大，①正确； ②若某人迎风行走，则， 则随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小； 若某人逆风行走，则， 当时，随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小， 当时，，随的增大而减小，即走得越慢淋雨量越小， 当时，淋雨量与无关，②错误； ③若某人迎风行走了秒，则为定值，且 ， 则， 所以随的增大而增大，即行走距离越长淋雨量越大，③正确； 综上所述合理的解释有个， 故选：C. 8．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，取的值域为，得到，，满足要求，①正确；对于②，取是增函数，，先让的值域包含，根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造，的值域有，……，依次类推，得到答案. 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 满足和是有限集， 从而和是-互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 二、填空题 9．（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 【答案】 【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可判断的取值. 【详解】因为图像关于轴对称，所以函数是偶函数； 又因为图像与坐标轴无交点，所以指数为负数.综上所述，. 故答案为：. 10．（24-25高三上·上海松江·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：． 11．（2024·上海徐汇·一模）已知函数，其中，则 . 【答案】0 【分析】根据分段函数解析式求函数值. 【详解】由解析式知. 故答案为：0 12．（24-25高三上·上海金山·期末）已知函数的表达式为则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据给定分段函数解析式，求函数值即可. 【详解】由题设. 故答案为：2 13．（2024·上海杨浦·一模）已知函数是偶函数，则实数的值为 . 【答案】0 【分析】根据偶函数的性质即可求解. 【详解】由题意可知， 由于为偶函数，故，即，即， 故， 故答案为：0 14．（24-25高三上·上海松江·期末）交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成．黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．根据路况不同，道路的限定速度一般在30千米/小时至70千米/小时之间．由相关数据，驾驶员反应距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：；刹车距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：，反应距离与刹车距离之和称为停车距离．已知某个十字路口宽度为30米，为保证通行安全，黄灯亮的时间是允许限速车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，则该路口黄灯亮的时间最多为 秒（结果精确到0.01秒）． 【答案】 【分析】依题意求出反应距离，刹车距离，即可得到路程，再根据速度、路程、时间的关系计算可得； 【详解】解：依题意当小汽车最大限速（约）时， 反应距离，刹车距离， 所以停车距离为， 又路口宽度为，所以， 所以时间； 故答案为： 15．（2024·上海虹口·一模）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】由对数函数的定义可得，解不等式即可得出答案. 【详解】函数的定义域是， 所以，解得：或. 所以函数的定义域为：. 故答案为：. 16．（2024·上海虹口·一模）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ． 【答案】 【分析】令，求得恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案. 【详解】令，可得恒成立， 所以函数的图象恒过定点. 故答案为：. 17．（2024·上海静安·一模）已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为 . 【答案】100000 【分析】令，根据给定信息列出不等式，求出的范围即可得解. 【详解】设，依题意，，， 由，得，解得，因此， 则，，所以的最小值为100000. 故答案为：100000 18．（24-25高三上·上海黄浦·期末）若正数x、y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，再结合二次函数的性质求解即可； 【详解】因为正数x、y满足，所以， 所以， 所以当时，最大值为， 故答案为：. 19．（24-25高三上·上海黄浦·期末）若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先求出分段函数的解析式，再求不等式的解集. 【详解】时，， 时，， ， ∴ 由得，，①或② 不等式组①无解； 不等式组②的解集为 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 20．（24-25高三上·上海松江·期末）已知函数的表达式为，则满足的实数m的最大值为 ． 【答案】 【分析】结合偶函数定义可得为偶函数，再利用指数函数对称性解出不等式即可得. 【详解】当时，有，又定义域为，故为偶函数， 又当时，单调递增，故对有， 即，即有，解得， 故m的最大值为. 故答案为：. 21．（2024·上海奉贤·一模）设若，则 ． 【答案】1 【分析】根据分段函数，分和求解即可. 【详解】当时，，解得：，满足； 当时，，方程无解， 所以， 故答案为：1 22．（2024·上海虹口·一模）已知，则的解集是 ． 【答案】 【分析】首先求出当时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 设，则，所以， 所以， 不等式，即或，解得或， 综上可得的解集. 