专题04 导数及其应用（真题速递，22题）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

专题04 导数及其应用（真题速递，22题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2024·上海徐汇·一模）已知函数与它的导函数的定义域均为.若函数是偶函数且在上是严格增函数，则下列各表中，可能成为取值的是（    ） A． 1 2.8188 2 1.0000 3 0.3644 4 0.2468 B． 1 0.7580 2 1.0000 3 1.3188 4 1.7979 C． 1 2.4132 2 1.0000 3 1.5885 4 4.1116 D． 1 0.8664 2 1.0000 3 1.1188 4 1.2240 2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（    ） A．数列与均是严格增数列 B．数列与均是严格减数列 C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列 二、填空题 3．（2024·上海静安·一模）已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为 . 4．（2024·上海嘉定·一模）已知，则的解集为 . 5．（2024·上海虹口·一模）2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t的式子表示） 6．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 7．（2024·上海徐汇·一模）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 三、解答题 8．（2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 9．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 10．（2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 11．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 12．（2024·上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 13．（2024·上海虹口·一模）设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． (1)判断是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； (3)设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 14．（2024·上海嘉定·一模）设为非空集合，函数的定义域为.若存在使得对任意的均有，则称为函数的一个值，为相应的值点. (1)若.证明：是函数的一个值点，并写出相应的值； (2)若.分别判断函数是否存在值？若存在，求出相应的值点；若不存在，说明理由； (3)若，且函数存在值，求函数的值，并指出相应的值点. 0 ↗ 极大值 ↘ 15．（2024·上海青浦·一模）已知函数，其中 . (1)求函数的单调区间； (2)设函数，问:函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线 的斜率等于 在点 处的切线的斜率? 若存在，求出所有满足条件的点的坐标; 若不存在，说明理由; (3)证明: 函数 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方 16．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 17．（2024·上海崇明·一模）定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”. (1)已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值； (2)设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值； (3)定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 18．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 19．（2024·上海徐汇·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，若点在导函数图象上，且满足，则称为函数的一个“类数”，函数的所有“类数”构成的集合称为“类集”. (1)若，分别判断和是否为函数的“类数”，并说明理由； (2)设的图象在上连续不断，集合.记函数的“类集”为集合，若，求证：； (3)已知，若函数的“类集”为时的取值构成集合，求当时的最大值. 20．（2024·上海长宁·一模）双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若函数在上的最小值是，求实数a的值； (3)对任意恒成立，求实数m的取值范围． 21．（2024·上海杨浦·一模）已知是定义域为的函数，实数，称函数为函数的“-生成函数”，记作. (1)若，求函数的值域； (2)若，函数满足对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若满足：①；②在上存在导函数，且在上是严格增函数；③对于任意的“-生成函数”的图像是一段连续曲线，求证：函数在上是严格增函数. 22．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 导数及其应用（真题速递，22题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2024·上海徐汇·一模）已知函数与它的导函数的定义域均为.