专题05 三角函数与解三角形（真题速递，43题）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

专题05 三角函数与解三角形（真题速递，43题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 2．（2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 3．（2024·上海崇明·一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 5．（24-25高三上·上海金山·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（   ）．    A． B． C． D． 6．（2024·上海静安·一模）我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的.现将沿折起，使点移动到点，使得空间四面体恰好是一个“鳖臑”，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·上海青浦·一模）已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）. A． B． C． D． 8．（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 二、填空题 10．（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 11．（2024·上海嘉定·一模）已知实数满足：，则的最小值为 . 12．（2024·上海徐汇·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 13．（2024·上海青浦·一模）在中，已知，若，则的面积为 . 14．（24-25高三上·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 15．（24-25高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则 ． 16．（2024·上海杨浦·一模）已知实数，是虚数单位，设集合，集合，如果，则的取值范围为 . 17．（2024·上海宝山·一模）函数的最小正周期为 . 18．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 19．（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 20．（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 21．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 22．（2024·上海静安·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 23．（2024·上海嘉定·一模）某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为 . 24．（2024·上海虹口·一模）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 25．（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 26．（2024·上海虹口·一模）若，则 ． 27．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 28．（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 29．（24-25高三上·上海黄浦·期末）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）    三、解答题 30．（24-25高三上·上海浦东新·期末）如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． (1)若，求三棱锥的体积； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值． 31．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 32．（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 33．（2024·上海崇明·一模）在中，已知点D是BC边上一点，且，. (1)若，且，求AD的长； (2)若，，求AD的长（结果精确到0.01）. 34．（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 35．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 36．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 37．（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 38．（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 39．（2024·上海青浦·一模）如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 40．（2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 41．（24-25高三上·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； (3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 42．（24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 43．（24-25高三上·上海黄浦·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数，的单调减区间． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数与解三角形（真题速递，43题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（   ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，取的值域为，得到，，满足要求，①正确；对于②，取是增函数，，先让的值域包含，根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造，的值域有，……，依次类推，得到答案. 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 满足和是有限集， 从而和是-互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 2．（2024·上海虹口·一模）已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的的值，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，， 由，即，则或， 由，则， 所以“”是“”的必要非充分条件． 