故答案为： 23．（2024·上海徐汇·一模）设.若函数是定义在上的奇函数，则 . 【答案】1 【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称，且满足，即可求出结果. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可知， 再由， 所以， 故答案为：1. 24．（2024·上海宝山·一模）已知为实数，且函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性与二次函数的对称性即可得的值，从而得所求. 【详解】因为函数是偶函数， 所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称， 所以，且， 所以. 故答案为：. 25．（2024·上海崇明·一模）已知，关于的方程的解 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的形式分段求解即可. 【详解】等价于或， 故， 故答案为： 26．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意分和两种情况，结合指数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为， 若，则，即，解得； 若，则，解得； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 27．（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得，孤立参数根据对勾函数的性质确定函数单调性从而得最小值即可得实数的取值范围. 【详解】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程整体报价为， 若乙队要确保竞标成功则， 所以，则， 因为，所以函数， 当且仅当时，即时，函数有最小值， 所以函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 28．（2024·上海宝山·一模）若，且，则 . 【答案】 【分析】利用换底公式可得，根据题目条件结合对数的运算性质可得结果. 【详解】∵，∴， ∵， ∴， ∴， ∵，∴. 故答案为：6. 29．（2024·上海杨浦·一模）已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知有两根，通过方程求解即可. 【详解】由题意可知：有两根，结合在和都是单调递增， 所以有一解，解得：， 有一解，解得：， 所以， 故答案为：. 30．（2024·上海青浦·一模）若函数 在区间上严格递增，则实数取值范围是 【答案】 【分析】由复合函数的单调性，函数在区间上严格递减，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，求出在区间上的范围结合可得答案. 【详解】令，则， 函数在区间上严格递增， 由函数在区间上严格递减， 则在区间上严格递减，且， 则由在区间上恒成立，得在区间上恒成立， 因为时，，所以. 且由，得， 则实数取值范围是. 故答案为：. 31．（2024·上海静安·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 【答案】 【分析】由偶函数的性质可得出，令，，利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值. 【详解】因为二次函数为偶函数， 则该函数的对称轴为直线，可得， 令，， 则， 因此，该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为. 故答案为：. 32．（2024·上海青浦·一模）已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数 最多有 个. 【答案】14 【分析】由函数的概念及分类加法计数原理、组合数计算得解. 【详解】由函数定义，转化为给安排对应的自变量，每一种对应方式，即为一个函数， 给取3个自变量，则对应1个自变量，有种， 给取2个自变量，则对应2个自变量，有种， 给取1个自变量，则对应3个自变量，有种， 所以由分类加法计数原理知，共有种不同的对应方式， 故答案为：14 33．（2024·上海徐汇·一模）已知定义域为的函数的值域也是，所有这样的函数形成全集.设非空集合且中的每一个函数都是中的两个函数（可以相同）的复合函数，则集合的元素个数的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据题意可得集合有6个不同的元素，且非空集合，且，对分类讨论可求得集合的元素个数的最小值. 【详解】因为定义域为的函数的值域也是， 所以这样的不同的函数有个，所以集合有6个不同的元素， 又非空集合，且， 又中的每一个函数都是中的两个函数（可以相同）的复合函数， 若中只有1个函数，则中有5个函数， 又中函数与自身的复合函数只能表示一个函数，故不能得到中5个函数，不符合题意， 若中只有2个函数，则中有4个函数， 若中2个函数的复合函数有，如果这4个函数是中4个函数时，符合题意，此时只需验证即可. 6个不同函数为，， ，， ，， 若，此时， ，， ，， 所以集合的元素个数的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：利用已知先确定集合有6个不同的元素，按照中函数是中函数的复合函数，找到两集合元素的关系，验证即可. 34．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围. 【详解】设， 则在单调递增，又， 所以，即，故. 则. 由题意是的充分条件，则， 所以有，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 35．（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据最小正周期及三角函数的性质、不等式恒成立有，即可求参数值； （2）应用三角恒等变换有，令求解，结合即可求结果. 【详解】（1）， 由的最小正周期为，知， ， ∴. （2）由（1）可得：， ， 或，即或，， 又，则不妨令，故. 36．