若函数是偶函数且在上是严格增函数，则下列各表中，可能成为取值的是（    ） A． 1 2.8188 2 1.0000 3 0.3644 4 0.2468 B． 1 0.7580 2 1.0000 3 1.3188 4 1.7979 C． 1 2.4132 2 1.0000 3 1.5885 4 4.1116 D． 1 0.8664 2 1.0000 3 1.1188 4 1.2240 【答案】B 【分析】利用导函数的奇偶性和单调性以及正负取值，去分析原函数，即可得到判断. 【详解】函数是偶函数，则，两边求导得：， 所以可知导函数是奇函数， 由于函数与它的导函数的定义域均为， 所以，又因为在上是严格增函数， 所以在上是严格增函数， 由于是可导函数，所以它的图象是连续曲线，示意图如下： 则在上恒为正数且递增， 即在上单调递增，且变化率越来越大， 故AC显然错误，而D的变化率越来越小，所以只能选B， 故选：B. 2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设函数在区间I上有导函数，且在区间I上恒成立，对任意的，有．对于各项均不相同的数列，，，下列结论正确的是（    ） A．数列与均是严格增数列 B．数列与均是严格减数列 C．数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列 D．数列与均既不是严格增数列也不是严格减数列 【答案】C 【分析】由条件易知函数在I上严格递减，构造，因数列的各项均不相同，由的大小比较，利用函数单调性可得的大小关系，即得结论. 【详解】依题意，因在区间I上恒成立，则函数在I上严格递减， 由，，因数列的各项均不相同，且， 若，则，即，即此时数列严格递增，数列严格递减； 若，则，即，即此时数列严格递减，数列严格递增. 综上所述，数列与中的一个是严格增数列，另一个是严格减数列. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用函数单调性判断数列的单调性的应用，属于难题. 解题思路在于根据选项信息，考虑数列中连续偶数项的差，通过对应的连续奇数项的大小比较，借助于函数单调性得出偶数项的大小关系. 二、填空题 3．（2024·上海静安·一模）已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为 . 【答案】2 【分析】由瞬时速度的意义，求出函数在时的导数值即可. 【详解】函数，求导得，则， 所以所求瞬时速度为2. 故答案为：2 4．（2024·上海嘉定·一模）已知，则的解集为 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质，分情况整理不等式，当时，整理不等式，构造函数，利用导数研究新函数的单调性，当时，利用中间值法，可得答案. 【详解】当时，可得，整理可得， 令，令，求导可得， 所以函数在单调递减，令，解得，则， 此时不等式的解集为； 当时，可得，由，则， 易知，此时不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 5．（2024·上海虹口·一模）2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t的式子表示） 【答案】 【分析】先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反应时间为t，即可求出拍照时飞船的瞬时速度. 【详解】设第二次拍照飞船的实际上升了， 所以，解得：， 所以拍照时飞船的瞬时速度为：. 故答案为：. 6．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据零点个数和极小值点的个数可得关于的不等式，故可求其取值范围. 【详解】当时，， 因为函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点， 所以，故， 故答案为： 7．（2024·上海徐汇·一模）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 8．（2024·上海静安·一模）设函数. (1)求函数的单调区间； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)严格单调增区间为 和 ,严格单调减区间为 和 . (2) 【分析】（1）直接求导，令导函数大于0和小于0即可； （2）转化为，解出即可. 【详解】（1）， 令，解得或者， 令，解得或， 所以，该函数的严格单调增区间为和，严格单调减区间为和. （2），即， ，即，利用穿根法解得. 所以解集为. 9．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 【答案】(1)； (2)7或15. 【分析】（1）把代入，求出时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域. （2）由已知可得，再利用给定区间及极值情况求出范围即可得解. 【详解】（1）当时，，由，得， 则，， 所以函数的值域是. （2）由，得，解得， 当时，而，则， 又函数在内有极小值，无极大值，则， 解得，于是或 ，解得或， 当时，，又，无解； 当时，，又，则； 当时，，又，则； 当时，，又，无解， 所以的值是7或15. 10．（2024·上海奉贤·一模）已知函数，其中（常数且）． (1)若函数的图象过点，求关于的不等式的解集； (2)若存在，使得数列是等比数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）点代入函数解析式求出，再解指数不等式可得答案； （2）根据数列是等比数列可得，令，利用导数判断出在上的单调性，求出的值域可得答案. 【详解】（1）若函数的图象过点，则， 解得，舍去，所以， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）， 若存在，使得数列是等比数列， 则，可得， 由可得， 令，， 当时，，所以， 可得在上单调递减，所以， 则实数的取值范围. 11．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解； （2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有： 1．