故选：C. 3．（2024·上海崇明·一模）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义及基本函数的性质逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为R，且，所以为奇函数， 又是严格增函数，正确； 对于B，的定义域为R，且，所以不为奇函数，错误； 对于C，的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，是严格增函数，错误； 对于D，的定义域为R，且，所以为奇函数， 但为周期函数，不是定义域R上的严格增函数，错误. 故选：A 4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】利用正弦的和角公式及辅助角公式结合三角函数的图象与性质计算即可. 【详解】由可得， 即，其中， 所以原方程化为，即， 不妨令，因为，所以， 易知时，成立，即满足题意； 又的周期为，且， 所以在区间上还有一个根，如图所示， 故选：C 5．（24-25高三上·上海金山·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令双曲线为，根据已知建立合适坐标系，并求出双曲线参数，进而得渐近线方程，利用二倍角正切公式求得夹角正切值，即可得其余弦值. 【详解】如下图建系，令双曲线为，且，则，， 如图，，，则，故， 将代入，得，可得，故渐近线为， 若它们的夹角为，且，则，故.         故选：D 6．（2024·上海静安·一模）我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的.现将沿折起，使点移动到点，使得空间四面体恰好是一个“鳖臑”，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据题意求出四面体的棱长，二面角的平面角为，求的三角函数值即可. 【详解】中，. 不妨设，则， 空间四面体是一个“鳖臑”，则和都是直角三角形， 若，则中，，由勾股定理得， 此时不是直角三角形，不合题意； 所以，在中，，由勾股定理得， 此时满足是直角三角形，， 由，，二面角的平面角为， 中，，， 所以二面角的大小为. 故选：D. 7．（2024·上海青浦·一模）已知 且满足 ，则下列关系式恒成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质，以及对数函数的性质、幂函数的性质、正弦函数的图象性质求解. 【详解】对A，取，则，A错误； 对B，取，则，即，B错误； 对C，取，满足，但，C错误； 对D，因为幂函数在定义域上单调递增，且，所以，D正确； 故选：D. 8．（2024·上海长宁·一模）已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，其中，在上单调递增，然后结合函数的单调性及可得答案. 【详解】， 因在（其中）上单调递增， 则，. 又因，则取，则. 故选：A 9．（2024·上海奉贤·一模）函数，则下列命题正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数定义域是 C．函数最大值 D．函数的最小正周期为 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，可判断AB选项；利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可判断C选项；利用正弦型函数的周期性可判断D选项. 【详解】设，由可得， 所以，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以，函数不是偶函数，A错B错； 当时，则 ， 当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对； 因为， 结合函数的定义域可知，函数的最小正周期为，D错. 故选：C. 二、填空题 10．（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 . 【答案】/0.625 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： 11．（2024·上海嘉定·一模）已知实数满足：，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，根据给定条件可得为单位圆上两点，且，再利用的几何意义转化为直线与圆上点的距离最小值求解. 【详解】设，则，由，， 得点在单位圆上，且， 即，则为等边三角形，， 可视为点到直线：的距离与之和， 当点在直线同侧时， 设，或， 当时，，则， ，， ， ， 于是 ， 由，得，，； 当时，，则， ，， ， ，，； 当点在直线异侧时（包括点之一在直线上）， 过分别作，垂足为，令直线与直线的夹角为， ，    所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将的转化为点两点到直线的距离与之和. 12．（2024·上海徐汇·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若此椭圆的离心率为，则的大小为 . 【答案】/ 【分析】设，由椭圆的定义得，利用余弦定理求得，再由正弦定理即可求得，继而得到. 【详解】如图，设，则，因，故，    由余弦定理，， 即， 将代入，整理得：， 解得，则有，， 由正弦定理：，即， 解得， 因，故. 故答案为：. 13．（2024·上海青浦·一模）在中，已知，若，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，，， 由余弦定理得， 解得， 所以的面积为. 故答案为： 14．（24-25高三上·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 【答案】1.172 【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接， 令圆的半径为，则，解得，设， 因此， 当且仅当时取等号， 所以步行道、长度之和的最小值是. 故答案为： 15．（24-25高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由，，得， 由正弦定理得，. 故答案为： 16．（2024·上海杨浦·一模）已知实数，是虚数单位，设集合，集合，如果，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】解法一：明确集合A，B的几何意义，数形结合，根据几何意义即可求得参数范围. 解法二：先证明不属于的复数，恰好是那些区间上的实数，再利用该结论得到取值范围. 【详解】解法一：由于，设， 则 ， 设z对应点，则， 所以，其中， 当时，该方程的几何意义为表示所有椭圆的并集， 即平面上除去线段的点的集合，其中， 集合表示复平面上的圆，圆心为，半径为a， 如果，则该圆与线段无公共点， 结合图形可知的取值范围为； 解法二： 先证明：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数. 下设是复数. ①情况一：不是实数，也不是纯虚数. 设，，并令，. 则对，有，即. 假设，则，矛盾，所以，从而. 又因为， 所以. 此时，假设：由于， 故. 同理，根据可以得到. 对和相加和相减， 就能得到，. 若假设，则，从而或， 这和情况一的定义矛盾，所以. 若假设，则，从而，这和情况一的定义矛盾，所以. 