专题06 平面向量（新题速递）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编（上海专用）

专题06 平面向量（新题速递） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．（24-25高三上·上海金山·期末）已知向量，若，则实数 ． 2．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 3．（2024·上海长宁·一模）已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 4．（2024·上海宝山·一模）已知平面向量满足：，，且对任意的单位向量满足，则的最大值为 .（用含的式子表示） 5．（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 6．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 7．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 8．（2024·上海青浦·一模）已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 9．（24-25高三上·上海金山·期末）已知O为坐标原点，向量满足，将绕点O按逆时针方向旋转，得到向量．若，则的最大值为 ． 二、解答题 10．（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 11．（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 12．（2024·上海奉贤·一模）椭圆的左右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线交椭圆于点． (1)若椭圆的离心率，求的值； (2)若，求； (3)若，过点的直线与椭圆交于两点，且，则当时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？ 13．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面向量（新题速递） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．（24-25高三上·上海金山·期末）已知向量，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题意，则. 故答案为： 2．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 【答案】. 【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，，利用向量数量积运算和模长公式求得，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以. 3．（2024·上海长宁·一模）已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解． 【详解】由题得，所以， 与向量的同向单位向量为， 所以向量在向量方向上的投影的坐标为． 故答案为：． 4．（2024·上海宝山·一模）已知平面向量满足：，，且对任意的单位向量满足，则的最大值为 .（用含的式子表示） 【答案】或 【分析】讨论时情况以及判断的范围，从而设，表示出的表达式，结合三角恒等变换化简，即可求解, 【详解】由题意有：当时，可得当与同向时，取到最大值， 即此时恒成立，结合，即， 此时； 由于， 所以假设，此时，不符合题意； 故时，不妨设当为锐角，取到最大值， 此时也为锐角， 此时， ，（其中为辅助角） 而， 当时等号成立， 依题意可得恒成立，解得， 由于在时单调递减，故， 故令，结合解得 即得，； 由于时，， 所以的最大值为或. 故答案为：或. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设出结合三角恒等变换求出的表达式，进而求解. 5．（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 6．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 7．（2024·上海奉贤·一模）已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为 ． 【答案】60 【分析】确定数列中最大值为1，最小值为，然后根据分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知,， 设，则，显然， 若，则，因此有， 由得或，对应， 同理对应， 集合中已经含有点， 因此产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 所以的个数为， 若，则， ，或，，或， 对应点， 产生的集合中，点可有也可没有，至少有一个， 中至少有一个，中至少有一个，的个数为， 综上，集合的个数为． 故答案为：60. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数． 8．（2024·上海青浦·一模）已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由等价于在上的投影，故可结合投影性质，得到当与反向共线时，在上的投影取最小，当与同向共线时，在上的投影取最大，再结合的范围，即可得到相应投影的最小、最大值，即可得解. 【详解】等价于在上的投影， 如图1，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 如图2，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到表示在上的投影，从而数形结合，借助投影性质解题. 9．（24-25高三上·上海金山·期末）已知O为坐标原点，向量满足，将绕点O按逆时针方向旋转，得到向量．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，则，进而得，结合分析得到的轨迹为一个椭圆，并确定椭圆的右顶点坐标，再利用向量数量积的坐标表示，将问题化为求的截距最大，即最大且该直线过点，即可求最值. 【详解】设，则，故， 所以，则，故， 由， 即到原点距离与到的距离之和为8， 易知的轨迹为一个椭圆，且，，如下图， 若为椭圆的右顶点，则，且直线， 易知，即， 由，令①， 所以，要使最大，只需的截距最大，即最大， 结合图知，该直线过点即可，将代入①，有. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：首先得到的轨迹为一个椭圆及其右顶点坐标，再应用向量数量积的坐标表示化为求最大为关键. 二、解答题 10．（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 11．（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【详解】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 所以，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 12．（2024·上海奉贤·一模）椭圆的左右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线交椭圆于点． (1)若椭圆的离心率，求的值； (2)若，求； (3)若，过点的直线与椭圆交于两点，且，则当时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？ 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析 【分析】（1）直接根据离心率的定义求解即可； （2）直线与椭圆方程联立，利用三角函数的知识表示出，再利用弦长公式表示出，结合向量数量积公式代入求出，再求和； （3）分类讨论，当直线斜率不存在时满足条件，当斜率存在时，先写出的表达式，然后对方程进行分类讨论. 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则椭圆方程为：且，由点在第一象限可知的斜率不为， 设直线的方程为：，直线与椭圆方程联立消去得：， 所以，， 因为，所以， 而， 解得：，把代入得：， 把代入椭圆方程得：. （3）若，则椭圆方程为：，且， 当且直线斜率存在时，设直线的方程为：，， 直线与椭圆方程联立消去得：， 所以，， 所以，整理得：， 当或时，即或时， 方程无解，所以不存在满足的直线； 当即时，方程只有唯一的解，所以，存在一条满足的直线； 当，即时，方程有两个不相等的实数解， 所以存在两条满足的直线； 当且直线斜率不存在时，直线即轴，满足. 综上所述：当或时，存在一条满足的直线； 当时，存在两条满足的直线； 当 时，存在三条满足的直线. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是直线与圆锥曲线相交的弦长问题，第二问的关键点是如何表示出和，第三问的关键点是写出当直线斜率存在时的表达式以及如何分类讨论解决方程的解的个数，另外还需注意直线斜率不存在的情况. 13．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)或； (2)或； (3)的面积为定值，该定值为. 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得或； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）利用点差法计算可得，设直线的方程为，联立椭圆方程并根据韦达定理可得，再根据弦长公式以及点到直线距离可得. 【详解】（1）易知，设点， 可得，可得， 则， 所以，解得， 可得， 即或 （2）设直线的方程为，， 联立并整理可得， 所以， 易知的面积为 ， 解得，即； 所以直线的方程为或. （3）根据题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，，则，如下图所示： 易知，两式相减可得； 由，所以可得， 即，又，可得； 即， 联立整理可得， ，可得； 可得； 所以， 整理可得，即； 易知 ； 原点到直线的距离为， 所以的面积为； 所以的面积为定值，该定值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据弦中点问题利用点差法表示出斜率关系，再根据弦长公式和韦达定理表示出面积公式，化简即可得出结论. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$