构造对称函数； 2．比值换元； 3．对数平均不等式. 12．（2024·上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 【答案】(1)偶函数，一条点切线方程为 (2)没有，理由见解析 (3)证明见解析，切线方程为和 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出函数的奇偶性，数形结合可得出该函数的一条点切线方程； （2）求出，分析函数的单调性，即可得出结论； （3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，利用这三条切线重合可得出，然后对、、的关系进行讨论，即可求出对应的切线方程. 【详解】（1）令，其中，则， 所以，函数为偶函数，且，如下图所示： 由图可知，函数的一条点切线方程为. （2）因为，该函数的定义域为，且， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因此，不可能存在、且，使得， 因此，函数不具有点性质. （3）取点、、， 因为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即， 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为， 由题意可知，这三条切线重合， 则， 由上得，则，，， （i）若，，， 则，所以，， 因为，则（舍去）； （ii）若，，中至少有一个成立， 不妨设，则， 若，则（舍去），所以，， 故或. 综上所述，点切线方程为和. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题考查点切线的新定义，解题的关键就是利用切线重合得出，通过分析、、之间的关系来求解. 13．（2024·上海虹口·一模）设．若函数满足恒成立，则称函数具有性质． (1)判断是否具有性质，并说明理由； (2)设，若函数具有性质，求实数a的取值范围； (3)设函数的定义域为R，且对任意以及，都有．若当时，恒有．求证：函数对任意实数a均具有性质． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先判断为偶函数，再判断出时，即可； （2）求导得，得到其单调性，再对分和以及讨论即可； （3）根据定义知，再利用反证法即可证明. 【详解】（1）记， 显然，则其是偶函数. 当时，，故， 所以对恒成立，具有性质. （2）， 当时严格单调递增， 当时严格单调递减. 若，则，函数在上严格单调递增，恒成立， 此时函数具有性质. 若，则函数在上严格单调递减， ， 故函数不具有性质. 若，则函数在上严格单调递增， “对恒成立”等价于“对恒成立”， 而在上严格单调递减，在上严格单调递增， 故，即， 即. 综上，的取值范围是. （3）对任意及， 都有， 即对任意都有. 假设存在使得不具有性质， 则存在使得. 若，则. 当时，则在中取， 对任意有， 于是， 即. 而当时，， 故有，矛盾. 当时，记，则， 由得，得， 故. 与当时同理可得矛盾. 若，则，与时同理可得矛盾. 综上，假设不成立，即函数对任意实数均具有性质. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用反证法得到与定义像矛盾的结论. 14．（2024·上海嘉定·一模）设为非空集合，函数的定义域为.若存在使得对任意的均有，则称为函数的一个值，为相应的值点. (1)若.证明：是函数的一个值点，并写出相应的值； (2)若.分别判断函数是否存在值？若存在，求出相应的值点；若不存在，说明理由； (3)若，且函数存在值，求函数的值，并指出相应的值点. 【答案】(1)证明见解析，为相应的值； (2)不存在值，理由见解析，存在值，是相应的值点； (3)值为，值点为. 【分析】（1）根据正弦函数的值域和值的定义即可证明； （2）计算即可判断，对取，再利用值的定义即可判断； （3）分析得函数的值即为最大值，值点即最大值点，再利用导数求出其最大值和最大值点即可. 【详解】（1）函数的定义域为.对，以及任意， 由及知， 即，所以是函数的一个值点，为相应的值. （2）函数的定义域为. 对任意，取，仍有，但， 所以函数不存在值. 函数的定义域为. 由易知， 当时，对任意，均有，即； 又对任意，取， 则， 即，所以是函数仅有的一个值， 是相应的值点. （3）函数的定义域为， 由题设，该函数存在值，设相应值点为， 则即对任意成立， 故函数的值即为最大值，值点即最大值点. ，令得， 显然当时，恒成立，则函数在上单调递增，此时无最大值，舍去， 所以，解得，列表如下： 0 ↗ 极大值 ↘ 所以若函数存在值， 则值为，值点为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用值的定义分析得的值即为最大值，值点即最大值点，再利用导数求出山最值即可. 15．（2024·上海青浦·一模）已知函数，其中 . (1)求函数的单调区间； (2)设函数，问:函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线 的斜率等于 在点 处的切线的斜率? 若存在，求出所有满足条件的点的坐标; 若不存在，说明理由; (3)证明: 函数 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求解函数的单调区间； （2）利用反证法，先假设存在，化简后得出矛盾即可证明； （3）构造新函数，原题转化为求证新函数的最小值不小0即可. 【详解】（1）定义域为，， 显然在上严格增，且. 所以当时，；当时，. 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），假设存在三点满足条件， 设三点的横坐标分别为 则，， 即，即，令，则， 当且仅当时等号成立，所以严格增，只有一个零点，矛盾， 所以不存在满足条件的三点. （3）令，只需证明当时，恒成立. 由， 当时，显然严格增， 当是，分两段， ①当时，，所以； ②当时，， 令，则，再令， 则，当时，，所以单调递增， 所以，即，所以单调递增， 所以，所以，， 综上可知，， 所以 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方. 