这就得到，所以，所以， 即. 这就得到. 所以或，无论哪种情况都能得到是实数，故可设. 若，则，得是实数，这和情况一的定义矛盾. 若，则，得是纯虚数，这和情况一的定义矛盾. 故前面的假设不成立，所以结合可知， 一定存在使得，结合可知. ②情况二：是纯虚数. 此时设，则满足， 且 . 故. ③情况三：是实数，且. 此时满足， 且，故. ④情况四：是实数，且. 此时满足， 且，故. ⑤情况五：是实数，且. 假设，则存在复数使得，且，设. 则. 从而，，而由可知， 所以，故. 这就得到，矛盾. 所以假设不成立，从而. 综合上面五种情况，就得到了结论：不属于的复数，恰好是那些区间上的实数. 现在回到原题，结合上面的结论，条件等价于中包含的每个实数都不属于. 一方面，若中包含一个实数，满足. 则，，从而. 另一方面，若，则实数满足，. 故中包含一个实数，满足. 这就说明，中包含一个实数满足的充要条件是. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对复数知识和三角恒等变换的使用. 17．（2024·上海宝山·一模）函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】应用余弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数，所以, 即函数的最小正周期为. 故答案为：. 18．（2024·上海崇明·一模）已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据零点个数和极小值点的个数可得关于的不等式，故可求其取值范围. 【详解】当时，， 因为函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点， 所以，故， 故答案为： 19．（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【答案】 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 20．（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据扇形弧长与圆锥底面周长关系列方程求底面半径，结合圆锥的结构特征求该圆锥的母线与底面所成角余弦值，即可确定大小. 【详解】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为， 所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为. 故答案为： 21．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离 . 【答案】 【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可. 【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为， 则根据正切函数的定义得，， 则，解得. 故答案为：. 22．（2024·上海静安·一模）记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 【答案】 【分析】由偶函数的性质可得出，令，，利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值. 【详解】因为二次函数为偶函数， 则该函数的对称轴为直线，可得， 令，， 则， 因此，该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为. 故答案为：. 23．（2024·上海嘉定·一模）某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心在上，且和所在直线与圆分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合弧长公式求出桥面修建总费用的函数关系，再利用导数探讨函数最小值问题. 【详解】连接，依题意，，则， ，的长度为， 则桥面修建总费用，， 而，求导得， 由，得，则，由，得， 当，即时，； 当，即时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当且仅当时，取得最小值，即桥面修建总费用最低. 故答案为： 24．（2024·上海虹口·一模）双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 25．（2024·上海嘉定·一模）在中，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，所以. 故答案为： 26．（2024·上海虹口·一模）若，则 ． 【答案】 【分析】直接利用二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 27．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 【答案】60 【分析】确定数列中最大值为1，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知,， 设，则，显然， 若，则，因此有， 由得或，对应， 同理对应， 集合中已经含有点， 因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 所以的个数为， 若，则， ，或，，或， 对应点， 产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 中至少有一个，中至少有一个，的个数为， 综上，集合的个数为． 故答案为：60. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数． 28．（2024·上海奉贤·一模）申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所围成的弓形所组成，其中，劣弧所在的圆为三角形的外接圆，圆心为． 已知，外接圆的半径是2，则该图形的面积为 ．（用含的表达式表示） 【答案】 【分析】连接，求出，可得答案. 【详解】连接，则，， ， ， ， 所以该图形的面积为. 故答案为：. 29．（24-25高三上·上海黄浦·期末）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）    【答案】 【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换、余弦定理计算即可. 【详解】如图所示，设圆心为D，的中点为E，则， 由题意易知， 则， 所以， 由余弦定理知， 所以. 故答案为：.    三、解答题 30．（24-25高三上·上海浦东新·期末）如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． (1)若，求三棱锥的体积； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积. （2）作出母线，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】（1）依题意，平面，由，得， 所以三棱锥的体积. （2）过点作圆柱的母线，连接， 则，于是四边形为平行四边形，， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 由，得，，， 则，， 由平面，得， 在中，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 31．