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【详解】（1）由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； （2）， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 37．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解； （2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有： 1．构造对称函数； 2．比值换元； 3．对数平均不等式. 38．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据指数函数性质和型函数的定义即可证明； （2）取值，则，再结合型函数的定义即可证明； （3）放缩得，再不断放缩有，结合等比数列的求和公式即可. 【详解】（1）记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数. （2）设，且，则. 因此 ， 可知在上为增函数. （3）因为， 所以 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用型函数的性质放缩得，最后再不断放缩，结合等比数列求和公式即可. 39．（2024·上海崇明·一模）定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”. (1)已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值； (2)设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值； (3)定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在点满足条件，理由见解析 【分析】（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，再根据圆心到切线的距离为半径可求的值； （2）设出公切点，则可得关于切点横坐标与的方程组，解方程组可求得的值； （3）假设存在满足题意，则根据“一线切”可得且，化简整理后得到，从而得到矛盾. 【详解】（1），所以曲线在点处的切线方程为， 即， 因为圆与曲线在点处“一线切”， 所以直线与圆在点处相切， 所以，所以. （2）设，， 由题意，，所以， 解得. （3）假设存在满足题意， 则有，对函数求导得：， 于是，即， 平方得， 即有，因此， 整理得，而恒有成立， 则有，从而，显然， 于是，即与恒成立矛盾， 所以假设不成立，即不存在点满足条件 【点睛】思路点睛：新定义中的“一线切”问题，本质上就是不同曲线的共切点的切线问题，其解决问题的方法是构建关切切点横坐标的方程或方程组. 40．（2024·上海宝山·一模）已知都是定义在实数集上的可导函数. 对于正整数，当分别是和的驻点时，记，若，则称和满足性质；当，且时，记，若，则称和满足性质. (1)若，，判断和是否满足性质，并说明理由； (2)若，，且和满足性质，求实数的取值范围； (3)若的最小正周期为4，且，.当时，的驻点与其两侧区间的部分数据如下表所示： 1 3 0 0 0 极小值 极大值1 极小值 已知和满足性质，请写出的充要条件，并说明理由. 【答案】(1)和是满足性质，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题意将，代入，验证即可； （2）根据题意找到的驻点，代入，满足即可； （3）利用必要性可得，只需要去证充分性即可. 【详解】（1）.       所以和是满足性质. （2）由可知，驻点，                     又， 当时，不存在驻点； 当时，的驻点，                      由题意可知，                               解得， （3）的充要条件是.                       首先证明必要性： 当时，由题意可知不是常函数，所以， 因为和满足性质，所以，所以， 又是正整数，故.                        其次证明充分性： 由题意可知，，，且， ①  当（）时，可知. 否则，若存在（），有， 因为，所以与已知矛盾. 同理，，                           故， 所以，即. 同理，，得， 所以.                             ②当（）时，， 任意，有，又由①可知，. 若存在有，则， 所以. 由已知，其中， 于是有，矛盾，所以. 所以， 得， 因为，所以，从而，即. ③当（）时，， 任意，有，同理可得， 所以， 得， 因为，所以，从而，即. 综上， . （3）另解：（反证法） 由题意可知，，，且. ② 任意时，可知. 否则，若存在，使， 因为，所以与已知矛盾. 同理，.                          ②先证任意时，有. 反证，若存在，使. 若时， 则与已知矛盾. 若时， 则与已知矛盾. 由于，， 可得，任意时，有.                 ③下证任意时，有. 反证，若存在，使. 由于，可得存在满足. 则与已知矛盾. 综上，. 【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用，（1）（2）问关键是理解函数的性质和性质，即可解出， 第（3）问利用必要性先得出的值，然后再将进行充分性证明，可以分类讨论，也可以利用反证法证出． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数（真题速递，40题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2024·上海宝山·一模）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海崇明·一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 4．（2024·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 5．