【点睛】关键点点睛：第三问中，图象位置关系转化为函数之差的最小值不小于0即可，再构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得证. 16．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据“T点”的性质可求的值； （2）根据“T点”的性质可得在上有三个不同的解，利用换元法可求参数的值； （3）若存在一个包含“和谐T点”的区间，则在上有解，利用导数可证该结论错误. 【详解】（1），由可得，而 因为为函数在区间上的“T点”，故. （2）， 因为函数在区间上恰有3个“T点”， 所以在上有三个不同的解， 故在上有三个不同的解， 设，则， 则在上有两个不同的根， 且其中有且只有一个根为或或， 若一个根为，则，此时另一个根为， 此时有一根，在上有两个不同的解， 故此时在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时另一个根为， 同理可得在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时在上仅有一个根，舍； 综上，. （3）， 若存在含“和谐T点”的区间，则， 其中， 整理得到：即， 设，故，设， 则，故在上为增函数，故， 故，故不成立， 故函数的定义域内不存在一个包含“和谐T点”的区间 【点睛】思路点睛：对于导数背景下的多变量的存在性问题，注意根据方程组的形式合理消元，从而构建较为简单的函数，而后者可以利用导数来处理. 17．（2024·上海崇明·一模）定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”. (1)已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值； (2)设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值； (3)定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在点满足条件，理由见解析 【分析】（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，再根据圆心到切线的距离为半径可求的值； （2）设出公切点，则可得关于切点横坐标与的方程组，解方程组可求得的值； （3）假设存在满足题意，则根据“一线切”可得且，化简整理后得到，从而得到矛盾. 【详解】（1），所以曲线在点处的切线方程为， 即， 因为圆与曲线在点处“一线切”， 所以直线与圆在点处相切， 所以，所以. （2）设，， 由题意，，所以， 解得. （3）假设存在满足题意， 则有，对函数求导得：， 于是，即， 平方得， 即有，因此， 整理得，而恒有成立， 则有，从而，显然， 于是，即与恒成立矛盾， 所以假设不成立，即不存在点满足条件 【点睛】思路点睛：新定义中的“一线切”问题，本质上就是不同曲线的共切点的切线问题，其解决问题的方法是构建关切切点横坐标的方程或方程组. 18．（24-25高三上·上海浦东新·期末）过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． (1)设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； (2)设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； (3)设，证明：轴上不存在的“类点”． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【分析】（1）判断点的位置，求出过此点的切线方程，结合“类点”的定义判断即可. （2）求出过点的切线方程，并代入的坐标并结合“类点”的定义求出值，验证即可得解. （3）假定存在，并设出点的坐标，由过点的切线方程建立等式，分离参数构造函数，利用导数探讨方程根的情况导出矛盾得证. 【详解】（1）函数，，点在上，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 由切线过，得，,解得或， 因此切线方程为，所以点为的“类点”. （2）函数，求导得，设切点为， 切线方程为，即， 切线过，则， 依题意，方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为， ， 因此，则，，则， 当时，，不过， 所以的值为2. （3）假设轴上存在函数的“类点”，记为，设坐标为， 求导得，设切点为，切线方程为， 即，由切线过，得，此方程至少有两个不同解， 设，则，由，得或， 当时，，函数是上的严格减函数， 当时，为上的严格增函数， 函数的极小值，极大值，又， 当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解， 当时，在上，其余情况下在外，则， 设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为， 则，由， 得，则有， 由，得异号，不妨设， 由均值不等式知，， 则，与矛盾，即不存在， 所以轴上不存在的“类点”. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 19．（2024·上海徐汇·一模）已知定义域为的函数，其导函数为，若点在导函数图象上，且满足，则称为函数的一个“类数”，函数的所有“类数”构成的集合称为“类集”. (1)若，分别判断和是否为函数的“类数”，并说明理由； (2)设的图象在上连续不断，集合.记函数的“类集”为集合，若，求证：； (3)已知，若函数的“类集”为时的取值构成集合，求当时的最大值. 【答案】(1)是，不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)的最大值是 【分析】（1）根据题意，由“类数”的定义分别计算判断和，可得结果. （2）因为，所以存在，使得且，由的连续性结合零点存在性定理可证明. （3），由的“类集”为以及的值域为可证明，再证明，由此可求出的最大值是. 