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 【答案】(1)，单调增区间为； (2) 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【详解】（1）因为，所以，解得， ， 令，解得， 故单调递增区间为； （2），， 时，，故， 所以. 32．（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题设及余弦定理可得，进而结合三角形面积公式求解即可； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而结合平方关系求解即可. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 所以，即， 所以的面积为. （2）由，由正弦定理得， 可得， 则， 因为，所以， 则，又， 所以. 33．（2024·上海崇明·一模）在中，已知点D是BC边上一点，且，. (1)若，且，求AD的长； (2)若，，求AD的长（结果精确到0.01）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合角的关系，利用二倍角的正切公式列式求解即可. （2）先利用正弦定理求得AC，再利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，所以，， 又，所以 即，解得. （2）在中，，由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得 . 34．（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【详解】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 所以，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 35．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 【答案】(1)； (2)7或15. 【分析】（1）把代入，求出时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域. （2）由已知可得，再利用给定区间及极值情况求出范围即可得解. 【详解】（1）当时，，由，得， 则，， 所以函数的值域是. （2）由，得，解得， 当时，而，则， 又函数在内有极小值，无极大值，则， 解得，于是或 ，解得或， 当时，，又，无解； 当时，，又，则； 当时，，又，则； 当时，，又，无解， 所以的值是7或15. 36．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 37．（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据最小正周期及三角函数的性质、不等式恒成立有，即可求参数值； （2）应用三角恒等变换有，令求解，结合即可求结果. 【详解】（1）， 由的最小正周期为，知， ， ∴. （2）由（1）可得：， ， 或，即或，， 又，则不妨令，故. 38．（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 39．（2024·上海青浦·一模）如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形等比例性质，根据线面平行的判定推理即得. （2）连接，根据给定条件，根据勾股定理及余弦定理求得，根据面面垂直性质定理平面，从而利用线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为、分别为线段、上的点，且， 所以，又平面，平面，所以平面. （2）因为，所以， 所以，，连接，又， 所以，所以，又， 所以，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面. 40．（2024·上海长宁·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据正弦定理边角互化化简得出正切，结合范围求角； （2）应用面积公式计算得出，再结合余弦定理得出边长即可判断. 【详解】（1）由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. （2）, 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以是等边三角形. 41．（24-25高三上·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为、（），过点的直线与右支在轴上方交于点． (1)若，点的坐标为，求的值； (2)若，且是等比数列，求证：直线的斜率为定值； (3)设直线与左支的交点为，，当且仅当满足什么条件时，存在直线，使得成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将值和点坐标代入双曲线方程求出值，即可求得值； （2）设直线，与双曲线方程联立消元，得关于的方程，依题方程有解为，代入整理方程后，借助于，可推得，即得证； （3）利用双曲线定义化简得到，，设，利用余弦定理求出的值，结合图形和题意，确定其范围，即得关于的不等式，解之即得. 【详解】（1）依题意，将，代入中， 解得，则； （2）    依题意知，可设直线，代入中， 整理得：（*）， 如图，因，故点的横坐标为恰是方程（*）的解， 则， 整理得：，即， 因是等比数列，则，代入此式，可得，即得， 因过点的直线与右支在轴上方交于点，故得，即直线的斜率为定值； （3）    如图，因点在双曲线右支上，则，即， 故由可得, 又因点直线与左支的交点,故，则， 在中，设，由余弦定理，， 因为，所以， 所以， 故当且仅当满足时，存在直线，使得成立. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于难题. 解题的关键在于对双曲线定义的理解掌握，在处理相关的焦半径问题时，要有转化思想，结合图形和定义，将其化简为常量或最值问题，即可解决. 42．（24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数表达出的长，再由面积公式即可求解. （2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值. 【详解】（1）设与相交于点，则， 则，， 易知等于到的距离， 所以    （2）过点作于点，则， 而，    则三角形区域面积为 ， 设，因为，所以， 故，而， 则，故当时，取得最大值， 故三角形区域面积的最大值为 43．（24-25高三上·上海黄浦·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数，的单调减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得函数解析式，再利用二倍角公式变形，结合正弦型函数的周期公式求解即可； （2）由定义域得的取值范围，根据正弦函数的单调性列不等式，求解即可. 【详解】（1）由，得， 则函数， 故最小正周期为. （2）由，得，； 由，得， 令，解得； 故单调减区间为. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$