（24-25高三上·上海松江·期末）设函数与均是定义在上的函数，有以下两个命题：①若是周期函数，且是上的减函数，则函数必为常值函数；②若对任意的a，，有成立，且是上的增函数，则是上的增函数．则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 6．（2024·上海青浦·一模）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（    ）. A．有4 个零点，其中只有一个零点在区间上 B．有4 个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C．有5 个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间 上 D．有5 个零点，都不在上 7．（2024·上海杨浦·一模）小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 二、填空题 9．（2024·上海长宁·一模）已知函数的大致图像如图所示，则 ． 10．（24-25高三上·上海松江·期末）函数的定义域是 ． 11．（2024·上海徐汇·一模）已知函数，其中，则 . 12．（24-25高三上·上海金山·期末）已知函数的表达式为则的值为 ． 13．（2024·上海杨浦·一模）已知函数是偶函数，则实数的值为 . 14．（24-25高三上·上海松江·期末）交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成．黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．根据路况不同，道路的限定速度一般在30千米/小时至70千米/小时之间．由相关数据，驾驶员反应距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：；刹车距离（单位：米）关于车速v（单位：米/秒）的函数模型为：，反应距离与刹车距离之和称为停车距离．已知某个十字路口宽度为30米，为保证通行安全，黄灯亮的时间是允许限速车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，则该路口黄灯亮的时间最多为 秒（结果精确到0.01秒）． 15．（2024·上海虹口·一模）函数的定义域是 ． 16．（2024·上海虹口·一模）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ． 17．（2024·上海静安·一模）已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为 . 18．（24-25高三上·上海黄浦·期末）若正数x、y满足，则的最大值为 ． 19．（24-25高三上·上海黄浦·期末）若，则不等式的解集为 ． 20．（24-25高三上·上海松江·期末）已知函数的表达式为，则满足的实数m的最大值为 ． 21．（2024·上海奉贤·一模）设若，则 ． 22．（2024·上海虹口·一模）已知，则的解集是 ． 23．（2024·上海徐汇·一模）设.若函数是定义在上的奇函数，则 . 24．（2024·上海宝山·一模）已知为实数，且函数是偶函数，则 . 25．（2024·上海崇明·一模）已知，关于的方程的解 ． 26．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，则不等式的解集为 ． 27．（2024·上海宝山·一模）某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 28．（2024·上海宝山·一模）若，且，则 . 29．（2024·上海杨浦·一模）已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为 . 30．（2024·上海青浦·一模）若函数 在区间上严格递增，则实数取值范围是 31．（2024·上海静安·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 32．（2024·上海青浦·一模）已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数 最多有 个. 33．（2024·上海徐汇·一模）已知定义域为的函数的值域也是，所有这样的函数形成全集.设非空集合且中的每一个函数都是中的两个函数（可以相同）的复合函数，则集合的元素个数的最小值为 . 34．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ． 三、解答题 35．（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 36．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 37．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 38．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 39．（2024·上海崇明·一模）定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”. (1)已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值； (2)设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值； (3)定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 40．（2024·上海宝山·一模）已知都是定义在实数集上的可导函数. 对于正整数，当分别是和的驻点时，记，若，则称和满足性质；当，且时，记，若，则称和满足性质. (1)若，，判断和是否满足性质，并说明理由； (2)若，，且和满足性质，求实数的取值范围； (3)若的最小正周期为4，且，.当时，的驻点与其两侧区间的部分数据如下表所示： 1 3 0 0 0 极小值 极大值1 极小值 已知和满足性质，请写出的充要条件，并说明理由. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$