【详解】（1）， 是函数的“类数”； ， 不是函数的“类数”. （2）因为函数的“类集”为集合，且， 所以存在，使得且， 若，则，所以， 因为函数的图象是连续不断的， 不妨设，由零点存在定理知，必存在使得， 所以存在零点，即. （3），则. 先证明： 因为函数的“类集”为， 所以对任意， 令，则， 因为函数的值域为， 所以当时，必有， 即对于恒成立， 所以函数的最小正周期应有，即，则. 再证明，此时，对于任意. 当时，，则； 当时，，则， 所以时函数的“类集”为，即. 我们不难发现，上述过程中令也成立.因此，的最大值是. 【点睛】思路点睛：（1）第二问由，可知必存在不是“类数”，即且，结合图象的连续性和零点存在性定理， 可知必存在使的零点.（2）由三角函数的值域可知，因为函数的“类集”为，则当时，必有，结合三角函数的对称性，当时，有最大值，所以只需证明可求出的最大值. 20．（2024·上海长宁·一模）双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若函数在上的最小值是，求实数a的值； (3)对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求导函数零点，通过导函数的符号求解单调区间； （2）整体换元转化为二次函数的最小值问题，根据轴与区间关系分类讨论可求； （3）先证明辅助结论，再利用结论分别证明“当时，恒成立”与“对任意的，都存在，使”两个命题成立，即可得范围. 【详解】（1）由，， 则，令，解得， 当时，，则双曲余弦函数在单调递增； 当时，，则双曲余弦函数在单调递减； 所以函数的单调增区间是． （2）. 令， 所以在上是严格增函数， 则当时，， 函数， 当时，严格增，，舍去， 当时，，解得. 综上所述，实数a的值为. （3）①证明， 令， 则， 所以在上单调增，则， 则当，，即成立； 令， 则， 所以在上单调增，则， 则当，，即成立； 故，得证. ②证明， 令， 令为偶函数. 令，且， 则当时，由①结论可知，， 则，即当时，， 由偶函数性质得，从而单调增，又， 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 从而，即有． ③再证明：任意，当时，恒成立. 设，，其中， 当时，，成立； 当时，，在单调递增， 则，由②已证， 故， 即任意，当时，恒成立. ④再证明对任意的，都存在实数，使得. 令， 令为偶函数， 令， 则当时，， 所以单调递增， 由于，所以，且当， (由于是偶函数，由对称性以下只需要考虑时.) 所以存在，使得， 从而当时，，即，则在单调递减； 当时，，即，则在单调递增； 又时，， 所以存在，使得， 即有当时，，即，则在时单调递减； 当时，，即，则在时单调递增； 又时，， 所以存在，使得，当时，. 对任意的，都存在，使得，得证. 综上所述，实数m的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：解决本题中第（3）问恒成立问题的关键，是两次构造中间函数证明不等式，一是引入中间函数（一次函数）证明，从而证明得以判断导函数符号；二是引入主元变换引入以参数为自变量的函数，构造中间函数，通过证明，利用单调性可得，从而当时，恒成立得证. 21．（2024·上海杨浦·一模）已知是定义域为的函数，实数，称函数为函数的“-生成函数”，记作. (1)若，求函数的值域； (2)若，函数满足对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若满足：①；②在上存在导函数，且在上是严格增函数；③对于任意的“-生成函数”的图像是一段连续曲线，求证：函数在上是严格增函数. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得到，，结合，求出函数的最值，得到值域； （2），，故对任意的恒成立，构造函数，，结合特殊点函数值，多次求导，由端点值效应得到时，满足要求，并得到时，不满足要求，得到答案； （3）得到，求导得到， 由的单调性，得到在上单调递增，又，故，两边同时除以得，证明出结论. 【详解】（1） ，， 因为，所以，，所以当， 即时，取得最小值，最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为2， 故函数值域为； （2），故，， ，， 对任意的恒成立， 令，， 则，其中，， 显然，令，， 则，， 令，， ， 令，则在上单调递减， 又在上单调递增， ，故在上恒成立， 故在恒成立， 故在上单调递增， 其中，若，即时，在上恒成立， 在上单调递增，， 故在上单调递增， ，满足要求， 若，则，故存在适当的，使得时，， 故在上单调递减，又， 故在恒成立，不合要求， 综上，实数的取值范围是； （3），， 由于，故， ， 因为在上是严格增函数，， 所以，， 故在上单调递增， 又，故在恒成立， 两边同时除以得， 由于为上的任意数，故函数在上是严格增函数. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 22．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求出，根据零点存在性定理判断证明； （2）根据函数在上处处相依，可得，使得，转化为，，得解； （3）根据题意可得，结合的单调性将要证明的问题转化为，，构造函数，利用导数证明. 【详解】（1）当时，， ， 所以，， 即，又在上处处相依， 所以函数在上有零点. （2），， ， 因为函数在上处处相依， 所以，，使得， 即，使得， ，，即，， 又， . 所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数的在的相依区间， 所以，又， 则， 因为，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，则， 要证，即证，即证， 即证，， 令， ， 令，， ， 因为，，， 所以，即在上单调递减，则， 所以，即在上单调递减， 所以，即，即证得成立. 从而证明得到. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是根据相依区间的定义得到，结合条件利用分析法转化为，，构造函数证明. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$